自动控制原理__(13)

1、江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理第七章第七章 非线性系统的分析非线性系统的分析 7.1 概述概述控制控制系统系统线性系统线性系统一定范围内非线性因素可忽略不计的系统一定范围内非线性因素可忽略不计的系统可线性化的系统可线性化的系统非线性系统非线性系统含有非线性元件的含有非线性元件的本质非线性本质非线性系统。系统。这类系统这类系统不能进行线性化处理不能进行线性化处理。分析方法：分析方法：描述函数法描述函数法非线性系统的频域法非线性系统的频域法相平面法相平面法非线性系统的时域法非线性系统的时域法江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理研

2、究非线性控制理论的意义研究非线性控制理论的意义： 实际上，理想的线性系统并不存在，因为系统实际上，理想的线性系统并不存在，因为系统各元件的动、各元件的动、静态特性都存在着不同程度的非线性静态特性都存在着不同程度的非线性。如放大元件由于受电源。如放大元件由于受电源电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范围时，输出呈饱和现象，如图围时，输出呈饱和现象，如图7-1(a)7-1(a)所示。执行元件电动机，所示。执行元件电动机，由于其轴上联接着需动力驱动的机械负载，只有在电枢电压达由于其轴上联接着需动力驱动的机械负载，只有在电枢电压达到

3、一定数值后，电机才会启动，存在着死区；而当电枢电压超到一定数值后，电机才会启动，存在着死区；而当电枢电压超过一定数值时，电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特过一定数值时，电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特性如图性如图7-1(b)7-1(b)所示。又如传动机构，受加工和装配精度的限制，所示。又如传动机构，受加工和装配精度的限制，换向时存在着间隙特性，如图换向时存在着间隙特性，如图7-1(c)7-1(c)所示。所示。图图7-1江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 对某些非线性因素不太严重的系统，可忽略非线性特性的对某些非线性因素不太严重的系统，可忽略非线性

4、特性的影响或作小偏差线性化处理，将近似为线性系统，可用线性系影响或作小偏差线性化处理，将近似为线性系统，可用线性系统的方法加以分析和设计。但是，对于非线性程度比较严重，统的方法加以分析和设计。但是，对于非线性程度比较严重，且系统工作范围较大的非线性系统，只有使用非线性系统的分且系统工作范围较大的非线性系统，只有使用非线性系统的分析和设计方法，才能得到较为正确的结果。随着生产和科学技析和设计方法，才能得到较为正确的结果。随着生产和科学技术的发展，对控制系统的性能和精度的要求越来越高，建立在术的发展，对控制系统的性能和精度的要求越来越高，建立在上述线性化基础上的分析和设计方法已难以解决高质量的控制

5、上述线性化基础上的分析和设计方法已难以解决高质量的控制问题。为此，问题。为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控制理论进行研究制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的控制，还必须考虑非线性控制器的设计。例如，为了获得最短控制，还必须考虑非线性控制器的设计。例如，为了获得最短时间控制，需对执行机构采用继电控制，使其始终工作在最大时间控制，需对执行机构采用继电控制，使其始终工作在最大电压或最大功率下，充分发挥其调节能力；为了兼顾系统的响电压或最大功率下，充分发挥其调节能力；为了兼顾系统的响应速率

6、和稳态精度，需使用变增益控制器等等。应速率和稳态精度，需使用变增益控制器等等。 值得注意的是，非线性特性干差万别，值得注意的是，非线性特性干差万别，对于非线性系统，对于非线性系统，目前还没有统一的且普遍适用的处理方法目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。线性系统是非线性。线性系统是非线性系统的持例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的系统的持例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的研究中仍将发挥非常重要的作用。研究中仍将发挥非常重要的作用。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 一般概念一般概念两种分析方法：相平面法、描述函数法两种分析方法：相平面法、

