矢量分析1-1.

1、第一章 矢量分析 1.1 1.1 矢量代数矢量代数 第第1 1章章 矢量分析矢量分析 1.1.1 1.1.1 标量和矢量标量和矢量 1. 1. 标量和矢量标量和矢量 :在物理学中在物理学中,只有大小没有方向的物理量只有大小没有方向的物理量称为标量称为标量.不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。AeAAAAeA2. 2. 矢量的加法矢量的加法 :BA平行四边形法则（或三角形法则）平行四边形法则（或三角形法则）BA平行四边形法则（或三角形法则）平行四边形法则（或三角形法则）第一章 矢量分析 3. 3. 矢量的乘法矢量的乘法 :（1 1）矢量的标积）矢量的标积

2、:cosABBA（2 2）矢量的矢积）矢量的矢积 :sinABeBAn（3 3）矢量的混合积）矢量的混合积 :)()()(BACACBCBA)()()(BACCABCBA第一章 矢量分析 4. 4. 矢量函数的微分公式矢量函数的微分公式 :dtAdkdtAkd)() 1 (dtBddtAdBAdtd)()2(dtAdBdtBdAdtBAd )() 3(BdtAddtBdABAdtd)()4(第一章 矢量分析 5. 5. 矢量函数的积分公式矢量函数的积分公式 :CtBdttA)()() 1 (dttAkdttAk)()()2(dttBdttAdttBtA)()()()() 3(dttAcdttA

3、c)()()4(dttAcdttAc)()()5(第一章 矢量分析 例例1. 1. 在直角坐标系中求从点在直角坐标系中求从点(1,-2,1)(1,-2,1)到点到点(0,0,3)(0,0,3)的矢量的矢量, ,并写出它的单位矢量。并写出它的单位矢量。解解:方法方法1 12xyzBeee3zCe22xyzACBeee 方法方法2 222xyzAeee 2221223AA122333AxyzAeeeeA第一章 矢量分析 1.21.2三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系 1.2.1 直角坐标系直角坐标系 zyxeeexzyeeeyxzeeezyx第一章 矢量分析 dxdydsdxdzdsdydz

4、dszyxdxdydzdV zeyexerzyxdzedyedxerdzyxzzyyxxzzyyxxBeBeBeBAeAeAeA)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBAzzyyxxBABABABAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBA在直角坐标系中位矢微分第一章 矢量分析 1.2.2 圆柱坐标系圆柱坐标系 zzyxsincoszzxytgyx122rrzzAA eA eA e 第一章 矢量分析 sincosxyeee cossinsincoseeeeeeyx或sincosyxeeezeeeeeezeeez第一章 矢量分析 在柱坐标系中zzzzBeBeBeBAeAeAeA)()()

5、(zzzBAeBAeBAeBAzzBABABABAzzzBBBAAAeeeBA第一章 矢量分析 dzedederdzeerzzdddsdzddsdzddszdzdddV位矢微分第一章 矢量分析 解解:将将cossinsincosxyzzeeeeeeee代入代入1cossin(cossin )2zAeeecossinxyzz222xyzeeA21221cos21sin例例2. 2. 把直角坐标系中的矢量把直角坐标系中的矢量 成柱坐成柱坐标系的矢量。标系的矢量。12xyzAeee第一章 矢量分析 1.2.3 球面坐标系球面坐标系 ( , , )r reeereeereee02oro 第一章 矢量分

6、析 sincosxrsinsinyrcoszr 222rxyz22tan/xyztan/y x第一章 矢量分析 sin coscos cossinxreeeesin sincos sincosyreeeecossinzreeecossinsinsincoscoscoscossinsincossinyxzyxzyxreeeeeeeeeee或或第一章 矢量分析 在球坐标系中BeBeBeBAeAeAeArrrr)()()(BAeBAeBAeBArrrBABABABArrBBBAAAeeeBArrr第一章 矢量分析 2sindVrdrd d rrdSe dSe dSe dS 2sinsinrdSrd

7、ddSrdrddSrdrd rerrdrerdedrerdrsin位置矢量第一章 矢量分析 如果在某一空间区域内，某物理量可以用一个如果在某一空间区域内，某物理量可以用一个空间位置和时间的函数来描述，即每一时刻在区域空间位置和时间的函数来描述，即每一时刻在区域中它都有一个确定值，则称在此区域内确定了该物中它都有一个确定值，则称在此区域内确定了该物理量的一种理量的一种场场。场是坐标和时间的函数。场的一个。场是坐标和时间的函数。场的一个重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间区域重要的属性是它占有一定空间，而且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量应是处处连续内，除有限个点和表面外，其物理量

