方开泰、刘民千、周永道《试验设计与建模》课件-8

1、- 第八章第八章 -混料试验设计18.1 引言引言l合金钢材：以铁为基础再加适量的镊、鉻、錳、碳等成分组成l氖灯灯泡：有氦、氖、氩、氙等多种惰性气体l饮料：含有多种果汁及糖份和水；l中药、酒类产品的制造则更复杂，多种的物质混制而成2例例 8.1 咖啡面包面粉 水白糖植物起酥油 椰子汁 盐发酵粉 乳化剂 丙酸钙 咖啡粉香精 食用色素 如何决定各成分的比率? 试验试验混料试验设计混料试验设计3设有 s 个因素: X1, , Xs 并满足 Xi 0, i = 1, , s 且 X1 + + Xs = 1. 试验区域为单纯形：Ts = (x1, , xs): xi 0, i = 1, , s , x1

2、 + + xs = 1. 单纯形格子点设计 (Scheff, 1958)单纯形重心设计 (Scheff, 1963)Cox 设计 (1971) 及轴设计 (Cornell, 1975)常见的混料设计方法:极大极小或极小极大距离设计 (Johnson, 1990)4模型模型l一次型l二次型l三次型由于存在各成分之和为1的限制条件，混料试验的回归方程中没有常数项、二次项、三次项等，而只有一次项和交互项，采用Scheff 典型多项式典型多项式 = b1x1 + b2x2 + + bs xs11siiijijiij syxx xbb 1()siiijijijijijijkijkiijijij kyxx

3、 xx xxxx x xbbb 58.2 常见混料设计常见混料设计三因素的试验区域：6A. 单纯形格子点设计单纯形格子点设计s 分量分量 m 阶格子点集阶格子点集 s,m： 其 s 个顶点，各边 m 等分点，及各等分点连成的与一边成平行线的交点的总体。各点的坐标为：s,m 中总点数：s+m+1 m7二维及三维标准单纯形格子点集8B. 单纯形重心设计单纯形重心设计ls 个设计点为单纯形各顶点，即 (1, 0, , 0), , (0, , 0, 1);l 个设计点采自单纯形各边的中点，坐标为 (1/2, 1/2, 0, , 0) 的置换;l l 个设计点采自单纯形各r 1 维面的重心，坐标为 (1

4、/r, 1/r, , 0) 的置换;l l最后一个设计点为标准单纯形的重心，坐标为 (1/s, 1/s, , 1/s)。2s sr 9三因素单纯形重心设计试验点各坐标为 (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1), (1/2, 1/2, 0), (1/2, 0, 1/2), (0, 1/2, 1/2), (1/3, 1/3, 1/3)，10C. 最优回归设计最优回归设计l一阶多项式模型：l连续设计：设计点为全部 s 个顶点，且权重为1/s，l确定性设计：下列集合中任一设计l二阶模型：当 s=3，l连续设计：三顶点加三条边中点，权重都为1/6l确定性设计：与上面一样 (同单纯

5、形格子点设计)l三阶模型： 十个设计点，不同于单纯形格子点设计11D. Scheff 型设计型设计单纯形格子点设计和单纯形重心设计在边界有许多试验点，以致不能做具体的试验。lScheff 型设计型设计：将这些设计往单纯形的重心压缩12例例 s=313例例 s=3148.3 混料均匀设计混料均匀设计l将 n 个试验点，即 n 种不同的试验配方均匀地散布在Ts 内，而不存在边界上的设计点 怎样设计这些试验点? 逆变换方法逆变换方法 条件法条件法15假设随机向量c = (c1, c2, , cs1) 服从 s1 维立方体 Cs1 上的均匀分布，则从 Cs1 到标准单纯形 Ts 上的变换所得的随机向量

6、 x = (x1, x2, , xs) 服从 s 1 维标准单纯形 Ts 上的均匀分布。11111111sjkjksijkjkikijsjsiscxccx16逆变换方法逆变换方法给定在超立方体 C s-1 上的均匀设计：ck = (ck1, ,ck,s-1), k = 1, ,n 做如下的变换:11111111sjkjksijkjkikijsjsiscxccx则 xk = (xk1, ,xks), k = 1, ,n 为 Ts 上面的均匀设计.17例例 8.2构造一个 n = 12, s = 3 的混料均匀设计。2121 6210324854612(12 ),7189951011113127U

7、0.512kk0.0417 0.45830.125 0.79170.2083 0.1250.2917 0.6250.375 0.29170.4583 0.95830.5417 0.04170.625 0.70830.7083 0.3750.7917 0.8750.875 0.20830.9583 0.5417c;18此时变换 (8.8) 变为:(8.9).);1 (;121321211kkkkkkkkccxccxcx.3997. 05773. 00230. 08026. 01267. 00707. 01199. 07592. 01210. 05630. 02627. 01743. 03844.

8、 03844. 02313. 01607. 05464. 02929. 06105. 00291. 03604. 00256. 05384. 04359. 02817. 01950. 05233. 02853. 00839. 06307. 00678. 01454. 07868. 0),(321kkkkxxxx19几何意义： T3x1x2x320给定 (x1, x2, x3)，原坐标 (c1, c2) 如下132212()3cxxcxc1c221不同设计变换后的比较不同设计变换后的比较l原来的均匀性好l原来的均匀性差22试验结果试验结果筛选后的模型： = 0.317 + 1.823x1 2.5

9、68x12 + 1.257x1x2 0.947x22,其 R2 = 0.995，2 = 0.0002436l最优解最优解：x1 = 0.4238，x2 =0.2813 时，y 达到最大值 0.7033，此时 x3 = 0.2949 。23在在Ts 上的均匀性测度lF-偏差：单纯形上偏差与变换前的偏差一样l均方距离l均方根偏差l最大距离偏差lDM2偏差：直接定义在 Ts 上上248.4 有限制的混料均匀设计有限制的混料均匀设计l上下界限制条件：0 ai Xi bi 1, i = 1,sl组合限制条件：l保序限制条件： 0 xi1 xi2 xik 1,1skkiikiLc xU25可行解区域变化可

10、行解区域变化例如，只有下界限制时，可行解区域如下l最优回归设计l混料均匀设计26可行解区域可行解区域可把 Ts(a, b) 变为区域 Ts(l,u) ，其中 而1(a,b)(,) :01 1, , 1ssiiiiTxxaxbisx: max(,1), :min( ,1). iiiiiila bbub aa 1, 1,iiaabb27有上下界限制的混料均匀设计有上下界限制的混料均匀设计l在超立方体Cs1 上产生一个均匀设计Un(ns1)， 记为U = (uij)。l计算l对每个i 计算28 则X = (xij), i = 1, , n, j = 1, , s 为在限制区域Ts(l,u) 中的一个

11、均匀设计，其中(注意递推是从s 1 下降至2)29例例 8.4 咖啡面包咖啡面包设各成分限制条件为30例例 8.4 (续续)31例例 8.4 (续续)32组合限制的混料均匀设计组合限制的混料均匀设计 由组合限制条件，可得x1, , xs 的限制范围更为宽松的上下界限制l,u。因此，我们首先构造在Ts(l,u) 上的混料均匀设计，然后把该设计中满足组合限制条件(8.13) 的试验点保留，而除去不满足条件的试验点，从而得到相应的设计33保序限制条件的混料均匀设计保序限制条件的混料均匀设计l若向量x =(x1, x2, , xs) 是无限制条件混料设计区域Ts 上的均匀分布随机向量。则向量的次序统计量(x(1) , , x(s) 服从保序限制条件混料设计区域Tos 上的均匀