7、描述函数法利用非线性特性改善系统性能利用非线性特性改善系统性能主要内容主要内容1. 非线性系统的非线性系统的基本特征基本特征【例例7-17-1】某一阶非线性系统的某一阶非线性系统的微分方程为微分方程为 ，则，则: :0)1( xxx )0(,1)(0000 xxexxextxtt 其中其中x0=1.05x0=0.75x0=0.5x0=-0.5x0=-1x0=1x0=0不稳定不稳定的平衡的平衡状态状态稳定稳定的平的平衡状态衡状态系系统统不不稳稳定定系系统统稳稳定定；可可见见：1)0(1)0(xx江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理x0=3x0=2x0=1均为收敛于

8、幅值为均为收敛于幅值为2的等副振荡的等副振荡 说明说明： 多数情况下，不希望系统有自振多数情况下，不希望系统有自振产生。长时间的自激振荡一方面会造产生。长时间的自激振荡一方面会造成机械的磨损，能量损耗，增加控制成机械的磨损，能量损耗，增加控制误差。但另一方面，通过在系统中引误差。但另一方面，通过在系统中引入小幅度的高频入小幅度的高频“微振微振”，可以起到，可以起到“动力润滑动力润滑”的作用，有利于减小或的作用，有利于减小或消除间隙、死区及摩擦等因素的影响。消除间隙、死区及摩擦等因素的影响。因此，针对自激振荡必须要具体问题因此，针对自激振荡必须要具体问题具体分析。具体分析。 有关有关自激振荡的研

9、究是非线性系自激振荡的研究是非线性系统分析的重要内容统分析的重要内容。 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元件看作为一个件看作为一个图图7-2 7-2 理想与实际饱和特性理想与实际饱和特性（b）实际饱和特性）实际饱和特性（a）理想饱和特性）理想饱和特性 sxsxxxfxxKxfx如图：如图：11111212,

10、0,tan)()( 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理图图7-3 7-3 死区特性死区特性江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理图图7-4 7-4 间隙特性间隙特性江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 继电特性常常会继电特性常常会使系统产生振荡使系统产生振荡现象，但如选择现象，但如选择合适的合适的继电特性可提高系统的响应速度继电特性可提高系统的响应速度，也可构成正弦信号发生器。，也可构成正弦信号发生器。图图7-5 7-5 继电器特性继电器特性 (a)理想特性理想特性(b)带死区的特性带死区的特性(c

11、)一般特性一般特性江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理3. 3. 非线性系统的分析方法非线性系统的分析方法 目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小小偏差线性化法偏差线性化法、分段线性化法分段线性化法、反馈线性化法反馈线性化法、描述函数法、相平面法及描述函数法、相平面法及计算机仿真计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的等。本章将重点介绍应用较多的相平面法相平面法和和描述函数法描述函数法。 （1 1） 相平面法相平面法 相平面法是相平面法是基于时域的图解分析方法基于时域的图解分析方法。利

12、用二阶系统的利用二阶系统的状态方程状态方程，绘制由，绘制由状态变状态变量量所构成的的所构成的的相轨迹图相轨迹图。可用来。可用来分析系统的稳定性及运动特性分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。 （2 2） 描述函数法描述函数法 描述函数法是描述函数法是基于频域的图解分析方法基于频域的图解分析方法。特点是。特点是，将非线性特性近似表示为，将非线性特性近似表示为复变增益环节复变增益环节，利用线性系统频率法中的稳定判据，利用线性系统频率法中的稳定判据，分析非线性系统的稳定性和自激振荡分析非线性系统的稳定性和自激振荡。 一般用于一般用于高

13、阶非线性系统的分析高阶非线性系统的分析。 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 本节主要学习本节主要学习三个基本内容三个基本内容： 描述函数的描述函数的基本概念基本概念、典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数、用描、用描述函数法述函数法分析在无外作用的情况下分析在无外作用的情况下，非线性系统的非线性系统的稳定性稳定性和和自自激振荡激振荡问题。问题。1. 描述函数的基本概念描述函数的基本概念 图图7-6 非线性系统的典型结构非线性系统的典型结构 描述函数是对系统中的描述函数是对系统中的非非线性元件线性元件在在正弦信号作用下正弦信号作用下的的输出输出进行进

