工程力学-11 组合变形

1、 上一章小结（应力状态与强度理论）上一章小结（应力状态与强度理论） 基本概念基本概念 应力状态（空间、平面、单向）、应力状态（空间、平面、单向）、主平面、主应主平面、主应力、主应变、应力圆、广义胡克定律、强度理论力、主应变、应力圆、广义胡克定律、强度理论、相当应力、相当应力 基本公式基本公式 斜截面应力计算公式斜截面应力计算公式 主应力计算公式主应力计算公式2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx2222xyxyx 主主yxx22tan0 应力与应变的关系（广义胡克定律）应力与应变的关系（广义胡克定律） 空间应力状态xzyyE1yxzzE1Gxyxy Gyzyz Gzxzx zy

2、xxE11max231max 强度理论 r11r3212r2132322214r21313r 第十一章第十一章 组组 合合 变变 形形11.1 组合变形的概念组合变形的概念11.2 斜弯曲斜弯曲11.3 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合与弯曲的组合11.4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合一、组合变形一、组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单基本变形，当几种变形所对应的应力属同一几种简单基本变形，当几种变形所对应的应力属同一数量级时，不能略去任一种变形，这类构件的变形称数量级时，不能略去任一种变形，这类构件的变形称为为组合变形组合变形 (com

3、bined deformation)。11.11.组合变形的概念组合变形的概念PR水坝水坝q hP二、组合变形工程实例二、组合变形工程实例HhDG1 烟囱烟囱压弯组合变形压弯组合变形:同时发生轴向压缩与弯曲同时发生轴向压缩与弯曲拉弯组合变形拉弯组合变形: :同时发生轴向拉伸与弯曲同时发生轴向拉伸与弯曲PP辘轳从深井中提水辘轳从深井中提水弯扭组合变形弯扭组合变形: :同时发生弯曲与扭转同时发生弯曲与扭转三、组合变形的研究方法三、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理 对于组合变形下的构件，对于组合变形下的构件，在线弹性范围内、小变形在线弹性范围内、小变形条件下，可先将荷载简化为符合基本变形外力作用

4、条件条件下，可先将荷载简化为符合基本变形外力作用条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形下的内力、的外力系，分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形。然后利用应力或变形。然后利用叠加原理叠加原理，综合考虑各基本变形综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。危险点的应力状态，并据此进行强度计算。 组合变形的计算方法与步骤组合变形的计算方法与步骤先分解而后叠加先分解而后叠加 外力分析，确定基本变形：外力分析，确定基本变形：将外力分解为几将外力分解为几组与之静力等效的简单载荷，确定

5、基本变形；组与之静力等效的简单载荷，确定基本变形； 内力分析，确定危险截面：内力分析，确定危险截面：求每个外力分量求每个外力分量对应的内力并画内力图，确定危险面；对应的内力并画内力图，确定危险面； 应力分析，确定危险点：应力分析，确定危险点：画危险面应力分布画危险面应力分布图，确定危险点，叠加求危险点应力；图，确定危险点，叠加求危险点应力； 强度计算：强度计算：建立危险点的强度条件，进行强建立危险点的强度条件，进行强度计算。度计算。yxzPyxzPMY11.3 11.3 拉伸（压缩）与弯曲的组合拉伸（压缩）与弯曲的组合一、一、拉拉( (压压) )弯组合变形：弯组合变形：杆件同时受横向力（或纵截

6、面内杆件同时受横向力（或纵截面内力偶）和轴向力的作用而产生的变形。力偶）和轴向力的作用而产生的变形。PRPMYMZPAPxP zzxMIyMz yyxMIzMy MzMyzzyyxIyMIzMAP yxzPMzMy1、Bending combined with axial and lateral loads 横向力与轴向力同时作用横向力与轴向力同时作用设横梁设横梁(cross beam/transbeam)AB由由20a工字钢制成，最大吊重工字钢制成，最大吊重P20kN，材料的许用应力，材料的许用应力120MPa，试校核横梁，试校核横梁AB的强度。的强度。 1.外力分析，确定基本变形（Exte

7、rnal force analysis and determine basic deformation）AB梁的受力简图如图所示。梁的受力简图如图所示。PYAXANCDBCA二、应力分析：二、应力分析：03230sin0PNmCDA：030cos00CDANXX： AB AB梁产生轴向力作用下的轴向压缩与横向力作用下的平面梁产生轴向力作用下的轴向压缩与横向力作用下的平面弯曲的组合变形。弯曲的组合变形。由平衡条件得由平衡条件得kNNNCDCDy3030sinkNNNCDCDx5230coskNPNCD603 kNXA52kNPYA102/PYAXANCDBCANCDYNCDX0120PYmAC：

