弹性力学_第五章 弹性力学边值问题

1、弹性力学弹性力学第五章 弹性力学边值问题5-1 基本方程5-2 问题的提法5-3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性5-4 圣维南原理5-5 叠加原理Chapter 5.25-1 基本方程000zzyzxzyzyyxyxzxyxxFzyxFzyxFzyx1. 平衡微分方程0,jiijF2. 几何方程几何方程 ),(21ijjiijuuxuxxvyuxyyvyywzvyzzwzzuxwzx5-1 基本方程由几何方程推导出协调方程：yxxyxy22y22x2yxxzyxx2yzxyzx2zyyzyz22z22y2zxyxzyy2xzyzxy2zxzxxz22x22z2yxzyxzz2xyzxyz25

2、-1 基本方程3. 本构方程)(1)(1)(1yxzzxzyyzyxxEEExyxyzxzxyzyzEEE)1 (2)1 (2)1 (2用应力表示应变的物理方程用应力表示应变的物理方程ijijijEE15-1 基本方程用应变表示应力的物理方程用应变表示应力的物理方程ijijijijkkijGG22;)1 (2;)1 (2)11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 ()11()21)(1 ()1 (xzxzxyxyyxzzzxyyzyxxEEEEEyzyzE)1 (25-1 基本方程总之，三大方程的个数是总之，三大方程的个数是15弹性力学边值问题边界条件方程：变量个数为个631

3、21：个621几何方程个30平衡方程yzxzyxzyxyzxzxyzyxmmijiji , jijij ,ij,w, v ,uK,SGeuufj , i15:本构方程5-1 基本方程 若物体表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz已知，则面力边界条件为：nmlFnmlFnmlFzyzxzszzyyxysyxzxyxsxjijsinF若物体表面的位移 已知，则位移边界条件为 wvu,wwvvuu,若物体部分表面面力和部分表面位移已知，则为混合边界条件4. 边界条件5-1 基本方程5-1 基本方程第五章 弹性力学边值问题5-1 基本方程5-2 问题的提法5-3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性5-4

4、 圣维南原理5-5 叠加原理 弹性力学的任务就是在给定的边界条件下，就十五个未知量求解十五个基本方程。 求解弹性力学问题时，并不需要同时求解十五个基本未知量，可以做必要的简化。 为简化求解的难度，仅选取部分未知量作为基本未知量。5-2 问题的提法在给定的边界条件下，求解偏微分方程组的问题，数学上称为偏微分方程的边值问题。按照不同的边界条件，弹性力学有三类边值问题。第一类边值问题第一类边值问题：已知弹性体内的体力和其表面的面力分量为Fsx、Fsy和Fsz，边界条件为面力边界面力边界条件条件。第二类边值问题第二类边值问题：已知弹性体内的体力分量以及表面的位移分量，边界条件为位移边界条件。位移边界条

5、件。5-2 问题的提法第三类边值问题第三类边值问题： 已知弹性体内的体力分量，以及物体表面的部分位移分量和部分面力分量，边界条件在面力已知的部分，为面力边界条件，位移已知的部分为位移边界条件。称为混合边界混合边界条件条件。以上三类边值问题，代表了一些简化的实际工程问题。若不考虑物体的刚体位移，则三类边值问题的解是唯一的。5-2 问题的提法位移解法位移解法以位移函数作为基本未知量应力解法应力解法以应力函数作为基本未知量混合解法混合解法以部分位移和部分应力分量 作为基本未知量5-2 问题的提法第五章 弹性力学边值问题5-1 基本方程5-2 问题的提法5-3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性5-4

6、圣维南原理5-5 叠加原理5-3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性1. 位移解法位移解法 将几何方程：)(21,ijjiijuu代入应变表示应力的物理方程：ijijijG2xuGx2yvGy2zwGz2xvyuGxyywzvGyzzuxwGzx2222xuGxuGxxxyxvGyuGyxy222zxwGzuGzzx222对对x求导求导对对z求导求导对对y求导求导三式相加三式相加 zwyvxu222222zuyuxuGx)G(zyxzxyzx再引进再引进Laplace算子算子2222222zyx0,ijijf02yfvGy)G(02yfwGz)G(0jj, iji, jGuu )G(不考虑体力不

