第四章多姿多彩的几何图形4.3.3_余角和补角.

1、0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5212 一张长方形纸片，沿一张长方形纸片，沿一个角折叠后，折痕与长一个角折叠后，折痕与长方形的边形成了几个角？方形的边形成了几个角？341与与2有什么数量关系？有什么数量关系？3与与4又有什么数量关系？又有什么数量关系？1+2=903+4=1803 如果两个角的和为如果两个角的和为9090 ( (直角直角) )，那么那么称这两个角称这两个角 互为余角互为余角 ，简称简称“互余互余”。1234 如果两个角的和为如果两个角的和为180180( (平角平角) )，那么，那么称这两个角称这两个角 互为补角互为补角，简称，简称“互补互补”。4（1）定义中的）定

2、义中的“互为互为”一词如何理解？一词如何理解？（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？（3）若）若1 + 2 + 3 = 90（180）, 能说能说1 、2、3 互余（互补）吗？互余（互补）吗？提问答疑，理解定义 如果如果 1与与 2互余，那么互余，那么 1的余角是的余角是 2 ，同样同样 2的余角是的余角是 1 ； 如果如果 1与与 2互补，那么互补，那么 1的补角是的补角是 2 ， 同样同样 2的补角是的补角是 1。两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。不能，互余或互补是两个角之间

3、的数量关系。不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。互为余角只是对两个角而言的。互为余角只是对两个角而言的。 互为余角互为余角仅仅表明了仅仅表明了两个角的数量关系，两个角的数量关系，而与角的位置关系无关。而与角的位置关系无关。71 1、已知：已知：1+2=901+2=90， 11与与22互为互为 ； 11的余角是的余角是 ； 22的余角是的余角是 ； 2 、已知12748，则它的 余角等于 余角余角216212 8图中给出的各角，那些互为补角？图中给出的各角，那些互为补角？10o30o60o80o100o120o150o170o9我来试一试：我来试一试：的余角的余角的补角的补角53245776

4、22327371173785175581484513510313x(90 x)(180 x)10解：解： 设这个角是设这个角是x ， 则它的补角是则它的补角是（180-x）, 余角是余角是(90-x) 由题意得：由题意得：（180-x）= 4 (90-x) x =60 答：这个角的度数是答：这个角的度数是60 11 如图，已知如图，已知AOB是一直线，是一直线，OC是是 AOB的平分线，的平分线， DOE是直角，是直角，图中哪些角互余？哪些角互补？哪些图中哪些角互余？哪些角互补？哪些角相等？角相等？AOBECD123412由题意得：由题意得： 90-x=2 xx=30答：答： 的度数为的度数为

5、30度。度。13（2）如果）如果1的补角是的补角是1的的3倍，求倍，求1的度数。的度数。解：设解：设1的度数为的度数为x度，度， 1的补角（的补角（180-x）度。）度。由题意得：由题意得： 180-x=3x -4x=-180 x=45答答:1为为45.1415探究探究: :余角和补角的性质余角和补角的性质1219 画出画出COB的余角的余角COBAD20根据图形根据图形: :猜一猜猜一猜: : 1 与与2相等吗？相等吗？ COBAD同角的余角相等同角的余角相等。121与与COB互余，互余， 2与与COB互余互余21解：解： 1+ 1+ BOC = 90 BOC = 90 2+ BOC = 9

6、0 2+ BOC = 90 1 1 = 90 = 90 BOC BOC 2 2 = 90 = 90 BOC BOC 1 = 21 = 2如图，如图，1与与COB互余，互余， 2与与COB互余互余则则1与与2相等。相等。AOBDC12 22 如图，如图，11与与22互余，互余，33与与44互余，互余，如果如果1=31=3，那么，那么22与与44相等吗？相等吗？123424 两个角的和等于两个角的和等于180180（平角），（平角），就就说这两个角互为说这两个角互为补角补角，简称互补。，简称互补。如果如果1+2=1801+2=180，那么，那么11与与22互为补角互为补角12思考：如何画一个已知思

7、考：如何画一个已知BOC的补角？的补角？BOC25如图，如图，1与与BOC 的补角，的补角， 2是是BOC 的补角。的补角。 那么那么1与与2相等吗相等吗?解：解： 1与与2相等。相等。 1+ BOC = 180 2+ BOC = 180 1=180 BOC 2= 180 BOC 1 = 2AOBDC12 同角的同角的补角相等补角相等26 两直线相交两直线相交形成了形成了1、2、3和和4 , 其中的其中的1和和3叫做叫做对顶角对顶角，2和和4也是也是对顶角对顶角. 27 如图，如图，11与与22互互补补，33与与44互互补补， 如果如果1=31=3，那么，那么22与与44相等吗？相等吗？124

