数列的概念与简单表示法(第一课时)(人教A版必修)

1、等差数列在过去的三百在过去的三百多年里，人们多年里，人们分别在下列时分别在下列时间里观测到了间里观测到了哈雷慧星：哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（，（ ）你能预测出下一次的大致时间吗？2062相差相差76通常情况下，从地面通常情况下，从地面到到10公里的高空，气公里的高空，气温随高度的变化而变温随高度的变化而变化符合一定的规律，化符合一定的规律，请你根据下表估计一请你根据下表估计一下珠穆朗玛峰峰顶的下珠穆朗玛峰峰顶的温度。温度。8844.43米(2) 28, 21.5, 15, 8.5, 2, , -24.减少减少6.5高度高度(km)温度温度()12328

2、 21.5157-11458.526-4.59-24高中数学高中数学欢迎指导欢迎指导（1）1682，1758，1834，1910，1986，2062探究1观察归纳：它们有什么共同特点？它们有什么共同特点？（2） 28, 21.5, 15, 8.5, 2, , -24（3）1，1，1，1， . 共同特点：共同特点：从第从第2项起，每一项项起，每一项与它的前一项的差等于同一个与它的前一项的差等于同一个常数。常数。d=76d=-6.5d=0) 1(1ndaann或1,(,2)nnd n N na a思考思考：如果 与b中间插入一个数A，使 ,A,b成等差数列，那么A应该满足什么条件？ 由定义得： 反

3、之，若 则 成等差数列 等差中项定义：等差中项定义：若若 成等差数列，那成等差数列，那 么么A叫做叫做 与与 的等差中项的等差中项2abAaa2abAAabA, ,a A b, ,a A bab2abAAabA判断正误，等差数列说出公差：判断正误，等差数列说出公差：（1）1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 10是等差数列 （ ）（2）5，5，5，5，5，5， 是等差数列 （ ）（4）1，1，2，3，4，5是等差数列 （ ）（3）3x，5x，7x，9x， 是等差数列 （ ）（5）数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 （ ）（6）数列a,a-1,a-2,a-3是公差为a-1的等

4、差数列 （ ）（7）若a-b=b-c，则a,b,c成等差数列 （ ）（8）若an-an-1=n(nN*)，则数列成等差数列 （ ）（9）等差数列是相邻两项中后项与前项之差等于非零常数的数列 （ ）（10）等差数列的公差是该数列中任何相邻两项的差 （ ）如果一个数列如果一个数列,1a,2a,3a,na，daa12daa12daa233addada12da21daa344ada 3da31nadna) 1(1通项公式：.) 1(1dnaan归纳得归纳得: :1a是等差数列，也就是说，首项 及公差d都是确定的。21aad32aad43aad12nnaad1nnaad叠加得叠加得等差数列的通项公式（累

5、加法）.)1(1dnaan共n-1个式子213243211.nnnna a a a a aaaa a左 边 ：(1)nd右边为1na a进而( 1 )nd探究3：通项公式与方程注意：在上述推到过程中，用到了观察-归纳-猜想的思维方式也就是说，在数列计算题中要注意运用方程思想。例例1 (1) 求等差数列求等差数列8，5，2，的第，的第20项。项。解：解：49)3()120(820 a(2) 等差数列等差数列 -5，-9，-13，的第几项是，的第几项是 401？解：解：,401, 4)5(9, 51nada因此，因此，)4()1(5401n解得解得100ndnaan) 1(1,20, 385, 8

6、1nda用一下用一下例例2 2 在等差数列中在等差数列中, ,已知已知a a5 5=10,a=10,a1212=31,=31,解：由题意可知解：由题意可知即这个等差数列的首项是即这个等差数列的首项是- -，公差是，公差是. .求首项求首项a a1 1与公差与公差d.d.dnaan) 1(1114101131adad123ad 解得：说明：说明：由此可以看到：已知等差数列的两项就由此可以看到：已知等差数列的两项就可以确定这个数列可以确定这个数列.111(1),.,(,).()=0nnnddnd nNnpnqpd qdpdaaaaa从函数角度看等差数列通项公式，因而等差数列的通项公式可以看作是关于

7、 的一次式。所以，其也可以表示为：要注意的是，或时，数列是常数数列，对应函数是常数函数。,nnpnq p qaa那么，反过来，如果一个数列的通项为是常数，那它是等差数列吗？完成下题。例例3 .已知数列已知数列 an 的通项公式是的通项公式是an =pn+q，p,q是是常数常数 求证：求证：an为等差数列；为等差数列；1.数列数列 an 为等差数列为等差数列 an=pn+qp、q是常数是常数.解：1nn 1n 1nn,.pnq,p(n1)q,nN .p(n1)qpnqp,nN .aaaaannnNaa取数列中的任意相邻两项与它是一个与n无关的常数。所以是等差数列。说明：2.证明数列是等差数列的又

8、一常用方法（1）数列：-2，0，2，4，6，8，10，12345678910123456789100., 42., 42RxxyNnnan（2）数列：7，4，1，-2，12345678910123456789100.,103.,103RxxYNnnan（3）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100., 4., 4RxYNnan直线的一般形式：直线的一般形式：等差数列的通项公式为：等差数列的通项公式为：1()nad nad napnq总结：可整理成,0,.ypx q p R pq R1,pd qd nNa其中，.npnqa1等差数列的图像是落在一次型函数y

9、=px+q的图像（直线）上彼此孤立的点的集合。3.0,Xd 图像上升，函数是增函数，数列是递增数列；d0,图像下降，函数是减函数，数列是递减数列；d=0,图像平行与 轴，函数是常数函数，数列是常数数列。1. 求等差数列求等差数列3，7，11，的第的第4，7，10项；项；2. 100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，中的项？中的项？3. -20是不是等差数列是不是等差数列0，- ，-7中的项；中的项；,154a,277a3910adnaan) 1(1157)1(2100nn)(74727)1(020舍nn课堂练习课堂练习724.已知an 为等差数列，若a1=3, d=3/2,an=21,则n= 5.5.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1，则，则 a 等于（等于（ ) )A. 1 . 1 B. -1 . -1 C.- .- D.31115提示：是等差数列。求证数列的通项公式为已知数列, 13.6aaannnn 提示：类比例213A(6)( 101)2aa 等差中项定义-3a