7、考虑体力位移分量表示的平衡方程，称为位移分量表示的平衡方程，称为Lame方程方程 02xfuGx)G(由由得得在没有体力作用且不考虑固体运动时在没有体力作用且不考虑固体运动时000222wGz)G(vGy)G(uGx)G(用位移法求解位移，仅需满足平衡方程及边界条件。用位移法求解位移，仅需满足平衡方程及边界条件。 若给定的是静力边界条件，则需将应力换用位移表示若给定的是静力边界条件，则需将应力换用位移表示 xuGx2yvGy2zwGz2xvyuGxyywzvGyzzuxwGzx将将 代入静力代入静力边界条件边界条件 jijinp整理后可得到位移分量表达的静力边界条件为整理后可得到位移分量表达的

8、静力边界条件为nxwmxvlxuGnzumyulxuGlpxnywmyvlyuGnzvmyvlxvGmpynzwmzvlzuGnzwmywlxwGnpy应力分量必须满足应力分量必须满足 平衡微分方程平衡微分方程应变分量应满足应变分量应满足 变形协调方程变形协调方程0 xxzxyxfzyx0yyzyyxfzyx0zzzyzxfzyxyxxyxyyx22222zyxxzyxyzxyzx22zyyzyzzy22222zyxxxzxyzxyzy22xzzxzxxz22222zyxxyxxyzxyzz22用应力法求解时，应转变为用应力分量表达用应力法求解时，应转变为用应力分量表达 2. 应力解法应力解法

9、如何如何实现？实现？1Izyx应力分量应满足以应力分量表示的变形协调方程应力分量应满足以应力分量表示的变形协调方程 下面以应变协调方程中的其中任一式为例，推导应力表示的协调方程下面以应变协调方程中的其中任一式为例，推导应力表示的协调方程考虑应变协调方程中的第二式考虑应变协调方程中的第二式 zyyzyzzy22222xzyyvE1yzyzEv)1 (2yxzzvE1式中的应变分量根据广义式中的应变分量根据广义HOOKE定律用应力表示为定律用应力表示为zyvyzvyzvyzzy222222222)1 (2)1 (代入代入代入代入代入代入应力和函数应力和函数 zyvyzvyzvyzzy2222222

10、22)1 ( 2)1 (等号右边等号右边可写为可写为yzzyyzyz20zzzyzxfzyx另外，根据平另外，根据平衡微分方程衡微分方程zzxzzxfxzy代入代入同理，等号右同理，等号右边还可写为边还可写为根据平衡微分根据平衡微分方程方程0yyzyyxfzyxzzxzyzfxzzzy2yxyyyzfxyzzyzyyzyz2yxyyyzfxyyzy2代入代入yxyyzzxzyzfxyyfxzzzy222222yzyfzfyzxyzyzxyzxzyvyzvyzvyzzy222222222)1 ( 2)1 (22222222)()1 (yzvyzvzyyfzfyzxvyzxyzx)1 (zfyfx

11、fvxvxvzyxx)1 ()1 (2222222代入代入改写为改写为得到得到对于应变协调方程中的第一、第三两式，可得类似的另两个方程对于应变协调方程中的第一、第三两式，可得类似的另两个方程。 将此三式相加，得：将此三式相加，得： zfyfxfvvzyx112zfyfxfvxvxvzyxx)1 ()1 (2222222代入代入xfzfyfxfvvxvxzyxx21)1 (1222类似可得其他类似可得其他5个方程个方程 xfzfyfxfvvxvxzyxx21)1 (1222yfzfyfxfvvyvyzyxy21)1 (1222zfzfyfxfvvzvzzyxz21)1 (1222yfxfyxvx

12、yxy22)1 (1zfyfzyvyzyz22)1 (1xfzfxzvzxzx22)1 (1Beltrami-Michell方程方程 用应力表示的应力协调方程用应力表示的应力协调方程对于体力为零或者常量的情况，对于体力为零或者常量的情况，Beltrami-Michell方程简化为方程简化为0)1 (1222xvx0)1 (1222yvy0)1 (1222zvz0)1 (122yxvxy0)1 (122zyvyz0)1 (122xzvzx0)1 (1,2ijijv或或用应力法求解弹性力学问题就归结为求应力分量用应力法求解弹性力学问题就归结为求应力分量 ij满足平衡方程、满足平衡方程、 协调方程及