8、328判断：判断：（正确的打（正确的打“”，错误的打，错误的打“”。）。）一个角的余角一定是锐角（一个角的余角一定是锐角（ ）一个角的补角一定是钝角（一个角的补角一定是钝角（ ）若若1+2+3=901+2+3=90，那么，那么 11、22、33互互为余角（为余角（ ）29解解: 1 与与2互补互补， 1=30 2=180-1=180-30=150(互补的定义互补的定义) 3=1=30 (对顶角相等对顶角相等) 4=2 =150 (对顶角相等对顶角相等) 答答: 2等于等于 150, 3等于等于 30, 4等于等于 150 . 如图，两直线相交形成的四个角中如图，两直线相交形成的四个角中1=30

9、，那么，那么2、3和和4各等于各等于多少度多少度? 30互为余角互为余角互为补角互为补角对顶角对顶角对应图形对应图形数量关系数量关系性性 质质121+ 2 = 90同角（或等角）同角（或等角）的余角相等。的余角相等。121+ 2 = 180同角（或等角）同角（或等角）的补角相等。的补角相等。2134对顶角相等对顶角相等1= 32= 431猜谜语： （打一数学概念）谜底：对顶角1.一个角的补角是它的一个角的补角是它的3倍，倍， 这个角是多少度？这个角是多少度？1. 1=120 , 1与与2互补互补, 3与与2互余互余,则则3= .2.如图所示：点如图所示：点O为直线为直线AB上的一点，上的一点，

10、 OD平分平分AOB， COE = 90 则则BOC = ， COD = 。DOEAOE30 你知道表示方向的一个成语吗你知道表示方向的一个成语吗?“四面四面”东、南、西、北东、南、西、北“八方八方”-东、南、西、北和东、南、西、北和 东北、东南、西北、西南东北、东南、西北、西南 如果我们在屏幕的如果我们在屏幕的O点位置上，点位置上，你能说出你能说出O点的四面八方么？点的四面八方么？O北南西东东北东南西南西北西西北北南南OBCDGF东东AEH正东：正东： 正南：正南：正西：正西：正北：正北：射线射线OA射线射线OB射线射线OC射线射线OD西北方向：西北方向：西南方向：西南方向：东南方向：东南方

11、向：东北方向：东北方向：射线射线OE射线射线OF射线射线OG射线射线OH45E30 60 F75 G25H45 用角度表示方向：一般用角度表示方向：一般以正北、以正北、 正南为基准正南为基准，用向东或向西旋转的用向东或向西旋转的 角度表示方向角度表示方向，如图所示，如图所示，OAOA方向方向 可表示为可表示为北偏西北偏西6060方位角的特征方位角的特征顶点是中心点顶点是中心点边边: :一边是南一边是南( (北北) )线线, , 另一边是视线另一边是视线如图，下列说法中错误的是（如图，下列说法中错误的是（ ）A.OD的方向是北偏东的方向是北偏东30 B.OC的方向是南偏东的方向是南偏东60C.O

12、B的方向是西南方向的方向是西南方向D.OA的方向是北偏西的方向是北偏西60DAB北北CD45606030O403、A看看B的方向是北偏东的方向是北偏东30， 那么那么B看看A的方向是（的方向是（ ） （A）南偏东）南偏东60（B）南偏西）南偏西60 （C）南偏东）南偏东30 （D）南偏西）南偏西30A A东东北北东东北北12B41 如图，如图，射线射线OA表示北偏东表示北偏东32方方向线，向线，射线射线OB表示南偏东表示南偏东43方向线，方向线，则则AOB等于等于42甲地甲地乙地乙地乙地乙地对对甲地的方甲地的方位角位角1. 1. 先找出中心先找出中心点点, ,然然后画后画出方向指出方向指标标4

13、3甲地甲地乙地乙地乙地乙地对对甲地的方甲地的方位位角角2. 2. 把中心把中心点点和目的地用和目的地用线连线连接起接起來來44甲地甲地乙地乙地乙地乙地对对甲地的方甲地的方位角位角3.3.度度量向北的量向北的射线射线和和蓝蓝色色线线之之间间的角度的角度北4546AB 如图如图. .货轮货轮O O在航行过程中在航行过程中, ,发现灯塔发现灯塔A A在它在它南偏东南偏东6060的方向上的方向上, ,同时同时, ,在它北偏东在它北偏东4040, ,南偏西南偏西1010, ,西北西北( (即北偏西即北偏西4545) )方向上又分方向上又分别发现了客轮别发现了客轮B,B,货轮货轮C C和海岛和海岛D.D.仿照表示灯塔仿照表示灯塔方位的方法方位的方法画出表示客轮画出表示客轮B,B,货轮货轮C C和海岛和海岛D D方向方向的射线的射线. .东南西北 射线射线OBOB的方向就是北偏东的方向就是北偏东4040，即客轮即客轮B B所在的方向所在的方向. . 射线射线OCOC的方向就是南偏西的方向就是南偏西1010，即货轮即货轮C C所在的方向所在的方向. . 射线射线ODOD的方向就是北偏西的方向就