非线性04自然界非线性动力学系统与电路模拟

1、第四章 自然界非线性动力学系统与电路模拟本章是上一章的继续，讲述各种类型的单元非线性电路，不同的是上一章的电路来源于电子电路内部，本章则来源于自然界的其它动力系统。非线性科学是跨学科的综合自然科学，非线性电路是非线性科学中的一个部分，现代非线性电路科学既要从其它非线性学科中借鉴经验与吸收成果，将它们的知识充实自己的专业领域，又要将电子电路的经验与成果应用到整个非线性学科中。在这里，其它非线性动力系统的电路模拟仍然具有一定的意义，而不仅仅是玩玩电路游戏而已，这要从两个方面来看。第一，通过电路模拟，使得其它非线性动力系统的某些不易观察的现象用电路模拟形象化地显示出来，例如圆周映射复杂现象的显示;

2、还能节约被模拟系统的实验成本，例如某些量子效应实验。第二，非线性动力系统的电路模拟结果能够直接应用于非线性电路系统，例如描述大气运动的洛伦茨方程能够应用于混沌保密通信。所以电路模拟既体现电路研究的成果与贡献，又体现电路研究对于其它学科的知识吸收。非线性动力系统电路模拟的内容非常丰富，本章仅举几个实例，读者完全能够使用这一思想实现自己需要的电路模拟。第一节 自然界与自然科学的非线性系统由于非线性自然现象的客观存在性与自然科学工作者的研究积极性，非线性科学的发展来势凶猛，使得电子学学科的非线性研究如火如荼。非线性科学是典型的交叉科学，非线性电路的研究与其它学科的非线性研究已经完全融为一体。就目前来

3、看，非线性研究整体发展很快且规模很大的学科有数学、物理学、经济学、社会学、生物学、生态学、生理学与医学、机械工程学等，在这一切的发展中电子计算机的应用起着举足轻重的作用。非线性电子学的发展很有特色，它一方面及时地借鉴其它学科的成功经验促进本学科的发展，另一方面积极地把自己的成果推广应用到其它学科中去，使非线性电子学具有特别重要的地位，这已经被近期历史所证明。数学永远是人类取之不尽用之不竭的知识源泉，而电子学（包括电工学）从中获得所需也为之有所贡献。现状是，非线性数学中的很大一部分成果可以直接应用于电子学，例如多数非线性微分方程与迭代方程，只要它的解是有限值就很可能用电子电路实现，这是因为电子电

4、路是由稳压电源提供能量的，而稳压电源提供的电压或电流是有限值。理解这一点很重要，它划清了用电子电路模拟数学非线性微分方程的范围。物理学真实反映了我们的自然界，也是电子电路科学技术的发源地。物理学中的很大一部分成果可以直接应用于电子学，非线性物理运动就是这样的运动。物理学的机械运动规律基本与电路动态特性相同，所以机械运动规律研究的成果很容易转换成相应的电子电路。机械运动中，有保守力系统与非保守力系统，保守力系统能量守恒，对应的电子电路由单纯的储能元件实现，比较特殊; 非保守力系统一般有不含信息的能量输入，并且还有能量的损耗，这就是耗散结构系统，对应的电子电路由储能元件与耗能元件实现，是通用电子电

5、路，物理学的耗散结构系统是重要系统，是物理学与其它学科交叉研究的重要分支学科，又是物理学与生物学之间的交叉，具有重要的地位，电子电路研究与之加盟很有意义。其它学科的成果也都深刻地促进非线性电子电路的发展，例如混沌保密通信电路的一个思想就是使用几个混沌方程混合后传送保密信息，混沌方程越多保密性能越好，这要求有较多的混沌类型供设计者选择。从这里看到，非线性电路的发展需要其它学科的非线性研究的众多成果。从电子电路自身来看，实现非线性电路功能从两个方面考虑，一个是以电子计算机为核心，使用基于电子计算机技术的路线，使用离散的数字逻辑信号; 一个是以模拟电路为核心，使用基于模拟电子技术的路线。实际应用中使

6、用二者的结合，单纯使用单一技术的实际系统已经很少了。非线性电子电路技术中，有三个实际技术被广泛使用，一是DSP技术（数字信号处理器），二是PLD（可编程逻辑器件），三是单片机系统（嵌入式计算机系统）。原则上说，以上三个技术中的任何一个技术都能实现非线性电路的设计。使用传统模拟电子元件设计非线性设计的元件有电阻、电容、电感、二极管、运算放大器、加法器与减法器、乘法器与除法器、微分器或积分器，还有以上电路的组合如超电容、超电感、绝对值电路、仿真电感等。这些为设计非线性电路设计提供了保证，各种运动方程转换成具体电路就很容易了。能够转换成电子电路的非线性动力系统很多，著名的动力系统与代表方程有李纳德方