14、行谐波线性化谐波线性化处理后得处理后得到的，其表达形式类似于线性到的，其表达形式类似于线性系统中的系统中的幅相频率特性幅相频率特性。 非线性系统的典型结构如图非线性系统的典型结构如图7-6。其中：其中：G(s) 线性环节传递函数线性环节传递函数 N(x) 非线性元件描述函数非线性元件描述函数江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 若在若在N(x)的输入端加一正弦输入信号的输入端加一正弦输入信号 时，时，其稳态输出其稳态输出 一般为含有高次谐波的周期函数，将其用一般为含有高次谐波的周期函数，将其用傅傅里叶级数展开里叶级数展开为：为：( )sinx tXt 谐波线性化

15、谐波线性化即：忽略高次谐波，即：忽略高次谐波，只考虑基波分量只考虑基波分量的线性化方法。的线性化方法。)sin()sincos()(1010nnnnnntnYAtnBtnAAty 直流分量直流分量第第n次谐波分量次谐波分量式中，式中，An、Bn为为傅里叶系数傅里叶系数nnnnnnBABAYarctan22 )(ty江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 因非线性特性大多为因非线性特性大多为奇对称奇对称，则直流分量，则直流分量A0=0；同时各谐波同时各谐波分量的幅值与基波相比都比较小；再考虑到实际系统的线性部分量的幅值与基波相比都比较小；再考虑到实际系统的线性部分一

16、般都具有分一般都具有低通特性低通特性，因此，可以忽略其高次谐波分量，只，因此，可以忽略其高次谐波分量，只考虑基波分量，即考虑基波分量，即n=1n=1。则：。则： 2020)2 , 1 , 0(,sin)(1,cos)(1nttdntyBttdntyAnn按照傅里叶分解法，其按照傅里叶分解法，其偶函数分量偶函数分量和和奇函数分量奇函数分量的系数分别为：的系数分别为： 200,)(1dttyA而直流分量：而直流分量：)sin(sincos)(1111 tYtBtAty22111111arctanAYABB， 201201),(sin)(1, )(cos)(1ttdtyBttdtyA其中：其中：y

17、(x)= -y (-x)江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 可见：非线性环节在正弦输入情况下，其输出也可近似具可见：非线性环节在正弦输入情况下，其输出也可近似具有和线性环节相类似的频率响应形式，即是一个有和线性环节相类似的频率响应形式，即是一个与输入信号同与输入信号同频率的正弦信号频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了变化。由于只是，只是幅值和相位发生了变化。由于只是用一用一次基波代替了总的输出次基波代替了总的输出，因此，将这种近似处理方法称为，因此，将这种近似处理方法称为谐波谐波线性化线性化。 谐波线性化的条件谐波线性化的条件： 非线性系统应能够简化为图非线性

18、系统应能够简化为图7.1所示的所示的典型结构典型结构。 非线性特性应具有非线性特性应具有奇对称性奇对称性，即：，即：f1(e)=-f1(-e) 保证非线性元件输出的平均值即直流分量保证非线性元件输出的平均值即直流分量A0=0。 系统的线性部分应具有较好的系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性低通滤波特性。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 描述函数描述函数定义定义：在：在正弦信号作用下，正弦信号作用下，非线性环节非线性环节稳态输出的稳态输出的基波分量基波分量与输入正弦量的与输入正弦量的复数比复数比。用。用N(X)表示。表示。由上分析可知：由上分析可知：对于非线

19、性元件，输入对于非线性元件，输入 时，时，谐波线性化后的输出为：谐波线性化后的输出为：( )sinx tXt1111( )cossinsin()y tAtBtYt则描述函数为：则描述函数为：XjABBAXBAeXYeXNXNjXNj111121211)(arctan)()(1 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 描述函数的描述函数的求取求取：【例例7.1】设继电特性为设继电特性为 试计算该非线性特性的描述函数。试计算该非线性特性的描述函数。 00,)(，xMxMxy解：设解：设tXx sin 2,0,)(tMtMtyXMXjABXNMtdttyBtdttyAd

