高二数学推理与证明苏教版知识精讲)

1、高二数学高二数学推理与证明推理与证明苏教版苏教版【本讲教育信息本讲教育信息】一. 教学内容： 推理与证明二. 本周教学目标： 1. 结合已经学过的数学实例和生活实例，了解合情推理，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学中的作用。 2. 结合已经学过的数学实例和生活实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的模式，并能运用它们进行一些简单的推理。 3. 了解直接证明的两种基本方法分析法与综合法；了解间接证明的一种基本方法反证法。三. 本周知识要点：（一）合情推理与演绎推理1. 归纳推理与类比推理（1）已知数列的通项公式，记 na)Nn() 1n(1a2n，试通过计算的值，推

2、测出的值。)a1 ()a1)(a1 ()n(fn21 )3(f),2(f),1 (f)n(f（2）若数列为等差数列，且，则 na)Nn,m, nm(ya , xanm。现已知数列为等比数列，且nmnymxanm )Nn, 0b(bnn，类比以上结论，可得到什么结论？你能说明结论的正确)Nn,m, nm(yb, xbnm性吗？【学生讨论：】 （学生讨论结果预测如下）（1）43411a1) 1 (f164329843)911 () 1 (f)a1)(a1 ()2(f2185161532)1611 ()2(f)a1)(a1)(a1 ()3(f321由此猜想，) 1n(22n)n(f（2）结论：nm1

3、nmnm)yx(b证明：证明：设等比数列的公比为，则，所以bnqnmnmqbbnm1nm1nm)yx()bb(q所以nm1nmnmnnmnm)yx()yx(xqbb如（1）是从个别事实中推演出一般结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 如（2）是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，像这样的推理通常称为类比推理。说明：说明：（1）归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。（2）归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质。从已知的相同性

4、质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 。（3）类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。（4）类比推理的一般步骤：找出两类事物之间的相似性或者一致性。用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想） 。2. 演绎推理现在冰雪覆盖的南极大陆，地质学家说它们曾在赤道附近，是从热带飘移到现在的位置的，为什么呢？原来在它们的地底下，有着丰富的煤矿，煤矿中的树叶表明它们是阔叶树。从繁茂的阔叶树可以推知当时有温暖湿润的气候。所以南极大陆曾经在温湿的热带。被人们称为世界屋脊的西

5、藏高原上，一座座高山高入云天，巍然屹立。西藏高原南端的喜马拉雅山横空出世，雄视世界。珠穆朗玛峰是世界第一高峰，登上珠峰顶，一览群山小。谁能想到，喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋，高耸的山峰的前身，竟然是深不可测的大海。地质学家是怎么得出这个结论的呢？科学家们在喜马拉雅山区考察时，曾经发现高山的地层中有许多鱼类、贝类的化石。还发现了鱼龙的化石。地质学家们推断说，鱼类贝类生活在海洋里，在喜马拉雅山上发现它们的化石，说明喜马拉雅山曾经是海洋。科学家们研究喜马拉雅变迁所使用的方法，就是一种名叫演绎推理的方法。1. 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法。2. 演绎推理的一

6、般模式分析喜马拉雅山所在的地方，曾经是一片汪洋的推理过程：鱼类、贝类、鱼龙，都是海洋生物，它们世世代代生活在海洋里大前提在喜马拉雅山上发现它们的化石小前提喜马拉雅山曾经是海洋结论 MP（M 是 P）常用格式： SM（S 是 M） SP（S 是 P）三段论：（1）大前提已知的一般原理（2）小前提所研究的特殊情况（3）结论根据一般原理，对特殊情况作出的判断用集合论的观点分析：若集合 M 中的所有元素都具有性质 P，S 是 M 的一个子集，那么 S 中所有元素也都具有性质 P。练习：分析下面几个推理是否正确，说明为什么？（1）因为指数函数是增函数，xay （2）因为无理数是无限小数而是指数函数 而

7、是无限小数xy)21(所以是增函数 所以 是无理数xy)21(（3）因为无理数是无限小数，而（=0.333）是无限小数，所以是无理数3131说明：说明：在应用“三段论”进行推理的过程中，大前提、小前提或推理形式之一错误，都可能导致结论错误。比较：合情推理与演绎推理的区别与联系从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个体到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待于进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。人们在认识世界的过程中，需要通过观察、实验等获取经验；也需要辨别它们的真

8、伪，或将积累的知识加工、整理，使之条理化，系统化，合情推理和演绎推理分别在这两个环节中扮演着重要的角色。就数学而言，演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程，但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，我们不仅要学会证明，也要学会猜想。（二）直接证明与间接证明1. 综合法与分析法（1）综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理证明，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法又叫顺推证法。它的基本思路是“由因导果” ，即从“已知”得“可知” ，再逐步推向未知的方法。（2）分析法我们从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，