7、程、范德坡方程、杜芬方程、洛伦兹方程、洛斯勒方程、依侬迭代等。本章主要研究目的与研究范围是：用现代电子线路方法模拟至今已经发现的大部分混沌运动现象，研究方法是：在设计具体电子电路中，一面设计具体电路，一面用计算机仿真方法模拟具体电路。这与前面提到的仿真实验是不同的，前面的仿真实验是用仿真软件仿真各种“微分方程”，是“仿真理论模型”，本章研究的仿真实验是“仿真电子电路”，是电子线路实际设计，仿真目的是辅助设计具体电路，具有实践性。第二节 人口模型理论及其电路模拟一、人口模型与逻辑斯蒂映射在达尔文提出生物进化论之后，马尔萨斯（1766-1834）提出人口增长理论，认为人口的净增长率为常数，即单位时

8、间内人口增长率与人口总数成正比，设t时刻人口数为p(t)，则有7 4-1其解为，a=0.029，时间单位为年。用此模型估算某些国家1700-1961年的人口数目时竟然惊人的吻合。但是这个模型是发散的，不能以此长期预报。考虑到人类生存环境的有限性，Verhulst认为人口增长率既和人的生育能力a成正比，也和与地球容纳的人口总数有关的常数b有关，关系是，设地球容纳的人口总数= 4-2则改进的人口模型为 4-3例如，1980年5月1日，我国公布1979年底为97092万人，当时人口增长率1.45%，将a=0.029、dp/dt=0.029代入，有0.029-b×9.7092×10

9、8=0.0145，得到我国人口极限约为a/b=19.42亿。欲将微分方程式4-3改写成迭代方程，将写为， 4-4A得 4-4B为了使其简捷，显然应该写成 4-4括号内第一项写成1是归一化的考虑，表示人口总数为1。这就是著名的逻辑斯蒂映射，本书已经在第2章第3节列出，它还可以以其它形式写出来，式4-4的形式称为标准逻辑斯蒂映射。它有3个因素构成:x是变量，表示“人口”，下标n表示“代”，x取值01。表示增长系数，<1人口衰落，>1人口发展。（1-xn）表示环境限制因素。标准逻辑斯蒂映射的分岔图与对应的李雅普诺夫指数如图4-1与图4-2所示。图4-1与图4-2可以用光盘程序VB1010

10、.FRMVB1015.FRM运行得到。图4-1中，=13的一段呈现的特性是周期1，=33.4左右的一段呈现的特性是周期2，之后分别是周期4、周期8、周期16等等，从=3.83后的一段呈现的特性是周期6、周期12、周期24等等。下面仔细分析周期1的一段曲线，代入式4-4，因为代入时可以去掉下标，即是一个代数方程，有两个变量：自变量x与参变量，对于自变量x，是二次代数方程。解x的二次代数方程，得第一个解是,不予讨论，第二个解代入4-4得，由于x在01间，得到>1，即周期1开始于=1。下面分析周期2的一段，代入式4-4，因为即解之得 (a) (b)图4-1 标准逻辑斯蒂映射的分岔图 (a) (

11、b)图4-2 标准逻辑斯蒂映射的李雅普诺夫指数由第一式，得到>3，即周期2开始于=3。再下面是周期4，类似计算方法原则上并不困难，就是解四次方程而已，但是已经相当复杂了，在此不再具体计算，结果是总结以上几个数据，周期2的区间长度与周期1的区间长度之比是同样方法得到周期4的区间长度与周期2的区间长度之比，依此类推，能够得到一个收敛的极限值。理论物理学家费根堡姆（Feigenbaum M J）于1978年对逻辑斯蒂映射以及其它的映射与方程进行全面、系统研究，找到这个区间长度之比收敛的极限值是4.66920，是普遍存在于自然界的普适常数-费根堡姆常数，如同于相对论中的光速常数与量子力学中的普朗

12、克常数，具有深刻的哲学意义，后面的论述表明电子电路中的形态也符合这一规律性。二、逻辑斯蒂映射的普遍性及其在电子电路中的存在形式尽管以上逻辑斯蒂映射是从人口模型推导出来的，但是，逻辑斯蒂映射是自然界的普遍现象，广泛存在于机械、电磁、光学、气象、生物、经济等等各种运动中，电子学电路中比比皆是26，44，如绪论一章中讲到的周期信号施加到电感、电容、二极管串联电路上就能够以这样的方式进入混沌。它具有生物学、数学、哲学、经济学、社会学及其它学科的深刻意义。电子电路中存在逻辑斯蒂映射的根本原因是：从电子电路状态变量提炼出的数学方程与其它学科领域的运动方程具有相同的形式，表明它们具有共同的规律性，电子电路方

13、程尽管具有自己的特点，共同规律性仍然是主要的。观察电子电路中逻辑斯蒂映射图象的方法是使用程序设计高级语言的显示语句，程序设计高级语言如VB。以观察杜芬方程电路中的逻辑斯蒂映射图象为例，程序编写比观察蔡氏电路中的逻辑斯蒂映射图象容易，下面分别介绍两种电路中的逻辑斯蒂映射图象显示程序编写思想。先介绍杜芬方程的，参见公式3-45，固定参变数a、b、，在VB中，先建立平面坐标系，横坐标选杜芬方程的外力幅度变量f，纵坐标选杜芬方程在满足外力特定相位条件的响应幅度变量x，之后编写程序，显示这些离散值，结果如图4-3所示。(a) f=070 (b) f=010图4-3 杜芬方程的逻辑斯蒂映射蔡氏电路中的逻辑

