第二章 连续时间系统时域分析 2

1、第二章第二章 连续时间系统的时域分析连续时间系统的时域分析 微分方程的建立及经典解法微分方程的建立及经典解法 0+0+和和0-0-初始值初始值 零输入响应与零状态响应零输入响应与零状态响应 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应 卷积积分卷积积分一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解 微分方程的经典解：y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。特解的函数形式与激励函数的形式有关。 齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励而与激励f(t)f(t)数形式无关

2、，称为系统的数形式无关，称为系统的固有响应固有响应或或自由响应自由响应； 特解的函数形式由激励确定，称为特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应强迫响应。全响应齐次解全响应齐次解(自由响应自由响应)特解特解(强迫响应强迫响应)齐次解：写出特征方程，求出特征根（自然频率或固有频率）。根据特征根的特点，齐次解有不同的形式。一般形式（无重根）：特解：根据输入信号的形式有对应特解的形式，用待定系数法确定。在输入信号为直流和正弦信号时，特解就是稳态解。用初始值确定积分常数。一般情况下，n 阶方程有n 个常数，可用个 n 初始值确定。nitihieCtr1)(i例2.1.1描述某系统的微分方程为描述某系统的

3、微分方程为y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)，求求: : （1 1）当）当f(t) = 2 ，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解；时的全解； （2 2）当当f(t) = ，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。时的全解。 te2te解解: : (1) (1) 特征方程为特征方程为 + 5+ 6 = 0 + 5+ 6 = 0 其特征根其特征根1= 1= 2 2，2= 2= 3 3。齐次解为齐次解为2ttheCeCty3221)(通过查表可知，当通过查表可知，当f(t) = 2 f(t) = 2 时，其特解可设为时，其特解可设为ttttePePePe26)(5

4、将其代入微分方程得将其代入微分方程得解得解得 P=1P=1于是特解为于是特解为全解为：全解为： tpety)(tpPety)(tttpheeCeCtytyty3221)()()(te其中待定常数其中待定常数C1,C2由初始条件确定。由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y(0) = 2C1 3C2 1= 1解得解得 C1 = 3 ，C2 = 2最后得全解最后得全解ttteeety3223)(（2 2）齐次解同上。）齐次解同上。 当激励当激励f(t)= f(t)= 时，其指数与特征根之一相时，其指数与特征根之一相重。由表知：其特解为重。由表知：其特解为 yp(t) = (P

5、1t + P0) 代入微分方程可得代入微分方程可得 P1 =te2所以所以 P P1 1= 1= 1 但但P P0 0不能求得。全解为不能求得。全解为t2ete2te2tttttttteeCePCePteeCeCty2322012023221)()(将初始条件代入，得：将初始条件代入，得： y(0) = (C1+P0) + C2=1 ， y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得解得 C C1 1 + P + P0 0 = 2 , C= 2 , C2 2= 1 = 1 最后得微分方程的全解为最后得微分方程的全解为 上式第一项的系数上式第一项的系数C C1 1+P+P0 0= 2= 2，不

6、能区分，不能区分C C1 1和和P P0 0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。因而也不能区分自由响应和强迫响应。tttteeety2322)(二、关于二、关于 0- 0- 和和 0+ 0+ 初始值初始值 1、0 状态和 0 状态0 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储能产生的；0 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。 从 0 状态到 0 状态的跃变当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0 状态到 0 状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。 如果包含有(t)及其各阶导数，说明相应的0状态到0状态发生了跳变。0 状态

7、的确定已知 0 状态求 0 状态的值，可用冲激函数匹配法。求 0 状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出。各种响应用初始值确定积分常数各种响应用初始值确定积分常数 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值。 在求系统零状态响应时，用的是 0 状态初始值，这时的零状态是指 0 状态为零。2、冲激函数匹配法目的目的: : 用来求解初始值，求（用来求解初始值，求（0 0）和（）和（0 0）时刻值的关系。）时刻值的关系。应用条件应用条件： 如果微分方程右边包含如果微分方程右边包含 (t)及其各阶导及其各阶导数，那么（数，那么（0 0）时

8、刻的值不一定等于（时刻的值不一定等于（0 0）时刻的值。）时刻的值。原理原理: : 利用利用t t0 0时刻方程两边的时刻方程两边的(t)(t)及各阶导数应该平及各阶导数应该平衡的原理来求解（衡的原理来求解（0 0）)(.)()()(.)()()1(210)(10tbtbtbbtyatyatyammnnmn，则设0)(.)()(.)(.)()()(.)()()1()(12)2()1(01)1()(tytyCtyCtCtCtyCtCtCtymnmmnmmnmmnmn，则设1)1(12)2()1(01)1()(.)()(.)(.)()()(.)()(nnmmmmnmmnCtCtyCtCtCtyCt

