选修1—2 3.2.1复数的加法与减法.

1、3.1.23.1.2复数的几何意复数的几何意义义 1复数的概念及代数表示 (1)定义：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2. (2)表示：复数通常用字母z表示，即zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的与1实部虚部 3复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，那么abicdi .ac且bd 1复平面的定义 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做，y轴叫做，实轴上的点都表示实数，除了外，虚轴上的点都表示纯虚数实轴虚轴原点变式二：变式二：已知复数已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i，证明证明对一切实数对一

2、切实数m，此复数所对应的点不可能位于第四，此复数所对应的点不可能位于第四象限。象限。点位于第四象限，点位于第四象限，证明：若复数所对应的证明：若复数所对应的 020622mmmm则则3221mmm 或即不等式解集为空集，不等式解集为空集，所以复数所对应的点不可能位于第四象限所以复数所对应的点不可能位于第四象限.复数复数z=z=a+bia+bi直角坐标系中的点直角坐标系中的点Z(a,b)Z(a,b)一一对应一一对应平面向量平面向量OZ 一一对应一一对应一一对应一一对应xyobaZ(a,b) 为方便起见为方便起见,常把复数常把复数z= a + bi 说说成成点点Z或者说成向量或者说成向量 ,并且规

3、并且规定定:相等的向量表示同一个复数相等的向量表示同一个复数.OZz=a+bi注意注意: 复数与向量建立一一对应关系复数与向量建立一一对应关系的的前提前提:起点都是原点起点都是原点O.若起点不统若起点不统一一,是原点以外的其它点是原点以外的其它点,复数与向量复数与向量就不能建立一一对应关系就不能建立一一对应关系.xyobaZ(a,b)z=a+bi向量向量 的模叫做复数的模叫做复数z=a+bi的的模，记做模，记做O Zzabi或复数的模的几何意义：复数的模的几何意义：复数复数z=a+bi在复平面所对应的点在复平面所对应的点Z（a，b）到原点的）到原点的距离距离.)0(22rbarozbiaz如何

4、求复数的模？如何求复数的模？ 特别地特别地,若若 b=0 , 那么那么z= a + bi是一个实数是一个实数 a ,它的它的模等于模等于 | a | (即实数的绝对值即实数的绝对值).例例4、已知复数已知复数z 1=3+2i，z2=-2+4i，比较这两，比较这两个复数模的大小个复数模的大小解：121213,25zzzz练习：练习：已知复数已知复数 的模为的模为5，求，求k的值的值3 ,()zki kR2295,164kkk 解： z02azaz(15)，(13)，(15)，(13)，(08广东. )已知， 复数 的实部为 ，虚部为1，则 的取值范围是（ ）A BCDCxyO设设z=x+yi(x

5、,yR)满足满足|z|=5(zC)的的复数复数z对应的点有无对应的点有无数个，它们在复平数个，它们在复平面上构成一个圆以面上构成一个圆以原点为圆心，半径原点为圆心，半径为为5 5的圆。的圆。55555|22yxz2225xy例例2. 若复数若复数.4 , , , , i2, i 23, i 32, i 21 43214321明你的结论明你的结论？并证？并证个点是否在同一个圆上个点是否在同一个圆上断这断这试判试判对应的点分别为对应的点分别为在复平面内在复平面内zzzzzzzz 解：因为解：因为222( 2)( 3)5z223( 3)(2)5z 221125z 224( 2)15z 所以 都在以原

6、点为圆心， 为半径的圆上。1234,z zz z55例3、设设 ，满足下列条件的点，满足下列条件的点Z Z的集的集合是什么图形？合是什么图形？(1)2;z (2)2;z (3) 23.zzC变式一：变式一：260zz260zz2560zz变式二：变式二：练习：练习： 在复平面内，方程在复平面内，方程 所表示的图形是（所表示的图形是（ ） A A、两个点；、两个点；B B、两条直线；、两条直线；C C、两个圆；、两个圆；D D、一个圆、一个圆D D 一、选择题 1ii2在复平面内表示的点在() A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案B 解析i21，ii21i，在复平面内对应点坐标为