14、斯蒂映射图象显示程序编写需要一些技巧，关键是如何选择合适的“相位”。不象杜芬方程的周期外力，蔡氏电路中没有类似的周期外力，方法是在蔡氏电路的三个变量VC1、VC2与IL中，原则上说可以取任意一个变量，在它的最大值处就可以说是一个特定的“相位”了。一个程序实例是，取归一化蔡氏电路的m0=-1/7、m1=2/7、=15, 以为横坐标轴，以y为纵坐标轴，电路呈现逻辑斯蒂映射图象，在以前已经出现过，见图3-13，VB仿真程序源代码见光盘文件VB5250.FRM。所有非线性电路中的逻辑斯蒂映射图象形式尽管差别很大，然而共性是主要的，都有费根堡姆常数作为标志，并且与其它非线性动力系统相一致。在任何非线性电

15、路中的逻辑斯蒂映射图象中，都是分形结构。形成逻辑斯蒂映射图象的所有非线性电路，非线性的形式可能很多，但是结果基本一致，整体规律性完全不变。三、逻辑斯蒂映射电路设计电子电路中的逻辑斯蒂映射应用也很多。专门应用就是设计，后面的章节涉及很多，现举一例说明67。图4-4(a)中，乘法器实现，放大器的放大倍数为，脉冲发生器及模拟开关控制迭代的节拍（即由xn产生xn+1的间隔），采样保持器保持当前值xn与xn+1。正常工作过程为：在电源上电的瞬间，模拟开关处于断开状态，控制放大器的输出xn使其小于1，同时减法器实现1-xn运算，并将两路结果分别保持在采样保持器中，则系统输出为xn；此刻，瞬间启动模拟开关，

16、乘法器实现xn与（1-xn）相乘运算，经放大器倍放大后，放大器的输出便为，完成了式4-4的一次迭代运算，重复以上过程，即实现了逻辑斯蒂映射过程。为了防止电路受到干扰使输出值xn大于1或电路因元器件精度的限制达到稳定点（输出恒为0.5V），在输出端设计了比较器，当输出值大于1时，单稳电路起作用，将初始值x0=0.38V电压加到乘法器上，令电路再次进入混沌状态。由于电路存在的各种噪声及元器件工作的不稳定性，使得系统在相同的初始值情况下，运动轨迹也是不一样的，这一点从某种意义上而言，也有利于图4-4(a)所示系统处于混沌工作状态。图4-4(b、c)是脉冲发生器频率为100kHZ，即每10S迭代一次，

17、该电路能够产生频域及自相关函数波形的输出信号。图4-3(b,c)示出=3.85时的有关波形，计算其李亚谱诺夫指数为0.692 9左右，大于零，理论计算亦表明此时信号处于混沌状态，输出的信号具有良好的白噪声特性。(a) 逻辑斯蒂映射电路方框图（b）混沌信号频域波形 （c）混沌信号自相关波形图 4-4 逻辑斯蒂映射方框图及3 85时混沌信号频域及自相关波形设一线性时不变系统，它的单位冲激响应为h(t)，如输入信号为x(t)，则可以得到系统的输出响应y(t)=x(t)* h(t)，根据相关原理，有 4-5式4-5中Ryy为系统输出信号自相关函数；Rxx为系统输入信号自相关函数；Rhh为系统单位冲激响

18、应自相关函数。当输入信号为混沌信号时，则有：是混沌信号的方差。则 4-6此式表明，只要检测到输出信号y(t)，并求其自相关函数Ryy(t），那么，系统的功率谱估计为：Phh(w)=LRhh(t)，即可求得系统的频率特性。图4-5（a）为一已知低通滤波器，电阻 R=100，电容 C=150F，输入信号为X(t），输出信号为y(t）。理论计算，该低通滤波器的系统函数频率响应为 4-7则，对应的幅一频特性曲线如图4-5(b）所示。如作用该系统的输入信号X(t)为图4-5所示的混沌信号，利用式4-6可直接通过求输出信号的幅一频特性来确定系统的频率特性，实际获得的输出响应特性如图4-5（c）所示。二者比

19、较可知，用混沌信号来估计系统的幅一频特性是可行的。图4-4(a)所示电路产生的混沌信号，不但可用于系统的特性分析，还可通过简单的处理，产生混沌序列，用于保密通信或跳频通信领域中。同时，如将图4-4(a)中运算放大器的反馈电阻用热敏电阻或压敏电阻等敏感元器件来替代，则当外界物理量发生变化时，可引起运算放大器放大系数的改变，此时输出信号可经倍周期分叉进人混沌，从而可通过对输出信号频率特性的测量实现对外界温度或材料损伤程度的检测。（a）RC电路 （b）理论计算幅频特性 （C）实际测试幅频特性图4-5 低通滤波器电路及幅频特性第三节 圆周映射理论与频率牵引电路实验一个具有固有周期的系统在外来周期作用下