9、把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件，这种证明方法叫分析法，它的特点是：从未知看需知，再逐步靠近已知。2. 间接证明反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。（三）数学归纳法用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：（1）证明：当 n 取第一个值时结论正确；0n（2）假设当 n=k（k，且 k）时结论正确，证明当 n=k+1 时结论也正确。N0n由（1） ， （2）可知，命题对于从 n0开始的所有正整数 n 都正确。数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题： 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫

10、忘掉。【典型例题典型例题】例 1. 如图所示，在锐角三角形 ABC 中，ADBC，BEAC，D，E 为垂足，求证：AB的中点 M 到 D，E 的距离相等。 A E M B D C 证明：证明：（1）因为有一个内角为直角的三角形是直角三角形，大前提在ABD 中，ADBC，ADB90，小前提 所以ABD 是直角三角形。 结论同理，AEB 也是直角三角形（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，大前提而 M 是 RtABD 斜边 AB 的中点，DM 是斜边上的中线，小前提所以 DM，结论AB21同理，EM。 所以 DMEMAB21例 2. 已知，求证：。1xyz22213xyz证法一（综合法）

11、：证法一（综合法）：22222213()3xyzxyz2222222221()()()3xyzxyyzzx2222111(222)(),333xyzxyyzzxxyz22213xyz证法二（分析法）：证法二（分析法）：，为了证明，1xyz22213xyz只需证明 ，2222333()xyzxyz即 ，222222333222xyzxyzxyyzzx即 ，222222222xyzxyyzzx即 ，222222(2)(2)(2)0 xxyyyxyzzzxx即 . 成立，222()()()0 xyyzzx成立 22213xyz例 3：证明：不能为同一等差数列的三项。 5, 3,2证明：证明：假设、为

12、同一等差数列的三项，则存在整数 m，n 满足235=+md =+nd 3252nm 得：nm=（nm）352两边平方得： 3n2+5m22mn=2（nm）215 左边为无理数，右边为有理数，且有理数无理数所以，假设不正确。即 、不能为同一等差数列的三项235例 4. 通过计算可得下列等式：11212221222322 132342212) 1(22nnn将以上各式分别相加得：nnn)321 (21) 1(22即：2) 1(321nnn类比上述求法：请你求出的值。2222321n解：解： 11313122331232323233 1333334233133) 1(233nnnn将以上各式分别相加

13、得：nnnn)321 (3)321 (31) 1(222233所以： 2131) 1(3132132222nnnnn) 12)(1(61nnn例 5.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，且nxn Nn0。不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与1xnnx成正比，这些比例系数依次为正常数。2nxcba, （）求与的关系式；1nxnx （）猜测：当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？1xcba,（不要求证明）解：解：（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群

14、的繁殖量为 axn，被捕捞量为 bxn，死亡量为 221,*.(*)nnnnnncxxxaxbxcxnN因此1(1),*.(*)nnnxx abcxnN 即（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 xn恒等于 x1， n，从而由（*）式得N. 0*, 0)(11cbaxcxbaNncxbaxnn即所以恒等于因为 x10，所以 ab。猜测：当且仅当 ab，且时，每年年初鱼群的总量保持不变。 cbax1【模拟试题模拟试题】1. 如果数列是等差数列，则 naA. B. 1845aaaa1845aaaaC. D. 1845aaaa1845a aa a2. 下面使用类比推理正确的是 A. “若，则”类推出

15、“若，则”33ab ab00ababB. “若”类推出“”()ab cacbc()a b cac bcC. “若” 类推出“ （c0） ”()ab cacbcababcccD. “” 类推出“”nnaa bn（b）nnaabn（b）3. 有这样一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为 A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 非以上错误4. 设，nN，则)()(,sin)(010 xfxfxxf21( )( ),fxfx1( )( )nnfxfx2007( )fx A. B. C. D. sin xsin xcosxc

16、osx5. 在十进制中，那么在 5 进制中数码 2004 折012320044 100 100 102 10 合成十进制为 A. 29B. 254C. 602 D. 20046. 函数的图像与直线相切，则=21yaxyxaA. B. C. D. 11814127. 下面的四个不等式：； cabcabcba222411 aa2abba；。其中不成立的有 22222bdacdcbaA. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个8. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系：。若三棱锥 ABCD 的三个侧面222BCACABA

17、BC、ACD、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为 。9. 从中，可得到一般规律为 2211 2343 2，3+4+5+6+7=5（用数学表达式表示）10. 函数 yf（x）在（0，2）上是增函数，函数 y=f（x+2）是偶函数，则 f（1） ，f（2.5） ，f（3.5）的大小关系是 。11. 在ABC 中，判断ABC 的形状CBCBAcoscossinsinsin12. ABC 三边长的倒数成等差数列，求证：。, ,a b c90B13. 在各项为正的数列中，数列的前 n 项和满足 nanSnnnaaS121 （1） 求；（2） 由（1）猜想数列的通项公式；（3） 求321,aaa nanS【试题答案试题答案】 1. B2. C3. C4. D5. B6. B7. A8. .2222ADBACDABCBCDSSSS9. 2(1)(2).