7、(1,1)，所以该点在第二象限内，故应选B. 2下面给出4个不等式，其中正确的是() A3i2i B|23i|14i| C|2i|2i4 Di2i 答案C A2i B2i C12i D12i 答案B 二、填空题 4复数35i,1i和2ai在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a的值为_ 答案5 5设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数z(cotBtanA)i(tanBcotA)对应点位于复平面的第_象限 答案二 三、解答题 6实数x分别取什么值时，复数zx2x6(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)第四象限；(3)直线xy30上？ 解析因为x是实数，所以x2x6，x22x15

8、也是实数 若已知复数zabi，则当a0，且b0，且b0时，复数z对应的点在第四象限； 当ab30时，复数z对应的点在直线xy30上 知识回顾知识回顾1、复数的代数形式、复数的代数形式 _ Z=a+bi (a，bR)3. 复数的几何意义是什么？复数的几何意义是什么？类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？类比实数的运算法则能否得到复数的运算法则？Z=a+bi(a.bR)复平面上的点复平面上的点Z(a,b) 向量向量OZ实数实数虚数虚数 复数复数0b纯虚数纯虚数非纯虚数非纯虚数0,0ab2 2.分类分类0,0ab？设设Z1=a+bi，Z2=c+di (a、b、c、dR)是任意两是任意两个复数，那

9、么它们的和个复数，那么它们的和：（a+bi)+(c+di)= （1）复数的加法运算法则是一种规定。）复数的加法运算法则是一种规定。当当b=0b=0，d=0d=0时与实数加法法则保持一致时与实数加法法则保持一致（2 2）很明显，两个复数的和仍然是一个）很明显，两个复数的和仍然是一个 。 对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。1、复数的加法法则：、复数的加法法则：(a+c)+(b+d)i复数即实部与实部即实部与实部 虚部与虚部分别相加虚部与虚部分别相加证：证：设设Z1=a1+b1i，Z2=a2+b2i，Z3=a3+b3i (a1，a2，a3，b1，

10、b2，b3R)则则Z1+Z2=（a1+a2)+(b1+b2)i，Z2+Z1=（a2+a1)+(b2+b1)i显然显然 Z1+Z2=Z2+Z1同理可得同理可得 (Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)点评点评：实数加法运算的交换律、结合律在复数集：实数加法运算的交换律、结合律在复数集C中中依然成立。依然成立。运算律运算律探究探究? ?复数的加法满足交换律，结合律吗？复数的加法满足交换律，结合律吗？Z1+Z2=Z2+Z1(Z1+Z2)+Z3=Z1+(Z2+Z3)复数的加法满足交换律、结合律，即对任复数的加法满足交换律、结合律，即对任意意Z1C，Z2C，Z3C1、计算、计算 (1)(+4i)+(3

11、-4i)= (2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)= (3)已知已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若，若Z1+Z2是纯虚数，是纯虚数，则有（则有（ ） A.a-c=0且且b-d0 B. a-c=0且且b+d0 C. a+c=0且且b-d0 D.a+c=0且且b+d0 5-8iD课堂练习2、复数的减法法则：、复数的减法法则：已知复数已知复数 ，根据加法定义，存，根据加法定义，存在唯一的复数在唯一的复数_，使得，使得 ),(Rbabiazbia0)()(biabia我们把我们把 叫做叫做 的的相反数相反数。biabiaz根据相反数的概念，我们规定两个复数的减法法则如下根据相反数的概念，我

12、们规定两个复数的减法法则如下：)()()()(dicbiadicbiaidbca)()(即实部与实部即实部与实部 虚部与虚部分别相减虚部与虚部分别相减 （1）复数的减法运算法则是一种规定。）复数的减法运算法则是一种规定。当当b=0b=0，d=0d=0时与实数减法法则保持一致时与实数减法法则保持一致（2)2)对于复数的减法，减去一个复数可对于复数的减法，减去一个复数可以看做加上这个复数的相反数。以看做加上这个复数的相反数。说明：说明：),(2dcZ),(1baZZyxO 设设 及及 分别与复数分别与复数 及复数及复数 对应，则对应，则 , 1OZ2OZ abi+cdi+1( , )OZa b=2