20、的双周期动态特性历来被人们所重视，在线性科学技术中，其动态属性由谐振曲线描述，这早已为人熟知。非线性问题研究初期，双周期系统动态特性是研究的典范。上世纪中叶，在数学科学中，数学家对于此类问题的研究取得了较大进展，被认为是数学科学的重要突破。这一问题是自然科学的基本问题，是人们对于自然界认识的深化。在电子电路中涉及到两个基本的电路-线性放大器与非线性LC振荡器（面应该更宽些），这是两个在技术上相互独立并且尽量避免影响的电路，现在将二者联系起来综合研究。因此，这是一个交叉问题。中心问题是圆周映射（Circle map）。圆周映射是关于自然界的周期运动相互影响而同步(Syncronazation)的

21、理论，反映自然界的周期的、准周期(qusipriodicity)的与混沌的运动之间的内在联系，它是一个周长为1的圆周上的点映射到自身上的迭代变换，有两个控制参数，即二维的参数空间，它通向混沌的路径比较复杂。表现为周期的、准周期的和混沌的运动。一、同步锁模现象在17世纪荷兰物理学家惠更斯（Huygens）注意到家里木板墙上两挂钟较近时会互相影响而同步。瑞利观察到两风琴管靠近时音调一致，较远时则发生差拍。在电机工程技术中，工程师们用频率较准的石英振子来使电机同步。在涉及两个频率的动力学系统中同步是一种比较普遍的现象，但两振动模式之间必需有非线性的耦合。最先将同步现象与混沌联系起来的是拓扑学家们。同

22、步现象称为锁相(phase locking)、锁频(frequency locking)或锁模(mode locking)等11,12,16,63,68,70,72,73。目前，数学家和物理学家已对圆周映射理论进行深入研究，并建立了相应的物理模型，文献12就通过一个振动水桶的滴水实验建立了一个标准圆周映射，文献174则通过起泡枪实验对圆周映射进行了研究。然而要对其进行广泛应用，需要电子线路的支持，建立其相应的电路模型。以两个振荡器的相互耦合来建立标准圆周映射，两个振荡器的关系如图4-6。图中振荡器电路都是由放大器单元电路A与正反馈电路F组成。其中，图4-6(a)为两个振荡器的频率耦合，属于相互

23、耦合，其电路模型如图4-6(b)所示。若其中一个振荡器的频率稳定，频率耦合就是单向的，即单向耦合，这时可以将振荡器演变成信号源，如图4-6(c)所示。图4-6 两个振荡器之间的相互耦合为了叙述方便，将振荡器的输出用通式形式的周期波形表示，为，不妨设，其中，f为振荡频率，波形如图4-7(a)所示。将振荡器输出为锯齿波，并将其幅度归一化为1，波形如图4-7(b)所示。设Vm1为电压振荡器的归一化振幅。Vm1Vo1(a)tVo2(b)t0Vo2(t)(c)tntn+1tn+2t(a) 振荡器自由振荡时的输出波形 (b) 振荡器自由振荡时的输出波形(c) 振荡器被锁相时输出波形的分析图4-7 两振荡器

24、相互耦合的输出波形将振荡器的输出耦合到振荡器，其输出波形见图4-7(c)，设锯齿波斜率为c，即 ，则由图4-7(c)可以看出： 4-8设归一化相位，则由4-8式得到： 4-9设，代表两振动的频率之比；设，称为非线性耦合的强度，当被确定之后，k取决于激励信号的归一化幅度Vm1，则式4-9变为： （模1） 4-10这个映射就是标准正弦圆周映射12,16,70,175，它含有K和两个参数。若是有理数，则迭代就是周期性的；若是无理数，迭代应该是非周期性的，这又分两种情况，若K值非常小，迭代确实是非周期性的；然而，若K值稍微增加时，迭代又成为周期性的，频率为接近无理数的一个有理数。对任何周期序列，定义：

25、 4-11它与初值x0无关，称为卷饶数(winding number)。当为有理数时，=。当为无理数时，在非线性的作用下，系统的卷饶数可以被锁定在有理数上，这就是同步锁频的原因。图4-7(c)的研究目标在传统的电子电路中是不予研究的。传统电子电路曾经研究过信号源为正弦信号施加于线性LRC串联电路的情况，LRC电路响应是单峰幅频特性曲线与单调相频特性曲线。传统电子电路不研究任何振荡器被外界施加正弦信号源的电路，因为它意味着振荡器遇到了干扰，造成频率不稳定，应该从技术上予以避免。非线性电路研究恰好相反，对于这个问题特感兴趣并进行了深入细致的研究。仔细观察图4-6(c)，若Vs振幅为零，电路又回到了

