材料力学弯曲位移

1、 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。加工精度，甚至会出现废品。工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题 桥式起重机的横梁变形过大桥式起重机的横梁变形过大, ,则会使小车行走困难，则会使小车行走困难，出现爬坡现象。出现爬坡现象。因此在工程中，常常要对梁的变形加以控制因此在工程中，常常要对梁的变形加以控制 但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。的弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解例

2、如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。车辆受到的冲击和振动作用。P2P2P计算变形与位移的目的：计算变形与位移的目的：刚度校核、满足工程要求、解超静定梁。刚度校核、满足工程要求、解超静定梁。 挠曲线挠曲线挠曲线挠曲线1.梁的梁的挠曲线挠曲线：梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线梁轴线变形后所形成的光滑连续的曲线。6.1 6.1 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程 积分法求梁的位移积分法求梁的位移BAB1Fxq qq qwyx 2.梁位移的度量：梁位移的度量：挠度挠度：梁横截面形心的竖向位移：梁横截面形心的竖向位移w，向上的挠度为正，向上的挠度为正转角转

3、角：梁横截面绕中性轴转动的角度：梁横截面绕中性轴转动的角度q q，逆时针转动为正，逆时针转动为正挠曲线方程挠曲线方程：挠度作为轴线坐标的函数：挠度作为轴线坐标的函数 w=f(x) 转角方程转角方程(小变形下小变形下)：转角与挠度的关系：转角与挠度的关系)( ddtanxfxwqq图中图中q q与与w的正负？的正负？一、梁的挠曲线一、梁的挠曲线 3 3、约束对位移的影响、约束对位移的影响没有约束无法确定位移没有约束无法确定位移连续光滑曲线，铰支座对位移连续光滑曲线，铰支座对位移的限制的限制0AByy连续光滑曲线，固定端对位移连续光滑曲线，固定端对位移的限制的限制0,0BByqPC光滑连续条件：光

4、滑连续条件：ccqqccyy二、挠曲线近似微分方程二、挠曲线近似微分方程EIxMx)()(11.力学关系力学关系：2.几何关系几何关系：2321)(1wwx 3.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程：EIxMw)( yxMM00 wM，00 wM，yxMMw 略去高阶微分)(xMwEI 三、积分法求梁的挠曲线三、积分法求梁的挠曲线 转角方程；积分一次qEICdxxMEIw1)(2.支承条件与连续条件支承条件与连续条件: )(xMwEI 1.式中式中C1、C2为积分常数，由梁边界、连续条件确定。为积分常数，由梁边界、连续条件确定。 1) 支承条件：支承条件： 2) 连续条件：连续条件：挠曲线是光

5、滑连续唯一的挠曲线是光滑连续唯一的CxCxCxCxww|qq，y0wy0wy0; 0wwl lylwFABC挠曲线方程。再积分一次 21)(CxCdxdxxMEIwq qmaxfmax213212622)()(CxCFxFLxEIwCFxFlxEIwxlFxMEIw次：列挠曲线方程并积分两00|00| 2010CwCwxx，得：；，得：数：由边界条件决定积分常)3(6)2(22xlEIFxwxlEIFxwq为：转角和挠曲线方程分别EIFLwfEIFLBB323max2maxqq解：建立坐标系如图解：建立坐标系如图x处弯矩方程为：处弯矩方程为： 例例1 图示图示B端作用集中力端作用集中力P的悬臂

6、梁，求其挠曲线方程。的悬臂梁，求其挠曲线方程。 yxFBAlx)()(xlFxM例例2 求图示梁受集中力求图示梁受集中力F作用时的挠曲线方程。作用时的挠曲线方程。 FabClABxFAFB解：解： 1、求支反力、求支反力lFaFlFbFBA；xlFbEIw 122ClFbxEIw)0(axAC段)(lxaCB段xlFbaxFEIw)(2222)(2ClFbxaxFEIw1136DxClFbxEIw22336)(6DxClFbxaxFEIw)(60; 000;2221212121bllFbCCwlxDDwxDDwwCCwwax，得处，得处，则，则时，)3(6222xblEIlFbw)(31)(2