13、( , )OZc d= 向量向量 就是与复数就是与复数 OZ () ()a cb d i+对应的向量对应的向量.12( , )( , )(,)OZOZOZa bc dac bd=+=+=+ 复数的加法可按照向量的加法来进行，这就复数的加法可按照向量的加法来进行，这就是是复数加法的几何意义复数加法的几何意义三、复数加减法的几何意义三、复数加减法的几何意义xoyZ1(a,b)Z2(c,d)复数复数z2z1向量向量Z1Z2符合向量符合向量减法的三减法的三角形法则角形法则.复数复数减法减法运算的几何意义运算的几何意义? ?表示复平面上两点表示复平面上两点Z Z1 1 ,Z,Z2 2的的距离距离复数减法

14、的几何意义复数减法的几何意义：1221OZOZZ Z-= 2 已知 以OA,OB为邻边做平行四边形OACB,求向量 对应的复数.,2 ,23,iiOBOA对应复数是OC课堂练习解：OC=OA+OB即对应(-3+2i)+(2+i)=-1+3i学学 以以 致致 用用讲解例题讲解例题 例例1 计算计算(5 6) ( 2 ) (3 4)iii-+ - - - +(5 6) ( 2 ) (3 4)(5 2 3) ( 6 1 4)11iiiii-+ - - - +=- - + - - -=-解：解：例2：设z1= x+2i,z2= 3-yi(x,yR),且z1+z2 = 5 - 6i,求z1-z2解：z1

15、=x+2i，z2=3-yi，z1+z2=5-6i(3+x)+(2-y)i=5-6iz1 - z2 = (2+2i) - (3-8i) = -1+10i3+x=5,2-y=-6.x=2y=83、计算：（、计算：（1）( 3 4i)+(2+i) (1 5i)=_ （2） ( 3 2i) (2+i) (_)=1+6i4、已知、已知xR，y为纯虚数，且（为纯虚数，且（2x 1)+i=y (3 y)i 则则x=_ y=_2+2i9i324i分析：依题意设分析：依题意设y=ai（a0），则原式变为：），则原式变为：（2x 1)+i=(a 3)i +ai2= a+( a 3)i 23由复数相等得由复数相等得

16、2x 1= aa 3=1x=y=4i课堂练习 例例3 3、已知复平面内一平行四边形已知复平面内一平行四边形AOBCAOBC顶点顶点A,O,BA,O,B对应复数是对应复数是 -3+2i, 0, 2+-3+2i, 0, 2+i i .1 .1、求点、求点C C对应的复对应的复数数.2.2、求、求OCOC表示的复数表示的复数 3 3、ACAC表示的复数表示的复数解:1、复数-3+2i ,2+i,0对应 A(-3,2),B(2,1),O(0,0),如图. 点C对应的复数是-1+3i 在平行四边形 AOBC中,xyA 0CB)3,1()1 ,2()2,3(OCOBOAOC几何意义运用2、OC对应复数是对

17、应复数是-1+3i3、AC=OC-OA=2+i小结小结 复数的代数形式加减运算复数的代数形式加减运算 (a+bi) (c+di)=(ac) +(bd)i即即实部与实部相加减，虚部与虚部相实部与实部相加减，虚部与虚部相加减加减 复数的加减法的几何意义复数的加减法的几何意义 就是向量加减法的几何意义就是向量加减法的几何意义教师教师寄语寄语： 信信 心心 就就 是是 力力 量量 ！ 性质性质平面向量平面向量复数复数模模大小的比较大小的比较不能比较大小不能比较大小模可以比较大小模可以比较大小几何意义几何意义与坐标平面与坐标平面的点一一对应的点一一对应加法运算加法运算减法运算减法运算22ba模为b)的向量(a, d)bc,(ad)(c,b)(a, d)bc,(ad)(c,b)(a, 22ba的模为bia z复复数数不能比较大小不能比较大小模可以比较大小模可以比较大小与复平面的与复平面的点一一对应点一一对应d)ibc)(adi)(cbi)(a (d)ibc)(adi)(cbi)(a (复数与平面向量的性质类比复数与平面向量的性质类