26、原来的振荡器，频率是固有频率fo，Vo是周期波形，n为整数。若Vs振幅不为零，图中画出，它与VF相加，先考虑Vs与VF线性相加且Vo是二者的线性相加的结果，则Vo是两个独立频率的叠加，相图表示为或者是周期波形或者是拟周期波形，取决于fs与fF之比是有理数还是无理数，将这种情况用映射方法来表示，是常数，是线性映射，表示与的递推关系，注意两个频率的振幅一般是不同的。再考虑或者是Vs与VF非线性相加或者是Vo是二者的非线性相加的结果，二者的效果是一样的，都表示信号源“改变”了振荡电路的振荡机制，参见图4-7。若是有理数，则迭代就是周期性的; 若是无理数，迭代应该是非周期性的，这又分两种情况，若K值非

27、常小，迭代确实是非周期性的; 然而，若K值稍微增加时，迭代又成为周期性的，频率为接近无理数的一个有理数，即，在 4-14中，是接近无理数的一个有理数，当为有理数时，=。当为无理数时，在非线性的作用下，系统的卷饶数可以被锁定在有理数上。以上叙述说明，有了外界周期性的非线性耦合，振荡器的相位与频率脱离了原来的固有值，而原来的固有值是经过线性电路理论的严格推导与大量的实验以及经过实践验证而得到的。当外界周期性非线性耦合信号弱到零时，振荡器的相位与频率又回到原来的固有值，体现非线性与线性的辩证统一关系。当外界周期性非线性耦合信号很弱但还不是零时，振荡器的相位与频率是原来的固有值与外界周期性信号值非常接

28、近的一个有理数，它使原来的同步范围加宽了，形成新的结构，这个结构就是圆周映射理论研究的结构，一个在线性理论中没有的新的结构。圆周映射理论说明人类在对自然规律的认识上又前进了一步，它所包含的意义还有待进一步去发掘，对其进行电路建模具有深刻的意义。本节用电路的模型得到标准正弦圆周映射，并通过在普通LC振荡电路的频率牵引实验，证明了若振荡器有了外界周期性的非线性耦合，相位与频率脱离了原来的固有值。该电路的实验数据内容涵义深刻，对其进行深入的研究有助于对圆周映射的理解。二、阿诺尔德舌头先做一个粗略的数值实验（见光盘文件VB4404.FRM）。对式4-13编写程序，先在K的01的范围内取如下表的某几个值

29、，对应每个K值取的某些值，进行迭代，观察这些迭代值，发现确实有一些周期，如K=1的程序运行结果如下，6个K值的部分结果如表4-11所示(程序设计精度0.02)。图4-8 K=1的数字实验结果表4-1 圆周映射数字实验的部分数据统计结果K周期1周期4周期3周期6周期2周期6周期3周期4周期110-0.140.280.34-0.360.36 0.48-0.520.660.64-0.660.720.86-10.90-0.140.280.34-0.360.36 0.48-0.520.660.64-0.660.720.86-10.70-0.10.270.340.50.660.730.9-10.50-0.

30、060.260.340.50.660.740.94-10.30-0.040.50.96-10.100.51通过数值实验可以观察到起始于k=0的每一个有理数所能锁定的范围随k的增大而变宽，从而形成一个个楔形区域，如图4-9所示。这些楔形区域通常称为阿诺尔德舌头（Arnol'd tongue）。在（0，1）中，总存在一些有限的区间来表示所有可能小于1的有理卷饶数，这些区间的宽度随着k单调增加，并且在k1的情况下不会发生重叠。在k=1处阿诺尔德舌头的宽度增大到开始彼此衔接。图4-9给出了这时卷饶数与的关系，它是由无数个大大小小的平台和阶梯组成的，无论将其局部作多大倍数的放大，看上去总是类似的

31、，永远不能看清其阶梯的细节。因此被称魔鬼楼梯(devils staircase)。 图4-9 阿诺尔德舌头 图4-10 魔鬼楼梯三、圆周映射分岔图图4-9画出了阿诺尔德舌头的图形，有效范围在K1，由此导致魔鬼楼梯的画出。在K>1范围，不存在阿诺尔德舌头的概念，K的所有范围的图形是就是圆周映射的分岔图。分岔图可以以理论为根据画出，类似图4-9，也可以编写程序画出，见图4-11(a)。图4-11(a)中K<1的部分与图4-9比较明显变坏了，各个舌头都伸不到底，这是因为此程序很费计算机CPU时间，但是此图也有另外的一些好处。图4-11(a)画出了K的03及的01的部分，的其它部分与的01

32、的部分完全相同，以的01部分为周期。在K1的部分，黑色是周期与拟周期部分，应该如图4-9那样伸到底并且无限稠密，在K>1的部分，呈现复杂结构。作为辅助性说明，图4-11(b)对图(a)重画一遍。应该看到图4-11的复杂性是深刻的，例如，某些地方出现两条曲线的交叉，说明它是处于不同周期或拟周期的交叉，这些地方的动态特性的真正值如何理解是一个严重的问题，它使我们的认识产生了困惑，又一次出现了认识上的危机，其严重性并不亚于数学历史上的三次危机，具有新的哲学意义，这就是圆周映射引起人们极大兴趣的根本原因。(a) 用程序运行生成的圆周映射分岔图 (b) 圆周映射分岔图的结构描述图4-11 圆周映射

