平移、旋转经典

1、平移、旋转经典2015.05.05一选择题（共1小题）1（2012深圳模拟）如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连接MN，则AMN的周长为（） A5B6C7D8二填空题（共2小题）2已知：等边ABC内有一点P，且PC=2，PA=4，PB=，则AB=3（2014秋闽侯县校级月考）如图，P是正三角形ABC内一点，PA=5，PB=12，PC=13，若三角形PAC绕点A逆时针旋转后，得到三角形PAB，则APB=三解答题（共8小题）4（2014秋汉阳区期末）四边形ABCD是由等边AB

2、C和顶角为120°的等腰ABD拼成，将一个60°角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N交直线AB于E、F两点，（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系；（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长5（2014牡丹江二模）四边形ADBC是由等边ABC和顶角为120°的等腰ABD拼成，将一个60°角顶点放在点D处，60°角两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线

3、AB于F、E两点（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），试问 2AE、BM、AC三者之间有怎样的数量关系？（提示连接CD）请证明你的结论（2）当E、F分别在射线AB、BA上时，（如图2、图3），2AE、BM、AC三者之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论（3）如图3，连接MN，若AB=8，MN=16，AN=2，则AE=6（2014秋盐城校级月考）如图，O是ABC中ABC平分线上的一点，过O作BC的平行线与AB、AC分别交于M、N两点，且有MN=BM+CN，连结CO求证：CO平分ACB7如图，ABC中，O是BC的中点，D是BAC平分线上一点，且DOBC，过点D分别作DMAB于M，DNAC于N求

4、证： （1）BM=CN；（2）AB+AC=2AM8（2014汕头）如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，BC=10cm，AD=8cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t0）（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，

5、请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由9（2014春海盐县校级期末）如图，已知点P是等边ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数 10在ABC中，AB=AC，BAC=30°，点P为ABC内一点，PA=2，PB=，PC=1求APB的度数 11已知：ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3，PB=4，PC=5求：APB的度数（初二）平移、旋转经典2015.05.05一选择题（共1小题）1（2012深圳模拟）如图，ABC是边长为3的等边三角形，BDC是等腰三角形，且BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于M交AC于点N，连

6、接MN，则AMN的周长为（） A5B6C7D8考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有专题：压轴题分析：要求AMN的周长，根据题目已知条件无法求出三条边的长，只能把三条边长用其它已知边长来表示，所以需要作辅助线，延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明BDFCND，及DMNDMF，从而得出MN=MF，AMN的周长等于AB+AC的长解答：解：BDC是等腰三角形，且BDC=120°，BCD=DBC=30°，ABC是边长为3的等边三角形，ABC=BAC=BCA=60°，DBA=DCA=90°，延长AB至F，使BF=CN，连

7、接DF，在BDF和CND中，BDFCND（SAS），BDF=CDN，DF=DN，MDN=60°，BDM+CDN=60°，BDM+BDF=60°，在DMN和DMF中，DMNDMF（SAS）MN=MF，AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6故选B二填空题（共2小题）2已知：等边ABC内有一点P，且PC=2，PA=4，PB=，则AB= 考点：等边三角形的性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质菁优网版权所有专题：综合题；压轴题分析：将BPC绕点B逆时针旋转60°得BDA，DBP=60°，BD=BP=，可得BDP是等边三角形

8、，由AD=CP=2，PA=4，根据勾股定理的逆定理可得ADP是直角三角形，作BFAF，在直角BFD中，可得BF=，DF=3，所以，在直角AFB中，AF=5，BF=，即可求出AB的长；解答：解：将BPC绕点B逆时针旋转60°得BDA，DBP=60°，BD=BP=，BDP是等边三角形，DP=，又AD=CP=2，AP=4，AD2+PD2=AP2，ADP是直角三角形，作BFAF，FDB=90°BDP=30°，在直角BFD中，BF=，DF=3，AF=5，在直角AFB中，AB2=AF2+BF2，即AB2=25+3，AB=； 故答案为：3（2014秋闽侯县校级月考）如