13、应力边界条件的数学问题。协调方程及应力边界条件的数学问题。 这样这样1515个基本方程就全部个基本方程就全部满足。满足。若将前三式相加得若将前三式相加得 ， 02问题就变为先将函数问题就变为先将函数求出求出, ,然后求出其他应力分量，并在边界上满足边界条件。然后求出其他应力分量，并在边界上满足边界条件。 5-3 解的唯一性n通过应变能原理推导弹性力学的解的唯一性n解的唯一性定理的意义是为弹性力学问题的求解提供了重要的理论依据。n由于偏微分方程边值问题求解的困难，因此在弹性力学问题分析中，经常需要使用逆解法或半逆解法。而解的唯一性定理为这些方法奠定了基础。 应变能原理应变能原理 弹性体在外力作用

14、下处于平衡状态时，物体内存储的弹性体在外力作用下处于平衡状态时，物体内存储的弹性势能，即应变能，等于外力由原始位置到平衡位置所弹性势能，即应变能，等于外力由原始位置到平衡位置所做的功。假如外力是由零连续变化到其最终数值的，则在做的功。假如外力是由零连续变化到其最终数值的，则在加载的过程中，物体始终是处于平衡状态的。加载的过程中，物体始终是处于平衡状态的。 VdVUW0zxzxyzyzxyxyzzyyxxU210其中其中5-3 解的唯一性逆解法逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程的假设各种满足相容方程

15、的(x,y) 的形式；的形式；（2） 主要适用于简单边界条件的问题。主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式，求出然后利用应力分量计算式，求出 （具有待定系数）；（具有待定系数）；xyyx,（3） 再利用应力边界条件式，来考察这些应力函数再利用应力边界条件式，来考察这些应力函数(x,y) 对应什么样的对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数边界面力问题，从而得知所设应力函数(x,y) 可以求解什么问题。可以求解什么问题。半逆解法半逆解法（1）根据问题的条件根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量假设部分应力分量 的

16、某种函数形式的某种函数形式 ；xyyx,（2）根据根据 与应力函数与应力函数(x,y)的关系及的关系及 ，求，求出出(x,y) 的形式；的形式；xyyx,04（3）最后利用式（计算出最后利用式（计算出 并让其满足边界条件和位移单并让其满足边界条件和位移单值条件。值条件。xyyx, 半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。解的唯一性定理 u 无初应力的线弹性问题的解是唯一的无初应力的线弹性问题的解是唯一的u 给给“试凑试凑”解法提供了理论基础解法提供了理论基础5-3 解的唯一性下面给出定理的证明（反证法）：下面给出定理的证明（反证法）：先假设存在两种不

17、同的解，它们的位移场和应力场先假设存在两种不同的解，它们的位移场和应力场 及及 都满足都满足基本微分方程基本微分方程和和给定边界条给定边界条件件。然后证明，对线性弹性问题两解之差必为零，。然后证明，对线性弹性问题两解之差必为零，因而只能有唯一解。因而只能有唯一解。,iiju,iiju5-3 解的唯一性 由前提假设，由前提假设， 及及 是同一物体在同一载是同一物体在同一载荷荷 及相同边界条件下的两个解，它们都满足及相同边界条件下的两个解，它们都满足平衡方程平衡方程 力边界条件力边界条件 位移边界条件位移边界条件,iiju,iiju,iif X,0; 0ij jiij jiff( (在在V内内)

18、) ; ijjiijjXX (在S上) ;iiiiuuuu(在在Su上上)5-3 解的唯一性 把以上左右两式对应相减，由叠加原理可知，两解之差把以上左右两式对应相减，由叠加原理可知，两解之差 必然满足无体力平衡方程必然满足无体力平衡方程 和齐次边界条件和齐次边界条件iiiuuuijijij,0ij j5-3 解的唯一性,(1)(2)(3)0 0 0 ij jijjiu 将将（1）式两边乘式两边乘ui，对体积，对体积V积分，并利积分，并利用高斯公式得用高斯公式得,ddd0iij jiijjiji jVSVuVuSuV 其中第一项面积分的积分域为其中第一项面积分的积分域为S= S+Su，根据（，根

19、据（2）和（）和（3）式，）式，被积函数在边界上总有一个因子被积函数在边界上总有一个因子ui或或ijj为零，所以第一项等于零。为零，所以第一项等于零。再利用再利用ij的对称性和线弹性应变能公式，上式可化为的对称性和线弹性应变能公式，上式可化为5-3 解的唯一性,1dd2d2d0iji jiji jj iVijijVVuVuuVVWV 对于线弹性问题应变能处处正定，故上式要求对于线弹性问题应变能处处正定，故上式要求W=0，即两解之差是即两解之差是ij0和和ij0的无变形状态，因而的无变形状态，因而 于是证明了应力场和应变场的解是唯一的。于是证明了应力场和应变场的解是唯一的。 ; ijijijij