7、2222blxaxblEIlFw)(6222xblEIlFbxw)()(62233xblxaxblEIlFw)0(axAC段)(lxaCB段 在材料服从胡克定律、且变形很小的前在材料服从胡克定律、且变形很小的前提下提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。载荷与它所引起的变形成线性关系。 当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。所引起的变形是各自独立的，互不影响。若计算几个载荷共同作用下在某截面上引若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各个载荷单独作起的变形，则可分别计算各个载荷单独作用下的变形，然后叠加。用下的变

8、形，然后叠加。 6.2 6.2 叠加法求梁的位移叠加法求梁的位移例：例：用叠加法求用叠加法求CABfqq、Cw解：解：Cf53844qlEIPlEI348mlEI216qAqlEI324PlEI216mlEI3qBqlEI324PlEI216将梁上的各载荷分别引起的位移叠加将梁上的各载荷分别引起的位移叠加 （ ）（ ） （ ） EIml6Cw 几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等几个荷载共同作用下梁任意横截面上的位移，等于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。于每个荷载单独作用时该截面的位移的叠加。 逐段刚化法：逐段刚化法：变形后：变形后：AB AB BC BC变形后变形后ABAB部部分

9、为曲线，分为曲线，但但BCBC部分仍部分仍为直线。为直线。C点的位移为：点的位移为：w wc c2LwwwwBBcBcq例：例：求外伸梁求外伸梁C C点的位移。点的位移。LaCABP解：解：将梁各部分分别将梁各部分分别引起的位移叠加引起的位移叠加ABCP刚化EI=PCwC11、BC部分引起的位移部分引起的位移wc1、c1c1313cpawEI EIpac221q2、AB部分引起的位移部分引起的位移wC2、 C2CABP刚化EI=wC2B2PPaB223BPaLEIq LaEIPawwwCCC3221)23(621LaEIpaCCCqqqaEIPaLafBc322q2CwaEIPaL3例例 如图

10、所示悬臂梁，其抗弯刚度如图所示悬臂梁，其抗弯刚度EIEI为常数，求为常数，求B点转角点转角和挠度。和挠度。FBA2/ l2/ lqCwBqwCqq qBFwBPFBABAqC1.在在F作用下：作用下：EIFlwEIFlBFBF3,232q查表：2.在在q作用下：作用下：EIqlEIlqwEIqlEIlqCqCq1288)2/(486)2/(4433q查表：EIqllwwEIqlCqCqBqCqBq384724843qqqBqBFBBqBFBwwwqqq3.在在F和和q共同作用下：共同作用下：例例; ;试用叠加法求图试用叠加法求图(a)(a)所示梁跨中截面所示梁跨中截面(B(B截面截面) )的挠

11、度。的挠度。解解:表中没有要求的挠度公式，但仍可利用表中的有关公式。表中没有要求的挠度公式，但仍可利用表中的有关公式。 比较图比较图(a),(b),(c)三者跨中的挠度值。显然，图三者跨中的挠度值。显然，图(a)和图和图(b)跨中的挠度值跨中的挠度值相等，而图相等，而图(a)和图和图(b)两种情况相叠加就是图两种情况相叠加就是图(c)之情况，因而有之情况，因而有由图(c)查得wB，为所以图(a)所示梁跨中挠度值为例例; ;试用叠加法求图试用叠加法求图(a)(a)所示梁跨中截面所示梁跨中截面(B(B截面截面) )的挠度。的挠度。与上题类似，图与上题类似，图 ( a）所示梁跨中的挠度亦为）所示梁跨