33、分岔图圆周映射4-13式的不动点可用代入而得到 4-16稳定条件为 4-17取稳定的极限值f'(x),由4-16式和4-17式可以解出分岔线。取，可得 4-18这是两条直线，为图4-11(b)中下方两条直线，这是准周期运动转变为周期运动的分岔线。取，可得 4-19这是一条双曲线，对应于图4-11(b)中中间的曲线。当随k值增加而跨越该线时，稳定的周期运动发生倍周期的分岔。这时k值大于等于2。图4-11(b)中的上面曲线为对应f'(x)=0的临界线。对应在这条线上的k、值使映射有非常稳定的序列。如果继续增大k值则出现两条倍周期的分岔线。随k值继续增大，则因迅速的倍周期分岔而进入混

34、沌运动。如果沿着曲线轨迹运动，则会存在一个在几何上不再变化的吸引子。这样，混沌吸引子与周期吸引子可以同时存在。在圆周映射中，除上述的从倍周期过渡到混沌外，还存在着从准周期运动变为混沌运动的情况。为此我们从圆周映射的李雅普诺夫指数来讨论。图4-12（a）到(k)分别给出了k=0.2、0.8、0.9、0.99、1、1.2、2、3、5时李雅普诺夫指数与的关系。在图4-12(a)到(d)中0，(e)中k=1.0，都不存在混沌运动，与前面分析结果相同。在图4-12（f）到(k)中k=>1，出现了>0的混沌情况。例如图4-12（f），在K>0.34时即出现了>0的混沌情况，此处的位

35、置在k、参数空间中位于4-17式表示的直线的下方，即还在准周期向周期运动转变的分岔线下方。在这样的区域出现混沌，显然是与倍周期分岔无联系的，因而只能是从准周期运动进入混沌运动的，这是在逻辑斯蒂映射中没有的情况。正是由于圆周映射有两个参数，故而它走向混沌的道路是丰富多样的。 (a)k=0.2 (b) k=0.8 (c) k=0.9 (d) k=0.99 (e) k=1 (f) k=1.2 (g) k=2 (h) k=3 (i) k=5图4-12 圆周映射的李雅普诺夫指数四、法利树圆周映射的卷曲数用分数p/q表示，从图4-11所示的阿诺尔德舌头对应的卷曲数的宽度看出各个卷曲数排列顺序，用法利数表示

36、。图4-13画出了01范围内最前面5级法利数，上图是法利树的生成法，第一级用0/1与1/1表示此图的范围，第二级是1/2，是上面2个法利数的“法利和”，表示为(p1/q1)(p2/q2)=(p1+q1)/(p2/q2)。下图是法利树的表示法，画出了02的最前面5级法利数。图4-13 法利树的生成法（上）与结构（下）法利数的运算规则及其在动力学方面的应用属于符号动力学的范围67-69。五、LC振荡器的频率牵引实验圆周映射的电子线路实验验证是频率牵引实验63，在普通LC振荡器实验的基础上经简单改变即可实现，该实验是在普通LC振荡器的放大器三极管发射极回路串联一个电阻Rin，外加输入正弦波信号从此点

37、注入振荡器，如图4-14所示。图4-14 LC振荡器的频率牵引实验电路图若图4-14电路中的放大器放大倍数为A，反馈电路(LC谐振电路)的反馈系数为F，且LC电路的参数为L、C、R，按照其基本原理，振幅平衡条件与振荡频率分别为： 4-20及 4-21正弦波信号输入至振荡器，则振荡器可能与外信号同步，即频率牵引，外加正弦波信号频率fi在f0附近时频率牵引现象最容易实现，这种情况的频率之比是1。频率牵引现象观测的实验电路如图4-15所示，示波器置于李萨如图形测量法。图4-15 LC振荡器的频率牵引实验电路仪器连接图图4-15中，振荡器输出频率fo可以被外加正弦信号频率fin牵引，以输入信号的频率与

38、幅度为坐标做平面坐标系，则频率牵引的关系应该如图4-16所示，图4-16也就是图4-9或者说是图4-11。若fin在nf0附近(n为正整数)则振荡频率可被牵引为fin/n; 若fi在f0/n附近，则振荡频率可被牵引为nfi。如图4-16（理论）与图4-17（某次实测）所示。图4-16 频率牵引的实验数据范围图4-17 一次实测记录图4-17中，在Vin=0处，电路4-22是标准振荡器，输出频率是固有频率f0,处于x轴上; 在Vin很小的范围内，电路可以看作有一个干扰，仍然是振荡器，输出频率f0，处于图4-17的靠近x轴的范围; 在Vin很大的范围内，放大器主要是放大Vin，输出频率等于fin，

39、处于图4-17的上方;其余范围电路处于两个频率竞争的状态，呈现出非常复杂的图形分布。由图4-17可见，它与图4-11(a)相差很远，本来应该一致。例如LC振荡器固有频率f0约为68KHZ，注入频率的外加信号源的输出幅度保持Vin为0.2V不变，改变fin，画fin-v0坐标系，振荡器输出电压随输入频率的关系如图4-18(a)所示，发现输出有许多“谐振峰”，峰值最大的在f0，次之的在(1/2)f0与(3/2)f0，再次之的在(1/4)f0、(3/4)f0、(5/4)f0与(7/4)f0，依此类推。对照线性电路，谐振峰只有一个，并且出现在f0。条件同上，在振荡器输出端测出的输出频率如图4-18(b