8、应是处处连续的。的。 场的概念场的概念 1.3 标量场的梯度标量场的梯度第一章 矢量分析 若该物理量与时间无关，则该场称为若该物理量与时间无关，则该场称为静态场静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场时变场。静态场与时变场（静态场与时变场（动态场）动态场）第一章 矢量分析 若所研究的物理量是标量（如温度、电位、密度若所研究的物理量是标量（如温度、电位、密度等），则该物理量所确定的场称为等），则该物理量所确定的场称为标量场。标量场。1.3.1 1.3.1 标量场的等值面标量场的等值面 在标量场中，使标量函数在标量场中，使标量函数U

9、U（x x，y y，z z）取得）取得相同数值的点构成一个空间曲面，称为标量场的相同数值的点构成一个空间曲面，称为标量场的等值面。等值面。 U U（x x，y y，z z）=C=C就是就是等值面方程。等值面方程。 在标量场中，各点的场量是随空间变化的在标量场中，各点的场量是随空间变化的标量。标量。可以用一个标量函数来表示。可以用一个标量函数来表示。第一章 矢量分析 等值面具有如下特点：等值面具有如下特点：（1 1）常数）常数C C取一系列不同的值，就得到一系列不同取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面的等值面 ，因而形成等值面等值面族；（2）若 是标量场中的任一点，显然 是通过该点的等值面

10、，因等值面，因此标量场的等值面族充满场所在的整个空间；此标量场的等值面族充满场所在的整个空间；（3 3）由于标量函数）由于标量函数U U（x x，y y，z z）是单值的，一个）是单值的，一个点只能在一个等值面上，因此标量场的等值面互不点只能在一个等值面上，因此标量场的等值面互不相交。相交。），（0000zyxM），（），（000zyxUzyxU第一章 矢量分析 2()0 xyz 例例1、 求标量场求标量场 通过点通过点M (1, 0, 1)的等值面方程。的等值面方程。2()xyz解：点解：点M的坐标是的坐标是 ，则该点的，则该点的数量场值为数量场值为 ，其等值面方程为，其等值面方程为0001

11、,0,1xyz2000()0 xyz或或 2()zxy第一章 矢量分析 1.3.2 标量场的方向导数标量场的方向导数1） 标量场的方向导数标量场的方向导数 设设M0 是标量场是标量场 中的一个中的一个已知点，从已知点，从M0 出发沿某一方向引出发沿某一方向引一条射线一条射线l, 在在l上上M0的邻近取一点的邻近取一点M， M0 M =若当若当M M 趋于趋于M0时时( (即即 趋于零时趋于零时) )， 的极限的极限存在，称此极限为函数存在，称此极限为函数 在点在点 M0 处沿处沿l方向的方向的方向导数方向导数U(M)lllMuMu)()(0lMuMulul)()(00lim第一章 矢量分析 方

12、向导数方向导数 是标量场是标量场 在点在点 处沿处沿 方向对方向对距离的变化率。距离的变化率。luU(M)M0lU(M)l当当 时，标量场时，标量场 沿沿 方向是减小的；方向是减小的；当当 时，标量场时，标量场 沿沿 方向无变化；方向无变化；0luU(M)l0luU(M)l0lu当当 时，标量场时，标量场 沿沿 方向是增加的；方向是增加的；第一章 矢量分析 在同一位置处，沿不同方向有与之相应的方向在同一位置处，沿不同方向有与之相应的方向导数，即导数，即非唯一非唯一。2） 方向导数的计算公式：方向导数的计算公式： coscoscoszuyuxuluMdldzzudldyyudldxxuluM),

13、(zyxuu 若函数若函数 在在M处可导处可导，cos、cos、cos为为l 的方的方向余弦，函数向余弦，函数 在点在点 M处沿处沿 l 方向的方向导数必定存在，为方向的方向导数必定存在，为 u第一章 矢量分析 1.3.3标量场的梯度标量场的梯度 若标量场若标量场 在在 l 方向上的方向导数为方向上的方向导数为 在直角坐标系中在直角坐标系中 coscoscosxyzleee ),(zyxuu coscoscoszuyuxuluzyxezueyuexuG),cos(00lGGlGlu第一章 矢量分析 由上式可见，当由上式可见，当l 与与 的方向一致时，即的方向一致时，即 时，标量时，标量场在点场