20、ttyA4)(4,sin)(10,cos)(1, 0)(2111201201200 故：故：江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 -因非线性元件一般为非储能元件因非线性元件一般为非储能元件0, 011 A江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理2. 典型非线性特性的描述函数典型非线性特性的描述函数 （1）理想）理想继电特性继电特性的描述函数的描述函数理想继电特性在正弦输入信号作用下的波形如图理想继电特性在正弦输入信号作用下的波形如图7-7所示。所示。 图图7-7 理想继电特性正弦输入作用下的输出波形理想继电特性正弦输入作用下的输出波形

21、t江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 由于由于y (t)是周期为是周期为2的单值方波函数，且关于的单值方波函数，且关于点齐对点齐对称，所以称，所以A0=A1=0， 。01 的的函函数数。幅幅值值，幅幅值值是是输输入入正正弦弦信信号号的的相相位位角角为为即即述述函函数数为为：故故，理理想想继继电电特特性性的的描描所所以以，基基波波分分量量为为：为为：而而基基波波奇奇函函数数分分量量系系数数XXNXMeXYXNtMtyMttdMttdtyBj0)(4)(sin4)(4)(sin2)(sin)(1110201 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理

22、自动控制原理图图7-8 死区特性正弦输入作用下的输出波形死区特性正弦输入作用下的输出波形 X江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理由于死区特性仍为由于死区特性仍为单值奇函数单值奇函数，故只需要求解，故只需要求解B B1 1。XX arcsinsin11其中：其中：故，死区特性的描述函数为：故，死区特性的描述函数为： 212()arcsin1() 2BKN XXXXXX121020/221( )sind1 (sin)sind4(sin)sind2arcsin1() 2By tttK XtttK XtttKXXXXX 1江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动

23、控制原理自动控制原理a-aX图图7-9 饱和特性正弦输入作用下的输出波形饱和特性正弦输入作用下的输出波形江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理11sin 0( ) /2KXtty tKat 因因y (t)为为平顶对称波形平顶对称波形，故只需计算，故只需计算(0,)区间内的积分，区间内的积分，此时：此时：1sinXa1arcsinaX其中：其中：同理可求出：同理可求出：1111/ 2210/ 2024sindsind411sin 2( cos)242arcsin1() BKXttKattKXatttXKXaaaXaXXX212()arcsin1BKaaaN XXaX

24、XXX 故，饱和特性的描述函数为：故，饱和特性的描述函数为：江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理图图7-10 间隙特性正弦输入作用下的输出波形间隙特性正弦输入作用下的输出波形江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 间隙特性是间隙特性是多值函数多值函数，A1、B1均不为均不为0，描述函数为输入信，描述函数为输入信号振幅号振幅X的复函数。的复函数。 y (t)为有为有时间滞后且削顶时间滞后且削顶的正弦波，其前半周期与后半周期的正弦波，其前半周期与后半周期波形相同，符号相反。故计算波形相同，符号相反。故计算A1、B1时可只半波积分。时可只

25、半波积分。 由此求得间隙特性的描述函数为：由此求得间隙特性的描述函数为： 11j()224 arcsin 12 11j12BAN XXXKbbbbKbb XbXXXXXX 描述函数为描述函数为复函数复函数，说明输出对输入有相位差，即输出，说明输出对输入有相位差，即输出滞后于输入。滞后于输入。 同理可求出其它非线性特性的描述函数，如具有死区同理可求出其它非线性特性的描述函数，如具有死区和滞环的继电特性、组合（串联元件）非线性特性等。见和滞环的继电特性、组合（串联元件）非线性特性等。见P223表表7-1所示。所示。江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理江南大学物联网工

26、程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理3. 非线性系统的描述函数分析非线性系统的描述函数分析 分析的分析的条件条件： 假定非线性系统具有图假定非线性系统具有图7.26所示的典型结构，并且系统所示的典型结构，并且系统的线性部分是稳定的，即其极点全部位于复平面的左半部。的线性部分是稳定的，即其极点全部位于复平面的左半部。 分析的分析的内容内容： 非线性系统的非线性系统的稳定性稳定性； 自激振荡及其自激振荡及其稳定性稳定性，振幅和频率的计算振幅和频率的计算。分析的分析的依据依据： 线性系统中的线性系统中的乃氏稳定判据乃