8、 2.内力分析，确定危险截面（Internal force analysis and determine critical cross-section）kNmM20kNFN52 3.应力分析，确定危险点（Stress analysis and determine critical point）作出其轴力图和弯矩图作出其轴力图和弯矩图危险截面在危险截面在C截面的左侧，其内力值截面的左侧，其内力值: :危险截面危险截面C C的下边缘点有最大压应力，上边缘点有最大拉应力的下边缘点有最大压应力，上边缘点有最大拉应力PYAXANCDBCANCDYNCDX-52kNFN-20kNmM 4. Strengt

9、h calculation 强度计算强度计算所以所以ABAB梁强度足够梁强度足够. . 对于拉压等强度的塑性材料，则只需校核绝对值最大的应力。对于拉压等强度的塑性材料，则只需校核绝对值最大的应力。本题中的本题中的材料是塑性材料，所以只需校核绝对值最大的应力，即最大压应力材料是塑性材料，所以只需校核绝对值最大的应力，即最大压应力 式中式中FN和和M是指危险截是指危险截面的轴力和弯矩，轴力拉为面的轴力和弯矩，轴力拉为正，压为负，弯矩则用绝对正，压为负，弯矩则用绝对值代入。值代入。maxmaxWMAFWMAFNN120MPa=MPamN29 .98103 .846 .14102371020105 .

10、35105266343maxmaxzNWMAF建议：进行危险点的应力分建议：进行危险点的应力分析时，绘出应力分布图！析时，绘出应力分布图！ 对拉压（弯）组合变形杆件进行应力分析时，通常忽略了弯曲剪应对拉压（弯）组合变形杆件进行应力分析时，通常忽略了弯曲剪应力，所以横截面上只有正应力，各点处于单向应力状态。力，所以横截面上只有正应力，各点处于单向应力状态。30LABLC-8.66kN2.5kN.m+D30LABLC-8.66kN2.5kN.m+MPaMPaWMAFN1208 .1076/6040105 . 260401066. 8263maxD所以所以AB梁强度足够。梁强度足够。2 、Eccen

11、tric tension or compression 偏心拉伸偏心拉伸(压缩压缩) 1. 外力分析，确定基本变形： 2.内力分析，确定危险截面弯曲与拉伸的组合变形弯曲与拉伸的组合变形 任一横截面，其内力为：任一横截面，其内力为：FN=P， M=Pe 3. 应力分析，确定危险点： 式中式中FN和和M是指危险截面的轴力和弯矩，轴力拉为正，压为负，是指危险截面的轴力和弯矩，轴力拉为正，压为负，弯矩则用绝对值代入。弯矩则用绝对值代入。 4. 强度计算强度计算左侧和右侧边缘点为危险点左侧和右侧边缘点为危险点maxmaxWMAFWMAFNNmaxWMAFNMPa75. 82 . 02 . 0350000

12、maxAPAFN11maxzZNWMAPWMAFMPa7 .113 . 02 . 06503503 . 02 . 03500002解：两柱均为压应力解：两柱均为压应力图示不等截面与等截面柱，受力图示不等截面与等截面柱，受力P=350kN，试求出两柱内的绝对值最大正应力。，试求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）z左侧柱的最大左侧柱的最大压应力压应力为为:右侧柱的最大右侧柱的最大压应力压应力为为:xyzABMyMzCDyyzzNWMWMAFAmax处：yyzzNWMWMAFBmax处：强度条件：强度条件：yyzzNyyzzNWMWMAFWMWMAFmaxmaxmm510201010020

13、1020 cz235100101210010 cyI4523mm1027. 7252010122010 例例: :图示钢板厚图示钢板厚10mm10mm，受力，受力P=100kNP=100kN，试求最大正应力；若试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？空宽度为多少？1002020解：内力分析解：内力分析ycyzNM坐标如图，坐标如图，则挖孔处截面的形心：则挖孔处截面的形心：Nm5001053 PM1002020ycyz ycIzMANmaxmax MPa8 .1628 .37125 应力分析如图，最大正应

14、力应力分析如图，最大正应力: :73631027.710555001080010100 孔移至板中间时孔移至板中间时)100(10mm9 .631108 .16210100263maxxNA mm8 .36 x10kN1.2m1.6m1.6mACBAXAYAR10kNBR例例:两根无缝钢管焊接而成的折两根无缝钢管焊接而成的折杆。钢管外径杆。钢管外径D=140mm,壁厚壁厚t=10mm。求危险截面上的最。求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。大拉应力和最大压应力。kN5 BARRkN4,kN3 AAYX解解1)求约束反力求约束反力:确定危险截面：确定危险截面：2_3kN3kNCABFN图：8kN

