工程力学材料力学杆的稳定计算与校核

1、HOHAI UNIVERSITY1Ch14 压杆的稳定性压杆的稳定性14-1 14-1 压杆的稳定性概念压杆的稳定性概念受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式：受轴向压缩的直杆，其破坏有两种形式：1 1）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料的极限应力，为的极限应力，为强度破坏强度破坏。2 2）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡形式，为形式，为失稳破坏失稳破坏。HOHAI UNIVERSITY2 对于这些细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是对于这些细长的压杆，其破坏并非由

2、于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能保持原有直线平衡形式而失效。衡形式而失效。工程中存在着很多受压杆件。工程中存在着很多受压杆件。HOHAI UNIVERSITY31 1. 两端铰支细长压杆，当两端铰支细长压杆，当F力较小时，杆在力力较小时，杆在力F作用下将保持原有直线平衡形式。作用下将保持原有直线平衡形式。此时，在其侧向施加此时，在其侧向施加微小干扰力微小干扰力使其弯曲，当使其弯曲，当干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。可见这种直线平衡形式是可见这种直线平衡形式是稳定稳定的。

3、的。HOHAI UNIVERSITY42 2. 当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式是式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式是不稳定的不稳定的。这种丧失原有平衡形式的现象称为这种丧失原有平衡形式的现象称为丧失丧失稳定性稳定性，简称，简称失稳失稳。压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴向压力的临界值，称为向压力的临界值，称为临界力临界力

4、或或临界荷载临界荷载，用用Fcr表示。表示。HOHAI UNIVERSITY5 稳定性问题在其它一些构件，如板、壳。一些薄壁构件中稳定性问题在其它一些构件，如板、壳。一些薄壁构件中也存在。如宽高比较小的悬臂梁，也存在。如宽高比较小的悬臂梁，F力过大时会发生侧向失稳。力过大时会发生侧向失稳。HOHAI UNIVERSITY614-2 14-2 细长压杆的临界荷载细长压杆的临界荷载 在在临界力临界力Fcr作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，若此时压作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，若此时压杆仍处在线弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似微分方程及杆端约杆仍处在线弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似微分方程及杆端约

5、束条件求解束条件求解临界力临界力Fcr。1.1.两端铰支的细长压杆两端铰支的细长压杆设两端铰支的细长压杆在临界荷载设两端铰支的细长压杆在临界荷载Fcr作用下，在作用下，在xOw平面内处于微弯平面内处于微弯状态。状态。lxFcrwHOHAI UNIVERSITY7挠曲线近似微分方程为挠曲线近似微分方程为lwxFcrxwEIw = - -M(x)x截面的弯矩为截面的弯矩为M(x) = Fcr w EIw =- -Fcr w EIw +Fcr w =0令令FcrEIw +k2w =0得得二阶常系数线性微分方程二阶常系数线性微分方程其通解为其通解为w =Asinkx+BcoskxA、B、k待定常数待定

6、常数xwxwFcrFcrM(x)HOHAI UNIVERSITY8由杆的已知位移边界条件确定常数由杆的已知位移边界条件确定常数x = 0，w = 0 x = l，w = 0得得 B = 0，w =Asinkx得得 Asinkl = 0由由 Asinkl=0 得得 A=0（不可能）（不可能） 或或 sinkl = 0即即 kl = n (n = 0,1,2）因此因此: :Fcr =n22EIl2最小的临界荷载最小的临界荷载（n=1）（Euler公式）公式）Fcr =2EIl2FcrEI(n = 0,1,2）lxFcrww =Asinkx+BcoskxHOHAI UNIVERSITY9压杆的挠曲线

7、方程为压杆的挠曲线方程为A是压杆中点的挠度是压杆中点的挠度wmax。w =Asin xl（半波正弦曲线）（半波正弦曲线）x=2l时时wmax= Aw =Asinkx+Bcoskxk = /llxFcrwHOHAI UNIVERSITY102.2.不同杆端约束下压杆的临界力不同杆端约束下压杆的临界力xFcrwxwlABlwxFcrxwABwlxFcrxwABxFcrxwABwlHOHAI UNIVERSITY11lFcrFcr2lFcrl类比法类比法 一端固定一端自由的细长压杆，长度一端固定一端自由的细长压杆，长度2l范围内与两端铰支细范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。长压杆挠曲线形状相同