12、中的挠度亦为例例 叠加法求图叠加法求图(a)(a)所示梁所示梁C C截面的挠度。截面的挠度。 解解: :没有外伸梁的计算公式没有外伸梁的计算公式, , 利利用表中的用表中的悬臂梁悬臂梁和和简支梁简支梁的有关的有关公式计算。公式计算。 外伸梁在外伸梁在q q作用下的挠曲线如图作用下的挠曲线如图(a)(a)中虚线所示，支座中虚线所示，支座B B处挠度等处挠度等于零、转角不等于零。于零、转角不等于零。 1 1、将梁的、将梁的BCBC段视为段视为B B端为固定端为固定端的悬臂梁端的悬臂梁(b),(b),此梁在此梁在q q作用下作用下C C截面的挠度为截面的挠度为y yC1C1。 2 2、外伸梁的、外伸

13、梁的B B截面并非固定不动，而要产生转角截面并非固定不动，而要产生转角q qB B，截面的转动对截面的转动对BCBC段位移段位移的影响，相当于使的影响，相当于使BCBC段绕段绕B B点刚性转动，此时点刚性转动，此时C C截面的竖向位移为截面的竖向位移为y yC2C2（图（图c c），），因因q qB B 很小，很小，y yC2C2=a=aq qB B。将图。将图(b)(b)和和(c)(c)所示的所示的y yC1C1与与y yC2C2叠加就是外伸梁叠加就是外伸梁c c截面的截面的挠度，即挠度，即 3 3、q qB B是外伸梁是外伸梁( (图图a)Ba)B截面的转角，截面的转角，求求q qB可利用

14、图可利用图(d)(d)所示的等效力系，所示的等效力系，即将即将BCBC段上段上q q的合力的合力qaqa平移到平移到B B处并附处并附加一力矩加一力矩m m= =0.5qa0.5qa2 2 4 4、由图、由图(d)(d)所示简支梁求得所示简支梁求得B B截面截面的转角就是外伸梁的转角就是外伸梁B B截面的转角。在截面的转角。在图图(d)(d)中，中，qaqa作用在梁的支座上，它作用在梁的支座上，它不引起梁的变形，仅不引起梁的变形，仅m m和和q q使梁变形。使梁变形。在在m m和和q q单独作用下单独作用下( (图图(e),(f)B(e),(f)B截面截面的转角的转角q qB1和和q qB2分

15、别查得为分别查得为5 5、注意到、注意到q qB2B2为负值为负值( (图图(f)(f)。在在m m，q q共同作用下共同作用下B B截面的转角为截面的转角为外伸梁外伸梁C C截面的挠度为截面的挠度为 (1)叠加法求位移虽然比较简便、快速，但具体运用时，往叠加法求位移虽然比较简便、快速，但具体运用时，往往需经过分析、处理及运用等效力系后，才能利用表中的往需经过分析、处理及运用等效力系后，才能利用表中的公式，比较灵活。通过上面各例题，着重理解一些分析和公式，比较灵活。通过上面各例题，着重理解一些分析和处理方法以及对等效力系的正确运用。处理方法以及对等效力系的正确运用。 (2)叠加法中的叠加是代数

16、相加，在求若干荷载共同作用下叠加法中的叠加是代数相加，在求若干荷载共同作用下的转角和挠度时，应注意每项的正、负。的转角和挠度时，应注意每项的正、负。 (3)教材里表中所列公式不必强记，考试时，一般都是给出教材里表中所列公式不必强记，考试时，一般都是给出所需的有关公式。所需的有关公式。几点注意几点注意一、梁的刚度校核一、梁的刚度校核 除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其除满足强度条件外，梁的位移也需加以控制，从而保证其正常工作。正常工作。 在工程中，通常对梁在工程中，通常对梁的的挠度挠度加以控制，例如：加以控制，例如：100012501lw梁的梁的刚度条件刚度条件为：为： qqma

17、xmaxlwlw通常情况通常情况下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。下，强度条件满足，刚度条件一般也满足。 但是，但是，当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄当位移限制很严，或按强度条件所选截面过于单薄时，刚度条件也起控制作用。时，刚度条件也起控制作用。6.36.3 梁的刚度校核梁的刚度校核 提高梁的刚度措施提高梁的刚度措施 1000250llw 或 qqmaxww 例例 一简支梁受载如图示，已知许用应力一简支梁受载如图示，已知许用应力160 MPa，许用挠度，许用挠度w=l /500，弹性模量，弹性模量E=200GPa，试选择工字钢型号。，试选择工字钢型号。 解：解： 1、作出梁的弯