9、CtCty将y(t)及其各阶导数带入原方程，求出C0.Cm ;对y(t)及各阶导数求（0，0）的积分. 例2.1.2：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)，已知，已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=u(t)，求求y(0+)和和y(0+)。解：解：将输入将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 列式得：列式得： 0)()()()( tyatybtaty代入原方程得代入原方程得 a=2，b=0 由上可见，当微分方

10、程等号右端含有冲激函数（及其各由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应阶导数）时，响应y(t)y(t)及其各阶导数中，有些在及其各阶导数中，有些在t=0t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。 20)0()0(22)0()0(yyyy0)0()0(2)0()0(yyyy从从0-0-到到0+0+积分得：积分得： 0)(2)(0)(2)( tytytty得：得： 三、零输入响应和零状态响应三、零输入响应和零状态响应1 1、定义：、定义：（1 1）零输入响应：）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始没有外加激励信号的

11、作用，只有起始状态所产生的响应。状态所产生的响应。（2 2）零状态响应：）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。系统外加激励信号所产生的响应。 LTI的全响应：y(t) = yx(t) + yf(t)2 2、零输入响应、零输入响应（1 1）即求解对应齐次微分方程的解）即求解对应齐次微分方程的解 特征方程的根为特征方程的根为n n个单根个单根 当特征方程的根当特征方程的根( (特征根特征根) )为为n n个单根个单根( (不论实根、不论实根、虚根、复数根虚根、复数根) )1，2， ，n时，则时，则yx(t)的通解表的通解表达式为

12、达式为tnttxneCeCeCty.)(2121 特征方程的根为特征方程的根为n n重根重根 当特征方程的根当特征方程的根( (特征根特征根) )为为n n个重根个重根( (不论实根、不论实根、虚根、复数根虚根、复数根) ) 1=2=n时，时，yx(t)的通解表达式的通解表达式为为: : tnnttxnetCteCeCty121.)(21 （2 2）求）求yx(t)的基本步骤的基本步骤 求系统的求系统的特征根特征根，写出写出yx(t)的通解表达式。的通解表达式。 将确定出的积分常数将确定出的积分常数C1，C2， ，Cn代入代入通解表达式，即得通解表达式，即得y yx x(t)(t)。 由于激励

13、为零，所以零输入的初始由于激励为零，所以零输入的初始值：值： 确定积分常数确定积分常数C1，C2， ，Cn)0 ()0 ()()(ixixyy3 3、零状态响应、零状态响应（1 1）即求解对应即求解对应非齐次微分方程的解非齐次微分方程的解（2 2）求）求yf(t)yf(t)的基本步骤的基本步骤 求系统的特征根，写出的通解表达式求系统的特征根，写出的通解表达式y yfhfh(t)(t)。 根据根据f(t)f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解的形式，确定特解形式，代入方程解得特解得特解y yfpfp(t)(t) 将确定出的积分常数将确定出的积分常数C1C1，C2C2， ，CnCn代代入全解表达

14、式，即得。入全解表达式，即得。 求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得数）时，根据冲激函数匹配法求得 ，确，确定积分常数定积分常数C1C1，C2C2， ，CnCn)0()(ify 几种典型自由项函数相应的特解 例2.1.3：描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t), ,已知已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=u(t)。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。求该系统的全响应，零输入响应和零状态响应。 解解：（：（1）y”(t) + 3

15、y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 利用系数匹配法分析列式得：利用系数匹配法分析列式得： y(t)=a(t) +b，y(t)=a ，y(t)=0 代入原方程得代入原方程得a=2，b=0 20)0()0(22)0()0(yyyy根据微分方程经典求法：根据微分方程经典求法：齐次解：齐次解： 齐次解形式为：齐次解形式为：特解特解, ,根据特解形式得到根据特解形式得到: : 解得解得 B B3 3 解得解得全响应全响应为：为：022ttheCeCty221)(Btyp)(3)(221tteCeCty利用初始值解得：利用初始值解得：全响应为：全响应为： 0121CC3)(2 tety

16、瞬态分量瞬态分量稳态分量稳态分量（2 2）零输入响应零输入响应y yx x(t), (t), 激励为激励为0 0 ， yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=2 yx(0+)= yx(0-)= y(0-)=0根据特征根求得通解为：根据特征根求得通解为：ttxeCeCty221)(4221CC 解得系数为解得系数为 代入得代入得0,42)(2teetyttx（3 3）零状态响应零状态响应y yf f(t(t) ) 满足满足 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6u(t) 利利用系数匹配法解得：用系数匹配法解得：(0 )(0 )22(0 )(0 )00ffffyyyy