27、氏稳定判据。 分析的分析的思路思路： 在复平面做出线性部分的在复平面做出线性部分的乃氏图乃氏图G(j)，和非线性部分，和非线性部分N(X)的的负倒特性图负倒特性图，根据，根据两者的关系两者的关系，引入乃氏判据，就可，引入乃氏判据，就可进行非线性系统的分析。进行非线性系统的分析。 江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 将系统中的非线性元件看作是具有复增益将系统中的非线性元件看作是具有复增益N(X)的放大器后，的放大器后，整个系统就可以等效为一个整个系统就可以等效为一个变增益的线性系统变增益的线性系统，并可用乃氏判，并可用乃氏判据判断系统稳定性。据判断系统稳定性。

28、由上分析可知，由上分析可知，N(X)只是输入信号幅值只是输入信号幅值X的函数，则：的函数，则： 可见，非线性元件可以看作是具有可见，非线性元件可以看作是具有复数增益复数增益N(X)的放大器，的放大器，即元件的描述函数，就是元件的即元件的描述函数，就是元件的等效复增益等效复增益。)()()()(1txXNtyty N(X)x(t)y(t) 图图7-11非线性系统的典型结构非线性系统的典型结构G(j)()(1)()()()()(jCXNjCXNjRjCj 如图如图7-11为为系统系统闭闭环频率特性环频率特性为：为：对应闭环特征方程为：对应闭环特征方程为：0)()(1 jCXN)(1)(XNjC 江

29、南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 定义：定义： 称为描述函数的称为描述函数的负倒特性负倒特性。)(1XN 对比线性系统中的乃氏判据，当对比线性系统中的乃氏判据，当G(j)= -1时，系统是临时，系统是临界稳定的，即系统处于等幅振荡状态。显然界稳定的，即系统处于等幅振荡状态。显然-1/N(X)相当于线相当于线性系统中的（性系统中的（-1,j0）点）点。可见，线性系统的临界状态是奈氏曲。可见，线性系统的临界状态是奈氏曲线过点（线过点（-1,j0），而），而非线性系统的临界状态是奈氏曲线与负倒非线性系统的临界状态是奈氏曲线与负倒特性曲线特性曲线-1/N(X)曲线相交

30、曲线相交。)(1)(XNjC 可见可见： 只要在复平面上只要在复平面上同时会出线性部分的乃氏曲线和非线性部同时会出线性部分的乃氏曲线和非线性部分的负倒特性曲线分的负倒特性曲线，便可以利用乃氏判据来判断非线性系统的，便可以利用乃氏判据来判断非线性系统的稳定性。稳定性。 方法如下：方法如下：江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理 若若G (j)曲线曲线不包围不包围-1/N(X)曲线，非线性系统曲线，非线性系统稳定。稳定。 （如图（如图a a），而且两者距离越远，稳定性越好。），而且两者距离越远，稳定性越好。 若若G (j)曲线曲线包围包围-1/N(X)曲线，非线性系统

31、曲线，非线性系统不稳定。不稳定。 （如图（如图b b）。）。 若若G (j)曲线与曲线与- -1/N(X)曲线曲线相交相交，理论上将，理论上将产生等幅振荡的产生等幅振荡的周期运动。周期运动。（如图（如图c c，有两个周期运动点，有两个周期运动点A和和B）。）。 (a) 稳定稳定(a) 不稳定不稳定(a) 自激振荡自激振荡图图7-12 非线性系统的乃氏图与负倒特性的关系非线性系统的乃氏图与负倒特性的关系江南大学物联网工程学院江南大学物联网工程学院自动控制原理自动控制原理（3）自振荡自振荡的分析与计算的分析与计算 由上分析可知，若由上分析可知，若G (j)曲线与曲线与-1/N(X)曲线曲线相交相交，非线，非线性系统将产生自振荡，此时对输入信号至少存在一组（性系统将产生自振荡，此时对输入信号至少存在一组（X,）参数满