《概率论》第2章§4连续型随机变量及其密度函数

1、第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布1 1/26/26XmR 2 的分布函数的分布函数.XX2 0 , 0,( ),02,4/ 1 , 2xxF xxx)(xFyO1231x,02,2( )0,ttf t ( )xf t dt第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2 2/26/26r.v X( )( ) , xF xf t dtx ( )0,f t X( )f t第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随

2、机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布3 3/26/26( )0f t ( )1f t dt211221()()( )xxP xXxF xF xf x dx12 xx( )f x( )( )f xFxyxO( )fx12 xxx( )fxyO12P xXx x( )f x0()( )( )limxF xxF xf xx 0limxP xXxxx x( )P xXxxf xx xxxxO( )fxyP xXxx 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其

3、分布4 4/26/26501000PX r.v X2,100( ) 0 ,100kxxf xx 1( )f x dx2100kdxx100k 100k , kX( )F x( )( )xF xf t dt2100100,100 0 , 100 xdt xtx1001,100 0 , 100 xxxX100050501000( )PXf x dx10002100dxx50100911100()100100010第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布5 5/26/26 X. ,r v cP XcP aX

4、bP aXbP aXbP aXb X. ,r v cXc说说 明明 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义；我们所关心的是它在某一区间上取值的问题我们所关心的是它在某一区间上取值的问题 ，的密度函数为的密度函数为若已知连续型随机变量若已知连续型随机变量xfX取取值值的的概概率率为为，也也可可以以是是无无穷穷区区间间）上上间间；可可以以是是有有限限区区间间，闭闭区区间间，或或半半开开半半闭闭区区也也可可以以是是可可以以是是开开区区间间（在在任任意意区区间间则则,GGX Gdxx

5、fGXP 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布此公式非常重要！此公式非常重要！退 出前一页后一页目 录例例 1 1设设 X 是连续型随机变量，其密度函数为是连续型随机变量，其密度函数为 其其它它020242xxxcxf解：解： 由密度函数的性质由密度函数的性质；常常数数求求：c 1 XP 1 dxxf第二章 随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录 dxxf1得得 20224dxxxc2032322 xxcc38 83 c所所以以， 1 XP GdxxfGXP 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布 2122483dxxx213232283 xx21 1dxxf退 出

6、前一页后一页目 录例例 2某电子元件的寿命某电子元件的寿命 X（单位：小时）是以（单位：小时）是以 10010010002xxxxf为密度函数的连续型随机变量求为密度函数的连续型随机变量求 5 个同类型的元个同类型的元件在使用的前件在使用的前 150 小时内恰有小时内恰有 2 个需要更换的概率个需要更换的概率.解：解： 设设 A= 某元件在使用的前某元件在使用的前 150 小时内需要更换小时内需要更换 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录例例 2（续）（续） 150 XPAP则则检验检验 5 个元件的使用寿命可以看作是在做一个个元件的使用寿命可以看作是在做

7、一个5重重Bernoulli试验试验设设 Y 表示表示5 个元件中使用寿命不超过个元件中使用寿命不超过150小时小时 的元的元件数，件数， 150dxxf 1501002100dxx31 32253231 C24380 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布).3/1, 5( BY则则故所求概率为故所求概率为2 YP退 出前一页后一页目 录例例 3的的密密度度函函数数为为设设随随机机变变量量 X 其它其它021210 xxxxxf的的分分布布函函数数试试求求 X解解： xdttfxFx时，时，当当00 xdttfxFx时时，当当10 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分

8、布退 出前一页后一页目 录 xtdt022x xdttfxFx时，时，当当21 xdttfdttfdttf1100 xdtttdt110212212 xx退 出前一页后一页目 录例例 3（续）（续） xdttfxFx时，时，当当2 xdttfdttfdttfdttf221100120121tdtt dt 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录例例 3（续）（续）的的分分布布函函数数量量综综上上所所述述，可可得得随随机机变变X xxxxxxxxF21211221020022 4连续型随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布退 出前一页后一页目 录第二章第二章

9、第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布1515/26/26r.v XX( , )a b( , )XU a b ( )0f x , ( )badxf x dxba1( )f x( )f xOyx1b a ab ( ,)( , )c cLa bcLcdxP cXcLba1 ()LkLkbaba X( ,)c cLr.v X( , )a b1,( ) 0 ,axbbaf x第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布1616/2

10、6/26,2XlXX2lXX(0,2 )Ul22XllXllXX/23 /2lXl /23 /2P lXl3 / 2/ 212lldxl12X2lXl第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布1717/26/261,0( ) 0 , 0 xexf xxr.v XX0( )XEXP ( )0f x 01xedx( )f x( )f x1Ox( )fx0 te dt1, ( )f x dxX( )( )xF xf t dt01,0 0 , 0txedt xx1,0 0 , 0 xexxxO 1( ) xF第

11、二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布1818/26/261,0( ) 0 , 0 xexf xx1, 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布1919/26/26( ), 0,0XEXPst|P Xst Xs,P Xst XsP XsP XstP Xs1/1/xs txsedxedx()/s tsee/ te/1(1)te 1( )F tP Xt第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量

12、及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2020/26/2622()21( ),2xf xex r.v XX,0, 2( ,) 2( ,)XN ( )0f x 22()21( )2xf x dxedx22()21()2xxed2212tedt1212( )f x第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2121/26/2622()21( )2xf xe()()fxfx( )yf xxx,( )fxx,( )0,( )fxf x ( )f xx1( )2flim( )lim

13、( )0 xxf xf x( )yf xOx12xO( )f x2( )( )xfxf x 0,( )f xx2, : : : : 10.51.5第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2222/26/26第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2323/26/26人物介绍人物介绍第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其

14、分布2424/26/26Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2525/26/26( ) x222211( ), ( )22txxxexedt20,1(0,1)XNxxxO( )x( )x()x()1( )xx 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2626/26/262( ,) , (0,1)XNXN 2( ,),XN (

15、0,1)XZN( )ZFzP ZzZ XPzP Xz2()2212tzedt2212uzedu( ) z (0,1)ZN2( ,)XN ,tu:tz :uz 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2727/26/262( ,),XN 22 33 PXPXPX()/(0,1)XN PX 11XP (1)( 1) 2(1)10.682622 PX 22XP2(2)10.954433 PX 33XP 2(3)10.99740.68260.95440.9974%26.6822%44.9533%74.99(3

16、 ,3 ) 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2828/26/2642( ,(0.2) ). 4XN6.8 , 6.7 , 7.1 , 8.6.(6.86.77.18.6)/47.33|8.6|8.67.33|1.270.633第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布2929/26/26, 1,2,kkpP Xxk12( ), ,p xP Xxxxx( ), f x dxP xXxdxx ( )p x( )f x dxr.v X( )f xr.v X1( )()1, ( )1kxkp xp xf x dx ( )( ) p xf x dx ( )( ) xp xf xdx( )f x 第二章第二章第二章第二章第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随