18、矩图、作出梁的弯矩图2、根据弯曲正应力强度条件，要求、根据弯曲正应力强度条件，要求3、梁的刚度条件为：、梁的刚度条件为：由此得由此得 由型钢表中查得，由型钢表中查得，NO.22a工字钢的抗弯截面系数工字钢的抗弯截面系数Wz3.09xl0-4m3 ，惯，惯性矩性矩Iz=3.40 x10-5m4，可见选择，可见选择NO.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。要求。mN10354410354：得33maxFlM 3463maxm1019. 2101601035MWz500483lEIFlz459232m1092. 210200484103550048500EFlIz

19、F=35kN2mAB2ml=4mM4/Fl二、提高梁的刚度措施二、提高梁的刚度措施 2.调整跨长和改变结构；调整跨长和改变结构；缩短跨长：缩短跨长：如如将简支梁改为外伸将简支梁改为外伸梁；或增加支座等。梁；或增加支座等。 1.增大梁的抗弯刚度增大梁的抗弯刚度 EI；主要增大主要增大I值，在截面面积不变值，在截面面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。的地方。例如例如：工字形、箱形等。工字形、箱形等。EIlwnqlABqlABqABALBq6.4 6.4 简单超静定梁的解法简单超静定梁的解法 用用“多余多余”反力反力

20、代替代替“多余多余”约束，约束，就得到一个形式上的就得到一个形式上的静定梁，该梁称为原静定梁，该梁称为原超静定梁的超静定梁的基本静定基本静定系系。基本静定系基本静定系 可不止一个可不止一个 也叫做原超静定梁的也叫做原超静定梁的梁的相当系统梁的相当系统例：例：求图示静不定梁的支反力。求图示静不定梁的支反力。 解法一：解法一：将支座将支座B看成多余约束，变看成多余约束，变形协调条件为：形协调条件为：0Bw 即R lEIqlEIB34380RqlB38 解法二解法二：将支座：将支座A对对截面转动的约束看成多截面转动的约束看成多余约束，变形协调条件余约束，变形协调条件为：为：qA 0即M lEIqlE

21、IA32403MqlA182例：例：为了提高悬臂梁为了提高悬臂梁AB的强度和刚度，的强度和刚度， 用短梁用短梁CD加固。设二梁加固。设二梁EI相同，试求相同，试求 (1) 二梁接触处的压力；二梁接触处的压力； (2) 加固前后加固前后AB梁最大弯矩的比值；梁最大弯矩的比值； (3) 加固前后加固前后B点挠度的比值。点挠度的比值。解：解：(1)变形协调条件为：变形协调条件为：DDABCDff即5633333PaEIR aEIR aEIDD54DRP(2)(3)自行完成自行完成例：例：梁梁ABC由由AB、BC两段组成，两段两段组成，两段梁的梁的EI相同。试绘制剪力图与弯矩图。相同。试绘制剪力图与弯

22、矩图。解：解：变形协调条件为：变形协调条件为：BBABBCff334833BBR aR aqaEIEIEI即316BRqa其余自行完成！自行完成！例：例：图示结构图示结构ABAB梁的抗弯刚度为梁的抗弯刚度为EIEI，CDCD杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为EAEA，已知，已知P P、L L、a a。求求CDCD杆所受的拉力。杆所受的拉力。PABCDa2L2L解：解：变形协调条件为：变形协调条件为：DaCPABC2L2LCRCDClf3()48CCRaPRLEAEI3348CA LRPA LI a强度计算和刚度计算小结强度计算和刚度计算小结强度及刚度校核强度及刚度校核VW纯弯曲：纯弯曲：横力弯曲：横力弯曲：2( )d2( )lMxVxEI x12mq12mmlEIm lEIM lEI22226.56.5 梁