14、在点M处的方向导数最大，即沿矢量处的方向导数最大，即沿矢量 方向的方向的方向导数最大方向导数最大，且且唯一唯一。此最大值为。此最大值为 Gcos( ,)1G l G|maxzyxezueyuexuGlu第一章 矢量分析 梯度用哈密顿微分算子的表达式为梯度用哈密顿微分算子的表达式为 graduu 定义定义：在标量场在标量场 中的一点中的一点M处有一矢量，其方向取函处有一矢量，其方向取函数数 在在M点处变化率最大的方向，其模等于点处变化率最大的方向，其模等于 ，该矢量称为标，该矢量称为标量场量场 在在M点处的点处的梯度梯度，用，用grad 表示。表示。( , , )x y z|G在在直角坐标系直角

15、坐标系中，中， 梯度的表达式为梯度的表达式为u),(zyxuuuzyxezueyuexugraduu第一章 矢量分析 sinrueruerueur柱坐标系柱坐标系球坐标系球坐标系zueueueuz1第一章 矢量分析 梯度的性质：梯度的性质：（1 1）标量场）标量场U U的梯度是一个矢量场，通常称的梯度是一个矢量场，通常称 为标量场为标量场U U所产生的梯度场；所产生的梯度场；（2 2）标量场）标量场U U（M M）中，在给定点沿任意方向）中，在给定点沿任意方向 的方向导数等于梯度在该方向上的投影；的方向导数等于梯度在该方向上的投影；（3 3）标量场）标量场U U（M M）中每一点）中每一点M

16、M处的梯度，垂直于处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向过该点的等值面，且指向U U（M M）增加的方向。）增加的方向。ul),cos(00lGGlGlu0lulu第一章 矢量分析 梯度运算法则梯度运算法则（设设c为一常数，为一常数，u 和和 v 为标量场）为标量场） 20()()()1() ( )( )ccuc uuvuvuvv uu vuv uu vvvf ufuu 第一章 矢量分析 例例1-2 求数量场 在点M(1, 1, 2)处沿方向 的方向导数。 解：解： 方向的方向余弦为 322212cos322212cos312211cos222222222zyxu22zyxeeel22l第一章

17、 矢量分析 而 222)(,2,2zyxzuzyyuzxxu数量场在 方向的方向导数为 22232232231coscoscoszyxzyzxzuyuxulu324232132131Mlul在点M(1,1,2)处沿 方向的方向导数 l第一章 矢量分析 1.4 1.4 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 若所研究的物理量是一个矢量，则该物理量所确定的场称为矢量场。），（zyxFF在直角坐标系中：），（），（），（zyxFezyxFezyxFeFzzyyxx第一章 矢量分析 1.4.1 1.4.1 矢量场的矢量线矢量场的矢量线 zyxFdzFdyFdxzzyyxxFeFeFeF设矢量场M（x，y

18、，z）是场中矢量线矢量线 上的任意一点，其矢径为：zeyexerzyxdzedyedxerdzyx矢量线的微分方程组矢量线的微分方程组第一章 矢量分析 例例1-2 求矢量场 的矢量线方程。解：解： 矢量线应满足的微分方程为 zydzyxdyxydx222zydzxydxyxdyxydx22222221cyxxcz从而有 解之即得矢量方程 c1和c2是积分常数。 zyxezyeyxexyA222第一章 矢量分析 1.4.2 矢量场的通量矢量场的通量 曲面上一个面元矢量的表示曲面上一个面元矢量的表示 dSndSn 是面元法线方向的单位矢量是面元法线方向的单位矢量n第一章 矢量分析 如果曲面是一个封

19、闭曲面如果曲面是一个封闭曲面 SA dS 面元上的通量为面元上的通量为cosdA dSAdS cosSSA dSAdS 整个曲面整个曲面S的通量的通量封闭曲面的通量与在封闭曲面的通量与在封闭曲面内存在的通量源有关封闭曲面内存在的通量源有关第一章 矢量分析 0ssdA当当 时，穿出封闭曲面的通量多于穿入时，穿出封闭曲面的通量多于穿入封闭封闭曲面的通量，此时封闭曲面内必有发出矢量线的源，曲面的通量，此时封闭曲面内必有发出矢量线的源，称为正通量源。称为正通量源。当当 时，穿出封闭曲面的通量少于穿入时，穿出封闭曲面的通量少于穿入封闭封闭曲面的通量，此时封闭曲面内必有汇集矢量线的源，曲面的通量，此时封闭曲面内必有汇集矢量线的源，称为负通量源。称为负通量源。当当 时，穿出封闭曲面的通量等于穿入时，穿出封闭曲面的通量等于穿入封闭封闭曲面的通量，此时封闭曲面内正通量源与负通量源的曲面的通量，此时封闭曲面内正通量源与负通量源的代数和为零，或封闭曲面内无通量源。代数和为零，或封闭曲面