8、。Fcr =2EI（2l）2HOHAI UNIVERSITY12lFcrFcrl/2l/4l/4类比法类比法Fcr =2EI(0.5l)2两端固定细长压杆，长度两端固定细长压杆，长度0.5l范围内与两端铰支细长范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。压杆挠曲线形状相同。HOHAI UNIVERSITY130.7lFcr0.3llFcr类比法类比法Fcr =2EI(0.7l)2一端固定，另一端铰支的细长压杆，在一端固定，另一端铰支的细长压杆，在0.7l范围内与两端铰支范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。细长压杆挠曲线形状相同。HOHAI UNIVERSITY14Euler公式的统一形式公式的

9、统一形式Fcr =2EI(l)2约束越强，约束越强，越小，越小，临界力临界力Fcr越大。越大。长度系数长度系数l相当长度相当长度一端固定一端自由一端固定一端自由一端固定一端铰支一端固定一端铰支两端固定两端固定两端铰支两端铰支=1.0=2.0=0.5=0.7HOHAI UNIVERSITY15Fcr =2EI(l)2公式讨论公式讨论2.2.当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端）当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端），压杆只可能在压杆只可能在最小抗弯刚度平面最小抗弯刚度平面内失稳内失稳，即即I取取Imin值值；1. 1. Fcr与抗弯刚度成与抗弯刚度成EI正比，与相当长度正比，

10、与相当长度l的平方成反比；的平方成反比；最小抗弯刚度平面：惯性矩最小抗弯刚度平面：惯性矩I为最小为最小的纵向平面的纵向平面如矩形截面的如矩形截面的Iy最小，最小，xOz平面为最平面为最小抗弯刚度平面。小抗弯刚度平面。10-2 10-2 细长压杆的临界荷载细长压杆的临界荷载HOHAI UNIVERSITY163.3.实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据具体实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据具体情况选取适当的长度系数情况选取适当的长度系数值。值。4.4.实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会有小的实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会有小的偏心，因此其临界力比

11、公式计算出的为小，这可以在安全系数偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可以在安全系数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式计算其临界荷载。里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式计算其临界荷载。10-2 10-2 细长压杆的临界荷载细长压杆的临界荷载HOHAI UNIVERSITY1714-3 14-3 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围当压杆在临界荷载当压杆在临界荷载Fcr作用下，并仍处于直线形式的平衡状态时，作用下，并仍处于直线形式的平衡状态时，横截面上的正应力称为横截面上的正应力称为临界应力临界应力。一、压杆的临界应力一、压杆的临界应力cr =Fcr2EI(l)2=Ilcr =2EHOH

12、AI UNIVERSITY18二、欧拉公式的适用范围二、欧拉公式的适用范围推导欧拉公式时，推导欧拉公式时， 杆处于线弹性状态。杆处于线弹性状态。cr P 故欧拉公式的适用条件故欧拉公式的适用条件cr =2E P 2EP 2EP 满足该条件的压杆称为满足该条件的压杆称为细长压杆（或大柔度杆）细长压杆（或大柔度杆）。10-3 10-3 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围HOHAI UNIVERSITY19为材料参数，不同的材料有不同的值。为材料参数，不同的材料有不同的值。如如Q235235钢，钢，PE三、中小柔度杆的临界应力三、中小柔度杆的临界应力为弹性失稳为弹性失稳压杆的失稳称为非弹性失稳压杆

13、的失稳称为非弹性失稳cr P 此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据的经验公式来计算这类压杆的临界应力。如直线公式式来计算这类压杆的临界应力。如直线公式cr=a-b a、b为与材料有关的常数，由试验确定。为与材料有关的常数，由试验确定。如如Q235235钢，钢，a=304MPab=1.12MPa这类压杆的临界力为这类压杆的临界力为crFcr=10-3 10-3 欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围称为中长杆称为中长杆( (中柔度杆中柔度杆) )HOHAI UNIVERSITY20实际上实际上 时时cr u 压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。压杆将发生强度破坏，而不是失稳破