向量线性运算及其几何意义

1、()O复习回顾：复习回顾：既有大小又有方向的量叫向量；既有大小又有方向的量叫向量；向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. .1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反映的？什么叫零向量和单位向量？何反映的？什么叫零向量和单位向量？引言： 两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵涵.如果向量仅停留在概念的层面上，那是没如果向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的有多大意义的.我们

2、希望两个向量也能相加，我们希望两个向量也能相加，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，拓展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则这就需要建立相关的原理和法则.向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法 例如例如:某人从某人从A点向东走到点向东走到B.日常生活中遇到的向量加法问题日常生活中遇到的向量加法问题: :然后从然后从B点向北走到点向北走到C.思考思考:这个人所走过的位移是多少这个人所走过的位移是多少?ABC分析分析 :由由物理知识物理知识可以知道可以知道:从从A点到点到B点然后到点然后到C点的点的合位移合位移,就是从就是从A点到点到C点点的位移的位移.ABB

3、CAC=+F1F2F向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法 EOOE例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:合力合力F与力与力F1、F2有怎样的关系？有怎样的关系？F1+F2=F力力F对橡皮条产生的效果，与力对橡皮条产生的效果，与力F1和和F2共同作用产共同作用产生的效果相同，物理学中把力生的效果相同，物理学中把力F叫做叫做F1和和F2的合力的合力.F1F2F1F2F F向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法EOOE例如例如:橡皮条在力橡皮

4、条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:合力合力F与力与力F1、F2有怎样的关系？有怎样的关系？F1+F2=FF是以是以F1与与F2为邻边所形成的为邻边所形成的平行四边形的对角线平行四边形的对角线探究一：向量加法的几何探究一：向量加法的几何运算法则运算法则 问题探究问题探究向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法AC2.它们之们有联系吗它们之们有联系吗? 1.两种方法做出的结果一样吗两种方法做出的结果一样吗?向量加法的定义向量加法的定义任意给出两个向量任意给出两个向量a与

5、与b.如何求如何求a+ b.ababBa + babBOACa + bABBCACuuu ruuu ruuu rbbaba向向 量量 加加 法法 向向 量量 加加 法法三三 角角 形形 法法 则则:平行四边形法则平行四边形法则:AC2.它们之们有联系吗它们之们有联系吗? 1.两种方法做出的结果一样吗两种方法做出的结果一样吗?向量加法的定义向量加法的定义任意给出两个向量任意给出两个向量a与与b.如何求如何求a+ b.ababBa + babBOACa + bb位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理

6、模型力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型.向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们将向量平移使得它们首尾相连首尾相连方法巩固方法巩固:2.和向量即是第一个向量的和向量即是第一个向量的首首指向第二个向量的指向第二个向量的尾尾向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到将向量平移到同一起点同一起点2.和向量即以它们作为邻边和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线平行四边形的共起点的对角线ababa + bbaa + b,00aaaa对于零向量与任一向量我们规定特例：共线向量abABC方向相

7、同abCAB方向相反baACbaAC_,abab (, ,)请选用合适符号连接：请选用合适符号连接：, a b 非零向量处于什么位置时？(1)(2)(3)(4)abababababababbaab， 不共线或共线反向ab ， 共线且同向abab ， 反向且abab ， 反向且探究探究问题探究问题探究探究二：向量加法的代探究二：向量加法的代数运算性质数运算性质abba()a bcabc ( + )+ 向量加法满足交换律和结合律吗？向量加法满足交换律和结合律吗？(1)向量加法交换律：向量加法交换律：(2)向量加法结合律：向量加法结合律：？abcabcABCDABCD向向 量量 加加 法法向向 量量

8、 加加 法法a + b(a + b) + ca + (b + c)b + cabABCDa + bab向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法例例.化简化简_) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA(3)_ABBDCADC 学以致用学以致用ADMN0n1.OA1+A1A2+A2A3+A3A4+An-1An=?n2. 1.OA1+A1A2+A2A3+A3A4+An-1An+Ano=?n例例2.长江两岸之间没有大桥的地方长江两岸之间没有大桥的地方,常常常通过轮渡进行运输常通过轮渡进行运输.一艘船从长江南一艘船从长江南岸岸A点出发点出发,以以5km/h的速度向垂直于的速度向垂直于对岸的方

9、向行驶对岸的方向行驶,同时江水的速度为向同时江水的速度为向东东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；船实际航行的速度；(2)求船实际航行的速度的大小和方向求船实际航行的速度的大小和方向. 向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法 2BAD5C：如图，设表示水流的如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，速度，表示渡船的速度，ABAD 表示渡船实际过表示渡船实际过江的速度江的速度.(由平行四边形由平行四边形法则可以得到法则可以得到)AC22,2529ABADRt ABCAC 由得得5tan,68 .2CABCAB查计算器可得68 . 答：船实际航行速度的大小为 29km/h，方向为东偏北向向 量量 加加 法法向向 量量 加加 法法若水流速度和船速的大小保持不变若水流速度和船速的大小保持不变,最后要能使渡船垂直过江最后要能使渡船垂直过江,则船的则船的航向应该如何航向应该如何?在白纸上作图探究在白纸上作图探究.探究探究2BAD5C10103akmbkmab1.若 表 示 “ 向 南 走” ，表 示 “ 向 西 走” ，则表 示 _.练习题练习题2.35ababababab 若 ， 满足，求的最大值，并指出 ， 满足什么条件时?取到最大值.向向 量量 加加 法法 向向 量量 加加 法法课堂小