40、)所示，在许多“频率段”范围内，输出频率与输入频率相同，这正是“魔鬼楼梯”的反映。(a)输出振幅与输入频率的关系曲线 (b)输出频率与输入频率的关系曲线图4-18 非线性耦合中频率牵引输出的振幅及频率与输入频率的关系如图4-19，使fin与f0略有少许差别，若Vin由零逐渐增加，测出的李萨如图形与正弦波形则由(a)经过(b)逐渐变到(c)，仔细观察图形变发现，图(b)是双频现象，其信号是差拍信号。对应的运动是拟周期振荡，频率之比也许是有理数，也许是无理数，没有任何实际意义，因为二者在实际频率概念上是无法区分的，即使技术上能够区分也无法控制，因为二者都有稳定性的问题，随着环境温度等条件的变化，频

41、率比值在有理数与无理数之间变化。此时若缓慢、仔细地改变信号源的幅度与频率，电路可能进入混沌状态，表现为波形怎么调试也不能稳定下来，只能依靠操作者对于混沌的理解力与对于示波器操作技巧作出判断了，判断出是混沌波形，还是示波器没有调试稳定。若要严格地判断是否显示的是混沌，需要使用存储示波器，将信号打印出来，反复、仔细地分析。(a) 输出频率为f0 (b) 输出频率为fin与f0 (c) 输出频率为fin图4-19频率牵引现象的实验数据内容很丰富，测量的数据往往呈现丰富多采的结构，且测量结果不单一。也可以用其它类型的振荡器(RC型、文式桥型等)进行实验。以上实验结果表明：（1）该实验是在极简陋的实验电

42、路上经过仅一次实验就完成的，说明该实验的普遍性与有效性;（2）明显可见，实验结果图4-17与理论图形图4-9、图4-11(a）的差别很大，而且实验过程中fo各种周期测量重复性比较差，周期1的覆盖范围比理论范围大得多，说明电路的实际非线性可能更复杂。整体结论是，实际的频率牵引在较大的非线性范围内，耦合程度与效应具有很强的周期1效应，使得在自然界基波共振（同频共振）比以前想象得还要大，避免共振破坏应当引起更大的重视。第四节 洛伦茨方程及其电路模拟一、洛伦茨方程组的建立洛伦茨方程组于式2-38引入，重写如下 4-22式4-22有3个变量x、y、z，x正比于大气对流运动的强度，y正比于水平方向的温度变

43、化，z正比于竖直方向的温度变化。有3个参数变量、r、b，全为正数，是与空气粘滞系数和热传导系数有关的常数，r是引起对流和湍流有关的常数，b是与对流纵横比有关的外形因素常数。洛伦茨方程是对于大气运动的模型描述，已经忽略了许多真实的大气运动参数，可以理解为“玩具气象”。方程的导出可以参见文献7。二、洛伦茨方程组的数学分析7对于大气的对流运动，洛伦茨取，对4-22进行数学分析， 4-23式4-23的奇点为O（0，0，0），A（6，6，27），B（-6，-6，27）。在奇点处的线性近似系统的特征方程为 4-24其中是奇点坐标，求得相应的特征值为：（0，0，0）点相应的特征值为，; （±6，&

44、#177;6，27）点相应的特征值为，三个奇点都有正实部的特征值，都不稳定。洛伦茨方程组4-22在三个奇点附近的轨线分布如图4-20所示。 图4-20 洛伦茨方程在三个奇点附近的轨线分布 图4-21 洛伦茨方程奇异吸引子下面讨论4-23的吸引子。取李雅普诺夫函数 4-25是一族同心椭球面。是上述椭球的外法线方向与方向场的数量积。具体地算得于是在椭球面 4-26的外面，即在4-26式的椭球面外面包围4-26的光滑闭曲面上，4-22的轨线皆穿过闭曲面进入曲面内部。取一个这种光滑曲面为 4-27则奇点O、A、B与4-26椭球面皆包在4-27椭球面之内。4-27椭球面V=C所围之区域D是4-23轨线的

45、“捕捉区”，研究结果表明，4-23无闭轨，而且在D内存在奇怪吸引子。见图4-21，此奇怪吸引子的维数是2.06。数值计算表明，相轨线在A附近绕若干圈之后下沉，然后甩到左侧，继而在B附近绕若干圈再下沉，甩到右侧在A附近绕若干圈，如此，忽左忽右地往复徘徊，且每次在A附近或B附近绕行的圈数是随机的。这种确定系统4-23的内部随机性正是一种混沌表现，其长期行为是无法预报的。三、洛伦茨方程组仿真实验洛伦茨方程组仿真实验方法很多，现以MATLAB进行仿真。在进行仿真之前，先看一看MATLAB软件内建提供的两个洛伦茨方程组的仿真程序。在命令窗口上键入“lorenz”就可显示出洛伦茨方程组第一个仿真结果，是三