17、 对对t0t0时，有时，有 yf”(t) + 3yf(t) + 2yf(t) = 6其齐次解为其齐次解为 其特解为常数其特解为常数 3 3 ，于是有于是有根据初始值求得根据初始值求得: :1214CC tftffheCeCty221)(3)(221tftffeCeCty034)(2teetyttf，自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+ +稳态响应稳态响应(Transient+Steady

18、-state)(Transient+Steady-state)四系统响应划分四系统响应划分相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应有自由响应的一部分和强迫响应构成 。0)34()42()()(3)(222teeeetytyetyttttfxt，自由响应自由响应强迫响应强迫响应零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应H t th一冲激响应一冲激响应 1定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号(t)(t) 作用下产生的作用下产生的零状态响零状态响应应，称为单位冲激响应，简称，称为单位冲激响应，简称冲激响应冲激响应，一般用，一般用h h( (t t) )表表示。示。2.2 冲激响应和阶跃

19、响应 例2.2.1 描述某系统的微分方程为描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应求其冲激响应h(t)。解：根据h(t)的定义有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0， 利用冲激函数匹配法，设： h”(t) =a(t)+b; h(t) =a; h(t) =0 解得：a=1, b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h(0+) =1 + h(0-) = 1 微分方程的特征根为微分方程的特征根为故系统的故系统的冲激响应冲激响应为为代入初始条件求得代入初始条件求得C1=1,C2=-1, , 所以所以3221)()

20、()(3221tueCeCthtt)()()(32tueethtt对对t0t0时，时，h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0，故系统的冲激响应，故系统的冲激响应为齐次解。为齐次解。例2.2.2 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)，求其冲激响应h(t)。解：根据解：根据h(t)的定义有的定义有 h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t) (1) h(0-) = h(0-) = 0先求先求h(0+)和和h(0-)，根据冲激函数匹配法得：，根据冲激函数匹配法得： h”(t) = a”(

21、t) +b (t) +c(t)+ d h(t) = a(t) +b(t) + c h(t) = a(t) + b带入方程求得：带入方程求得： a =1 ，b = - 3，c = 12，d=-42故故 h(0+) = 3， h(0+) =12对对t0时时，有有 h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0微分方程的特征根为微分方程的特征根为故系统的冲激响应为故系统的冲激响应为3221)()()(3221tueCeCthtt所以: h(t) = (t) -3 h(t) = (t) - 3(t) + 12 h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)-42代入初始条件代入初始条件h

22、(0+) = 3， h(0+) =12求得求得C1=3，C2= 6, 所以所以结合式结合式h(t) = (t) + b得得: :)()63()(32tueethtt)()63()()(32tueetthtt 系统的输入系统的输入 e(t)=u(t) e(t)=u(t) ，其响应为，其响应为 r(t)=g(t) r(t)=g(t) 。系统方程。系统方程的右端将包含阶跃函数的右端将包含阶跃函数u(t) u(t) ，所以除了，所以除了齐次解外，还有特解项齐次解外，还有特解项。 我们也可以根据线性时不变系统特性我们也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应跃响应

23、关系求阶跃响应。 二阶跃响应二阶跃响应1 1定义定义 系统在系统在单位阶跃信号单位阶跃信号作用下的作用下的零状态响应零状态响应，称为单位阶跃响称为单位阶跃响应，简称应，简称阶跃响应，阶跃响应，一般用一般用g(t)g(t)表示表示。H tu tgt0t,对因果系统：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的2 2阶跃响应与冲激响应的关系阶跃响应与冲激响应的关系线性时不变系统满足微、积分特性线性时不变系统满足微、积分特性ttd)t ()t (u ttthtgd)()(解：解：s由1转向2后，列写回路方程：R1 i(t)+vc(t)=e(t) vc(t)=L iL(t)+iL(t)R2列写结点方程： i

24、(t)=Cvc(t)+iL(t) 例例2.2.42.2.4电路如图所示，求电流电路如图所示，求电流i(t)对激励对激励e(t)=u(t)的阶跃响的阶跃响应，应，t0时，时，s由由1 1转向转向2 2。整理得到：整理得到：i(t)+7i(t)+10i(t)=e(t)+6e(t)+e(t)阶跃响应满足：阶跃响应满足： )(4)(6)()(10)(7)( tutttgtgtgg(0-)=g(0-)=0 ,得0,)(5221tBeAeAtgtt特解特解B B代入得：代入得： 10B10B4 4，B B2/52/5利用冲激函数匹配法求解初始值，利用冲激函数匹配法求解初始值，所以所以： a=1,b=-1,

