材料力学-刘鸿文 第二章 2-3

1、 我们可以计算轴向拉压时杆任意斜截面上的应力我们可以计算轴向拉压时杆任意斜截面上的应力了。亦即解决了杆件的了。亦即解决了杆件的“工作应力工作应力”问题。问题。 在材料力学中，所谓在材料力学中，所谓“强度强度”问题就是使构件的问题就是使构件的“工作应力工作应力”小于材料所能承受的小于材料所能承受的“允许应力允许应力”。即：。即：杆件的杆件的工作应力工作应力材料的材料的允许应力允许应力小于小于所以，我们现在应该研究所以，我们现在应该研究“材料的允许应力材料的允许应力”问题了！问题了！ 感性知识告诉我们，不同的材料抵抗破坏的能力是感性知识告诉我们，不同的材料抵抗破坏的能力是各不相同的。这种各不相同的

2、。这种“能力能力”只能通过材料力学实验测试，只能通过材料力学实验测试，在得到材料抵抗破坏的数据后，才能获得。在得到材料抵抗破坏的数据后，才能获得。Failure2.7 2.7 失效、安全系数和强度计算失效、安全系数和强度计算失 效 材料丧失正常工作时的承载能力，表现形式主要是：（1）断裂或屈服）断裂或屈服 强度不足强度不足（2）过量的弹（塑）性变形）过量的弹（塑）性变形 刚刚度不足度不足（3）压杆丧失稳定性）压杆丧失稳定性 稳定性稳定性不足不足 机件在使用的过程中一旦断裂就失去了其所具有的效能，机械工程中把这种现象称为失效。在工程中常见的失效形式有下列几种:机械工程中常见的几种失效形式机械工程

3、中常见的几种失效形式（图1）（图2）（图3）（图4） （5）腐蚀（图4）（1）断裂（图1）（2）塑性变形 （图2）（3）过量弹性变形（4）磨损（图3）s b ：材料丧失正常工作时的应力( 符号: )塑性材料： u= s脆性材料： u= b塑性材料塑性材料一、拉压构件材料的失效判据一、拉压构件材料的失效判据 =sns拉 =b拉nb压 =b压nb二、许用应力二、许用应力(allowable stress)与与安全系数安全系数(factor of safety)三、安全系数的确定三、安全系数的确定塑性材料：ns=1.2 2.5脆性材料：nb=2 3.5 材料素质（强度、均匀性、脆性） 载荷情况（峰值

4、载荷、动静、不可预见性) 构件简化过程和计算方法的精确度 零件的重要性、制造维修难易 减轻重量（飞机、手提设备等）四四. . 强度设计准则（强度设计准则（Strength DesignStrength Design） )()(max( maxxAxN其中：-许用应力， max-危险点的最大工作应力。设计截面尺寸：设计截面尺寸：maxminNA ; maxAN )N(fPi依强度准则可进行三种强度计算： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。 max校核强度：校核强度：许可载荷：许可载荷： 例:钢材的许用应力=150MPa，对斜杆AB杆AB的应力为:=123MPa所以拉杆安全。 =

5、=123X106PaNANmax= =38.7kNQsinaNmax=38.7kN（1）求AB杆内力NTQAa 0sin02QNYa 若Q20kN，则AB杆的应力=164MPa，强度不足，应重新设计。l减小Q的值l增大拉杆面积 工程中允许工作应力工程中允许工作应力 略大于许用应力略大于许用应力 ，但不得超过但不得超过 的的5%Nmax= Qsina =NA例：已知压缩机汽缸直径例：已知压缩机汽缸直径 D D = 400mm= 400mm，气压，气压 q q =1.2 MPa=1.2 MPa， 缸盖用缸盖用 M20 M20 螺栓与汽缸联接，螺栓与汽缸联接，d d2 2 =18 mm=18 mm，

6、活塞杆，活塞杆 = 50MPa= 50MPa，螺栓，螺栓 = 40 MPa= 40 MPa，求：活塞杆直径求：活塞杆直径 d d1 1 和螺栓个数和螺栓个数 n n。 1 2q qD Dd d1 1解：解：1.1.缸盖和活塞杆的压力缸盖和活塞杆的压力PqAqDN242.2.螺栓和活塞杆的面积螺栓和活塞杆的面积Ad1124Ad2224q qD Dd13.求活塞杆直径求活塞杆直径 dPmm1162412104005062 . 111NA(压)4.求螺栓数目求螺栓数目 nNA2262212104001840148. 222NnA(拉)实际设计选用：实际设计选用：15个个PABCa解：解：1.求各杆的

7、轴力求各杆的轴力(截面法截面法)APNACNAB这是两杆的这是两杆的“工作轴力工作轴力”。例题：轴向拉压杆系结构，杆例题：轴向拉压杆系结构，杆AB为直径为直径d=25mm的圆截的圆截面钢杆；杆面钢杆；杆AC由两根由两根3.6号等边角钢构成，两根杆号等边角钢构成，两根杆的的 ， 不计杆的自重，试求结构不计杆的自重，试求结构的允许载荷的允许载荷P。20a 120MPa0,cos0ABACXNNa0,sin0ABYNPa:2.92 ,2.75ABACNP NP 得PABCa2.求各杆的允许轴力求各杆的允许轴力(由拉压强度条件由拉压强度条件)3.求允许载荷求允许载荷方法方法:使各杆的使各杆的工作轴力允