46、维显示的相轨线流图。在命令窗口上键入“lorenz2”则显示出洛伦茨方程组第二个仿真结果，是二维显示的电压波形图与相轨线流图二种动态图形，读者可以实验，以获得感性认识。现放弃内建的图例，使用MATLAB设计仿真图，方便于进一步的编程。仿真图与运行结果如图4-22(a)(b)所示。 (a) 洛伦茨方程仿真图 (b)洛伦茨方程奇异吸引子图4-22 洛伦茨方程仿真图与奇异吸引子二维相图进一步，不用MATLAB仿真，使用MATLAB软件编写程序，显示三维相图。MATLAB程序见光盘文件“MAT4317.M”与“MAT4316.M”，运行结果如图4-23所示。 图4-23 洛伦茨方程奇异吸引子三维相图四

47、、MATLAB辅助洛伦茨方程组模拟电路设计在洛伦茨方程组的归一化过程中，数值x、y、z和t，都已偏离了原始的物理意义，因此，在将其转换成实际电路上，不妨将x、y和z的数值单位视为伏特数，而时间t的单位则视为秒。以此为标准，我们便可将实际电路修正得更为完备。1、电路元件输入输出限制的修正一般而言，运算放大器和集成模拟乘法器的输入输出限制，约在10V20V左右，现以20V为基准，来限制各元件的输入输出电压。原始的洛伦茨方程组电路方框图如图4-22(a)所示，为方便于具体电路设计，将其等效转换为图4-24的形式，其中，每个虚线框图均为一个运算放大器或集成模拟乘法器，外接电阻或电容线路。A3、B5及C

48、4由积分器实现，A1、B1、B4及C2由反向放大器实现，A2、B3、C3由反向加法器实现，B2及C1以集成模拟乘法器来实现。图4-24 洛伦茨方程模拟电路图如果按照图4-24焊接电路，实践证明这个电路不能实现混沌输出，为什么呢？电压设计错误，继续进行下面的仿真：因为电路稳压电源一般在正负20V的范围内，仿真中在每个元件前后接上示波器，观测波形的最大振幅。当示波器分别接到xdot、ydot、zdot、x、y、z、xz输出、xy输出，得如表4-2中栏所示观测值数据：表4-2 洛伦茨方程模拟电路中的最大电压幅度示波器位置校正前最大振幅(V)校正后最大振幅(V)dotx1504.5doty2507.5

49、dotz3009.0x200.6y250.8z451.4xz输出70021xy输出40012因此，由表4-2的第二栏可以得知，示波器的最大振幅在xz输出很大，为700V，其它点电压也都很高。为了使电路的输入输出范围限制在正负20V以内，需要将所有的数值压缩0.03倍。处理的方式为：在集成模拟乘法器xz及xy后，各加上一个1/0.03倍(33.3倍)的运算放大器，便可将洛伦茨方程组各电压值压缩0.03倍。按照这种方法仿真，仿真结果是，示波器显示的振幅最大值果然约为21V(700×0.03=21V)，如表4-2右栏数据所示，实现了最大振幅在正负20V以内的条件。2、积分常数的影响洛伦茨方

50、程组是归一化的方程组，基波频率在1Hz数量级，电子电路中，对于一般积分器，为使电路误差值小，积分时间常数RC不能太小，通常RC值约为10-310-4，例如取RC=10-3 (R=1k，C=1F)，则三个积分器后的数值需同时放大1000倍，此时所得到的x-z相图如图4-25所示，这与原先的x-z相图(图4-26)完全一样，唯一的差别仅在于：由于积分常数的关系，洛伦茨方程组中对时间取的微分dt也会放大1000倍，效果仅仅是频率变快，导致x-y相图(图4-25)的精密度不如原始的图形(图4-26)。由此可见，积分常数对系统的混沌动态特性是不构成影响的。 图4-25 积分器参数改变后的相图 图4-26

51、 积分器参数改变前的相图3、集成模拟乘法器Km的修正在实际元件中，集成模拟乘法器的输出入方程式为其中，Vx及Vy为差分输入；Vo为差分输出；Km为一常数，其值为1/10(V-1)。为了使输出输入方程式符合，有两个方法调整：一是调整乘法器的外接线路，使Km值为1(V-1)；二是在集成模拟乘法器后加上放大倍率为10的运算放大器修正。经过这些修正，最终的电路设计如图4-27所示。见光盘程序EWB4313.EWB。图4-27 洛伦茨方程模拟具体电路图4、洛伦茨电路模型总结：以上得到实现洛伦茨方程组的具体电路4-27。统计图4-27所需用到的元件，总数为12个运算放大器，2个集成模拟乘法器。根据以上仿真的数据结果，由于集成模拟乘法器所需要的精度极高，最好需选用1596型等级以上的乘法器；而在运算放大器方面，使用的等级约在uA741以上即可。另外，在线路中亦可加接数个电位器，配合仿真的数据，便可迅速调整出x-z的混沌相图。习题四一、对于逻辑斯蒂映射，完