25、c=1 a=1,b=-1,c=1 得：得： g(0+)=g(0-)+1=1 g(0+)=g(0-)-1=-1得到：得到： A1+A2+2/5=1 -2A1-5A2=-1 解得：解得： A1=2/3, A2=-1/15得：得： )(5/2)15/1 ()3/2()(52tueetgtt2.3 卷积积分一、信号的时域分解1、任意信号的分解 dtfktkftftfnka)()()()()()(10) 1()()()()(10ktuktukftftfnka )()(dthftyf2、任意信号作用下的零状态响应3、卷积积分（1）定义：已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分

26、21)()(dtfftf tftftf21)( )(*)()()( thtfdthftyf记为 ：任意信号的零状态响应即为：（2）卷积积分的求解例2.3.1求卷积：)()( tutuetdtuuetutuet)()()()( - )0( 10tet)( 11 tuet解：det 0 )(2 )( 16)()(*)()(dtueedthfthtftytf 例例2.3.22.3.2：解：)(),() 16()(),( ,)(2tytuethtetfftt求ttfdeety )(2 16)(ttttteeee322（b）卷积积分的图解：卷积过程可分解为四步：（1）换元： t换为得f1()， f2()

27、（2）反转平移：由f2()反转 f2()右移t f2(t-)（3）乘积： f1() f2(t-)（4）积分： 从到对乘积项积分。 例例2.3.32.3.3 f (t) ,h(t) 如图所示，求yf(t)= h(t) * f (t) 。 解： 例例2.3.42.3.4：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t) = f2(t)* f1(t)，求f(2) . 解： 1221 )2()()()()2(dfftftfy 三、卷积积分的性质1、卷积的代数性质交换律：1(t)2(t)=2(t)1(t)分配律：1(t)2(t)+3(t)=1(t)2(t)+1(t)3(t)结合律：1(t)2(t)3(t)=

28、1(t)2(t)3(t) 2、主要性质：微分性质：) t (f) t (f) t (f) t (f) t (f2121)()()()()(2) 1(1) 1(21) 1(tftftftftf积分性质：)()()()()()1(212)1(1tftftftftf微积分性质：注：应用(1),(3) 性质的条件是)()(11tfdft必须成立0)()(lim11ftft即必须有； 否则不能应用。)t (f)t (f)t (f)t (f)t (f)t (f)t (f)t (f)t (f)t (f)1(2121)ji(2)j(1)i(21特例：若f(tf(t) )与阶跃函数的卷积：与阶跃函数的卷积：df

29、tutft)()()(f(tf(t) )与冲激函数的卷积：与冲激函数的卷积： (t)(t)=f(t) (t)(t-t0)= (t-t0) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2) (t-t1)(t-t2)= (t-t1-t2)f(tf(t) )与冲激偶函数的卷积：与冲激偶函数的卷积： (t)(t)= f(t)(t)= (t) (t)(t)=(t)dfdtfttutfttt)()()()(000时移性质若1(t)2(t)=(t)，则有1(t-t1)2(t-t2)=(t-t1-t2) 利用卷积积分的性质来计算卷积积分， 可使卷积积分的计算大大简化， 下面举例说明。 例例 2.3.62.3.6

30、 计算下列卷积积分： )2()1()2()2()1()1(tttututu解解 ：(1) 先计算u(t)*u(t)。因为u(-)=0，故可应用卷积运算的微积分性质求得 根据时移特性得)()()(ttututu) 1() 1()2() 1(tuttutu (2) 利用卷积运算的分配律和时移性质， 可将给定的卷积计算式表示为 )()( )*()()(ttttutttu)3()3( )2() 1(tttttu3)()()()()2() 1() 1()2() 1()2()1() 1() 1()2() 1(tttttuttuttutttuttuttutttu)( )( *)( )( )(tttuttu 例例2.3.72.3.7： 解：通常复杂函数放前面，代入定义式得 )(*)(),()(, 1)(2121tftftuetftft求1)()(*)(0012ededuetftf注意：套用显然是错误的。0)(*0)(*)( )(*)()1(2)1(2121tftftftftf 例例2.3.82.3.8求图所示两函数的卷积积分。 ttfdftftfty)()()()()(2121 解：解：ttttde0) 3() 1(3)(22=)3()