15、8kNCABM图：3 求最大应力求最大应力maxt maxc WMAN 4322)(132)(4DdDMdDNtDd2 其其中中maxt maxc =+63.8MPa-65.2MPakNm8,kN3 MNC处：代入数据，可得：a6m7m1myzxxq11 aq22 解：压弯组合坝底截面：)kN(1407722aaqN )kNm(360)6()6(601160 xdxxdxqxM 例例:混凝土坝混凝土坝 ，受最高水位为，受最高水位为6m的水压力的水压力 ，水的重度为，水的重度为 1 110KN/10KN/m3 3，坝体自身的重度，坝体自身的重度 2=20KN /m3 ；求坝底不；求坝底不产生拉应

16、力时的最小宽度产生拉应力时的最小宽度a 。危险点为内侧边：WMANt max 0613601402 aaam93.31403606 a即即即不产生拉应力的最小宽度为3.93m。 图示正方形截面直柱，受纵向力图示正方形截面直柱，受纵向力P的压缩作用。则当的压缩作用。则当P力作力作用点由用点由A点移至点移至B点时柱内最大压力的比值：点时柱内最大压力的比值： （）（）: （）（）: （）（）: （）（）: BzAaayPPC选择题选择题11.4 Bending combined with torsion弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合External force analysis and deter

17、mine basic deformation 外力分析，确定基本变形外力分析，确定基本变形 2. Internal force analysis and determine critical cross-section 内力分析，确定危险截面内力分析，确定危险截面Bending combined with torsion弯曲与扭转的组合变形 A截面是危险截面截面是危险截面 T=m, and M=Pl 3. Stress analysis and determine critical point 应力分析，确定危险点应力分析，确定危险点zWMTWp危险截面危险截面A的上、下两点的弯曲正应力和扭转

18、切的上、下两点的弯曲正应力和扭转切应力达到最大，故这两点为危险点应力达到最大，故这两点为危险点 4. Strength calculation 强度计算强度计算12222()2032222() 若轴为塑性材料若轴为塑性材料, ,选第三强度理论，选第三强度理论，其相当应力为其相当应力为: :42231r322ZWTM r3若选第四强度理论，若选第四强度理论，其相当应力为其相当应力为: :3)()()(2122213232221r475. 022ZWTM r4确定主应力：WTMMzy222r3 WTMMzy222r475. 0 若若圆截面圆截面构件在构件在xz平面和平面和xy平面都有弯曲发生平面都

19、有弯曲发生,则则r3MTW22 r4MTW22075. MPa7 .351 . 07000163PWTMPa37. 6101 . 050432 AP解：拉扭组合,危险点应力状态如图PTPTAA A 例:直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN，=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。安全22r34 MPa7 .717 .35437. 622例：处于水平位置的圆截面直角拐轴受力下图所示，已知例：处于水平位置的圆截面直角拐轴受力下图所示，已知P=3.2kN， =50MPa，试用第三强度理论确定，试用第三强度理论确定AB段的直径段的直径d。 解：解：(1) 外力分析，确定

20、基本变形 ABAB产生弯曲与扭转的组合变形。产生弯曲与扭转的组合变形。(2) 内力分析，确定危险截面 Nm44814. 0 PTNm6402 . 0 PM可知危险截面为可知危险截面为A A截面，其上的扭矩与弯矩分别为截面，其上的扭矩与弯矩分别为(3) 应力分析，确定危险点 A A截面的上、下边缘点是危险点截面的上、下边缘点是危险点 (4) 强度计算 3232222r3dTMWTMmm54105044864032323622322TMd 100100考虑：考虑：例例:图示刚架，两杆在水平面内且互相垂直，受力与刚架图示刚架，两杆在水平面内且互相垂直，受力与刚架平面垂直，平面垂直，P=2kN, L=1m,各杆直径各杆直径d=10m, =70Mpa,按按最大剪应变强度理论校核强度。最大剪应变强度理论校核强度。CD2PLPLM:3PLTLPLLABCD2PPLM3223maxmaxdPLWMZ32103233322223dPLdPLPLWTMZr MPa4 .641 . 01102103233安全安全解: (DBC)段:(AB)段:例例:图示水平直角折杆受竖直力图示水平直角折杆受竖直力P作用，轴直径作用，轴直径 d=100mm，a=400mm，E=200GPa，m m =0.25，在，在D截面顶点截面顶点k处测出轴处测出轴向应变向应变 2.752.7510104