指数、对数函数的 应用

1、指数对数指数、对数函数的应用指数、对数函数的应用指数对数4.3 指数、对数函数的应用指数、对数函数的应用数学来自生活，又应用于生活和生产实践而数学来自生活，又应用于生活和生产实践而实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与实际问题中又蕴涵着丰富的数学知识，数学思想与方法如刚刚学过的指数、对数函数内容在实际生方法如刚刚学过的指数、对数函数内容在实际生活中就有着广泛的应用活中就有着广泛的应用今天我们就一起来探讨几个应用问题今天我们就一起来探讨几个应用问题 例例 12008 年我国人口总数是年我国人口总数是 13.28 亿，如果人口的亿，如果人口的自然年增长率控制在自然年增长率控制在 5 %，问哪

2、一年我国人口总数将，问哪一年我国人口总数将超过超过 15 亿亿 ？解解 设设 x 年后人口总数为年后人口总数为 15 亿，由题意，得亿，由题意，得13.28( 1 0.05 ) x 15 1513.28 ( 1 0.05 ) x 即即两边取对数，得两边取对数，得 x lg 1.005 lg 15 lg 13.28， 所以所以 x 24.4 所以所以 25 年后，即年后，即 2003 年我国人口总数将达到年我国人口总数将达到 15 亿亿主要步骤：主要步骤： （1）阅读理解；阅读理解；（2）建立目标函数；建立目标函数；（3）按要求解决数学问题按要求解决数学问题例例 2 设在离海平面设在离海平面 x

3、 m 处的大气压强是处的大气压强是 y kPa， y 与与 x 之间的函数关系式是之间的函数关系式是 y C e k x，这里，这里 C，k 都是常量都是常量已知某地某天在海平面与已知某地某天在海平面与 1 000 m 高空的大气压高空的大气压分为分为 101 kPa 及及 90 kPa，求，求 600 m 高空的大气压强，高空的大气压强，又求大气压强是又求大气压强是 96 kPa 处的高度处的高度 ( 结果都保留结果都保留 2 位有位有效数字效数字) .所以所以 y 与与 x 的函数关系是的函数关系是y101 e1.153104 x 解解 已知已知 y C e k x ，其中，其中 C，k

4、是待定的常数是待定的常数 由已知条件，当由已知条件，当 x 0 时，时，y 101 ；当当 x 1 000 时，时，y 90 ，即即 1 000 kln 0.891 1；1 000 k0.115 3； 所以所以 k1.153104由由得得 C 101，代入，代入得得 e k 1 000 0.891 1，90 101 得方程组得方程组 101 C e k 0 90 C e k 1 000 因此，在高因此，在高 600 m 处，大气压强为处，大气压强为 94.3 kPa；在高在高 440 m 处，大气压强为处，大气压强为 96 kPa当当 x 600 时，得时，得 y 101 e1.1531046

5、00 94 ；1.153104 x ln ，90 101 当当 y 96 时，得时，得96 101 e1.153104 x ， 1.153104 x 0.051 ，所以所以 x 0.051 440 104 1.153 已知某细菌的生长过程满足函数关系式已知某细菌的生长过程满足函数关系式Q ( t ) Q0 e k t ，其中其中 t 为时间单位为分钟，为时间单位为分钟， Q 为细菌的数量为细菌的数量如果一开始的细菌数量为如果一开始的细菌数量为 1 000 只，而在只，而在 20 分钟后变为分钟后变为 3 000 只，求一小时后细菌的数量只，求一小时后细菌的数量 解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤：实际问题（读懂问题、抽象概括）实际问题（读懂问题、抽象概括） 建立数学模型（演算、推理）建立数学模型（演算、推理） 数学模型的解（还原说明）数学模