20、5-3 解的唯一性小结 一般说，位移场一般说，位移场 和和 之间还可能差一个之间还可能差一个刚体位移刚体位移，但是绝，但是绝大多数弹性力学问题都给定足以限制刚体运动的位移约束条件，大多数弹性力学问题都给定足以限制刚体运动的位移约束条件，因而位移场的解也是唯一的。因而位移场的解也是唯一的。 以上证明的前提是以上证明的前提是叠加原理叠加原理、应变能正定性应变能正定性和和应力张量对称应力张量对称性性。线弹性理论能自动满足这些条件，因为线弹性问题的解是。线弹性理论能自动满足这些条件，因为线弹性问题的解是唯一的。唯一的。 无论用什么方法求得的解，只要能满足全部基本方程和边界无论用什么方法求得的解，只要能

21、满足全部基本方程和边界条件，就一定是问题的真解。条件，就一定是问题的真解。iuiu5-3 解的唯一性 不满足唯一性定理的情况不满足唯一性定理的情况 (1) 材料非线性材料非线性 (2) 几何非线性几何非线性 (3) 载荷与变形耦合问题（边界条件非线性）载荷与变形耦合问题（边界条件非线性） (4) 有初应力的情况有初应力的情况5-3 解的唯一性第五章 弹性力学边值问题5-1 基本方程5-2 问题的提法5-3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性5-4 圣维南原理5-5 叠加原理问题的提出：问题的提出：PPP 求解弹性力学问题时，使应力分量、求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足形

22、变分量、位移分量完全满足8 8个基本方个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。往往很困难。 如图所示，其力的作用点处的边界条如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。件无法列写。1. 静力等效的概念静力等效的概念 两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。力系。)(iOOFmMiFR 这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体而言完全正确，但对变这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。形体而言一般是不等效的。5-4 圣维南原理2

23、. 原理原理 若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。改变，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/2APAPAP5-4 圣维南原理3. 圣维南原理的应用圣维南原理的应用(1) 对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2) 有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：注意事项：(1)必须满足静力等效条件；

24、必须满足静力等效条件；(2) 只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：如：AB主要边界主要边界PAP次要边界次要边界5-4 圣维南原理4. 圣维南原理的例外圣维南原理的例外L存在裂缝存在裂缝BADC比作用面很小的尺寸比作用面很小的尺寸5-4 圣维南原理第五章 弹性力学边值问题5-1 基本方程5-2 问题的提法5-3 弹性力学问题基本解法 解的唯一性5-4 圣维南原理5-5 叠加原理 描述 作用在物体上的两组外力（包括表面力和体积作用在物体上的两组外力（包括表面力和体积力）的总和在物体内部所产生的效果（应力、应变力）的总和在物体

25、内部所产生的效果（应力、应变及位移等），等于此两组外力分别作用效果的总和。及位移等），等于此两组外力分别作用效果的总和。或者说物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场或者说物体受两组载荷共同作用时的应力或位移场就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之和，就等于每组载荷单独作用时的应力或位移场之和，且且与加载顺序无关与加载顺序无关。5-5 叠加原理iu设第一组载荷为体力设第一组载荷为体力 和面力和面力 ，第二组为体力，第二组为体力和面力和面力 ，它们引起的应力和位移场分别为，它们引起的应力和位移场分别为 和和及及 和和 ，且仅考虑线弹性小变形情况，则联合载，且仅考虑线弹性小变形情况，则联合载荷荷引起的应力和位移场为引起的应力和位移场为if iXif iXijijiu具体阐述为：iiifffiiiXXX; ijijijiiiuuu5-5 叠加原理下面以下面以应力解法应力解法为基础证明叠加原理的正确性：为基础证明叠加原理的正确性：将叠加后的载荷代入应力解法各个方程后有：将叠加后的载荷代入应力解法各个方程后有： 代入平衡方程代入平衡方程 应力协调方程应力协调方程 力边界条件力边界条件,0ijijiijff2,1101ijijijijkkiijjkjiffffff0jijijiiXX5-5 叠加原理 由于上述各式是线性微分方程或是代数方程，由于上述各