8、许轴力=比较后得结构的比较后得结构的允许载荷为允许载荷为P=20.2kN 258.94ABABdNAkN 42 2.756 1066.1ACACNAkN,2.9258.9:20.2ABABNNPkNPkN得,2.7566.1:24ACACNNPkNPkN得PL369(kN)思考题思考题：用标准试件（：用标准试件（d=10mm）测得某材料的）测得某材料的 曲线如图所示。曲线如图所示。PL问：用该材料制成一根受轴向力问：用该材料制成一根受轴向力P=40kN的拉杆，若取安的拉杆，若取安 全系数全系数n=1.2,则拉杆的横截面积则拉杆的横截面积A为多大为多大?一问一问:该材料是塑性材料该材料是塑性材料

9、?脆性材料脆性材料?二问二问:该材料的极限载荷该材料的极限载荷?极限应力极限应力?许用应力许用应力?极限载荷极限载荷:6 ()jxsPPkN极限应力极限应力:3226104240/sjxSPAdN mm试件PL369(kN)许用应力许用应力: 2240200/1.2jxN mmn三问三问:拉杆的工作应力拉杆的工作应力?强度条件强度条件?横截面积横截面积?工作应力工作应力:PA拉杆 2200/PN mmA拉杆强度条件强度条件:拉杆横截面积拉杆横截面积: 3240 10200200PAmml一、轴向变形和虎克定律一、轴向变形和虎克定律 伸长量 (elongation):lll 1 l1 线应变(n

10、ormal strain):ll （相对变形,无量纲）2-8 2-8 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形（绝对变形,无量纲）虎克定律(Hookes law)：（力与变形的关系）E（1）AN ll （2）(2)代入(1)llEAN EA 抗拉(压)刚度 E 弹性模量(modulus of elasticity) ，常用GPa的单位（由实验测定）EAlNl 轴向变形二、变截面变轴力杆的拉压变形二、变截面变轴力杆的拉压变形 当杆内轴力随长度变化或者杆的横截面积不是常当杆内轴力随长度变化或者杆的横截面积不是常数，则应当先求数，则应当先求微段变形微段变形，然后将，然后将微段变形累加微段变形累加微段微段dx

11、dx变形变形量：量： N x dxlEA x 0lN x dxlEA x 此公式更具有一般性，但是计算比较复杂。此公式更具有一般性，但是计算比较复杂。x 截面处沿x方向的纵向平均线应变为 xx 图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。fl轴力图)(xxffxxx微段的分离体lxf沿杆长均匀分布的荷载集度为 f = A一般情况下，杆沿x方向的总变形 lxxl0dx截面处沿x方向的纵向线应变为 xxxxxxddlim0其轴力为：其轴力为： N xA x 中伸长量为：中伸长量为： 2200022lllN x dxxdxxllEA xEEE线应变为：线应变为： /xx

12、E112dlxddDx )(2112244)()(dlxddEPdxDEPdxEAPdxldxx 2102112044dEdPldlxddEPdxldlll )()(求图示变截面杆的变形。求图示变截面杆的变形。 1miiiiiN llE A 将将直杆分成直杆分成mm段，对每一段，轴力和横截面段，对每一段，轴力和横截面积均为常数，则等截面直杆公式适用。因此：积均为常数，则等截面直杆公式适用。因此：注意：注意： m综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段数综合不同轴力和横截面积相交形成的最大分段数例：钢质阶梯杆受两力作用。AC段横截面积A1=20mm2，CD段横截面积A2=10mm2。材料的弹性模

13、量E=200GPa。试求：杆端D的伸长量l5N N (kN (kN) )101m0.5m1mBCD10KN15KNA339613396961 01 012 0 01 01 01 01 01 00 .551 012 0 01 02 01 02 0 01 02 01 00 .0 0 55iiiiiN llE Amm m 分析：分析：（1）画轴力图）画轴力图（2）综合不同轴）综合不同轴力和横截面积相力和横截面积相交形成的最大分交形成的最大分段为段为3三、三、横向变形（横向变形（ Lateral DeformationLateral Deformation）与）与 泊松比（泊松比（ Poissons

14、RatioPoissons Ratio）横向变形：bbb 1 横向应变：bb泊松比: 11（ 与 总是符号相反）bb1ll1材料名称材料名称E(GPa)碳碳 钢钢1962160.240.28合合 金金 钢钢1902200.240.33灰口铸铁灰口铸铁1151600.230.27铜及其合金铜及其合金731300.310.42铝铝 合合 金金700.33花岗石花岗石49石灰石石灰石42混凝土混凝土14360.160.18木材（顺纹）木材（顺纹）1012橡胶橡胶0.0080.47 表表1 几种常用材料的几种常用材料的E和和的数值的数值注：各种钢材的弹性模量近似相同，约为200GPa。对于普通工程材料

15、，取值范围:00.5而对高科技材料，已经证明，可能达到-10.5，即：可以合成负负（Negative Poissons ratio）材料。对于塑性材料，的数值较大的数值较大: 0.3 0.47对于脆性材料，的数值较小的数值较小: 0.1金属材料在弹性范围内泊松比金属材料在弹性范围内泊松比保持常数保持常数屈服屈服进入弹塑性变形后，进入弹塑性变形后，的数值趋向于极限值的数值趋向于极限值: 0.5: 0.5也称横向变形系数,它是无量纲。 Simon Denis Poisson Poissons ratio （1829） Foam structures with a negative Poissons

16、 ratio, Science, Vol.235，pp.1038-1040 (1987). C1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量Li ，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。例例 小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2P1L2LC2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L2a1L2LBuBvB1LuB解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：aasinctg21LLvB060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTmkN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20k