9、图，P是正三角形ABC内一点，PA=5，PB=12，PC=13，若三角形PAC绕点A逆时针旋转后，得到三角形PAB，则APB=150° 考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理菁优网版权所有专题：计算题分析：连结PP，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，BAC=60°，再根据旋转的性质得PAP=CAB=60°，AP=AP=5，PC=PB=13，则可判断APP为等边三角形，得到APP=60°，PP=AP=5，在BPP中运用勾股定理的逆定理可证明BPP为直角三角形，BPP=90°，然后根据APB=APP+BPP进行计算即可解答

10、：解：连结PP，如图，ABC为等边三角形，AB=AC，BAC=60°，PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，PAP=CAB=60°，AP=AP=5，PC=PB=13，APP为等边三角形，APP=60°，PP=AP=5，在BPP中，PP=5，PB=13，BP=12，BP2+PP2=BP2，BPP为直角三角形，BPP=90°，APB=APP+BPP=60°+90°=150° 故答案为150°三解答题（共8小题）4（2014秋汉阳区期末）四边形ABCD是由等边ABC和顶角为120°的等腰ABD拼成，将一个60&

11、#176;角顶点放在D处，将60°角绕D点旋转，该60°角两边分别交直线BC、AC于M、N交直线AB于E、F两点，（1）当E、F分别在边AB上时（如图1），求证：BM+AN=MN；（2）当E、F分别在边BA的延长线上时如图2，求线段BM、AN、MN之间又有怎样的数量关系MN=BMAN；（3）在（1）的条件下，若AC=5，AE=1，求BM的长考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有专题：几何综合题分析：（1）把DBM绕点D逆时针旋转120°得到DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，ADQ=BDM，然后求出QDN=MDN，利用“边角边”证

12、明MND和QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；（2）把DAN绕点D顺时针旋转120°得到DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据DAN=DBP=90°可知点P在BM上，然后求出MDP=60°，然后利用“边角边”证明MND和MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；（3）过点M作MHAC交AB于G，交DN于H，可以证明BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得QND=MND，再根据两直线平行，内错角相等可得QND=MHN，然后求出MN

13、D=MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明ANE和GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=ABAEGE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长解答：（1）证明：把DBM绕点D逆时针旋转120°得到DAQ，则DM=DQ，AQ=BM，ADQ=BDM，QDN=ADQ+ADN=BDM+ADN=ABDMDN=120°60°=60°，QDN=MDN=60°，在MND和QND中，MNDQND（SAS），MN=QN，QN=AQ+AN=BM+AN，BM+AN=MN；（2）MN+AN=BM理由如

14、下：如图，把DAN绕点D顺时针旋转120°得到DBP，则DN=DP，AN=BP，DAN=DBP=90°，点P在BM上，MDP=ADBADMBDP=120°ADMADN=120°MDN=120°60°=60°，MDP=MDN=60°，在MND和MPD中，MNDMPD（SAS），MN=MP，BM=MP+BP，MN+AN=BM；（3）如图，过点M作MHAC交AB于G，交DN于H，ABC是等边三角形，BMG是等边三角形，BM=MG=BG，根据（1）MNDQND可得QND=MND，根据MHAC可得QND=MHN，MND=MH

15、N，MN=MH，GH=MHMG=MNBM=AN，即AN=GH，在ANE和GHE中，ANEGHE（AAS），AE=EG=1，AC=5，AB=AC=5，BG=ABAEEG=511=3，BM=BG=3点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点5（2014牡丹江二模）四边形ADBC是由等边ABC和顶角为120°的等腰ABD拼成，将一个60°角顶点放在点D处，60°角两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于F、E两点（1）当

16、E、F分别在边AB上时（如图1），试问 2AE、BM、AC三者之间有怎样的数量关系？（提示连接CD）请证明你的结论（2）当E、F分别在射线AB、BA上时，（如图2、图3），2AE、BM、AC三者之间又有怎样的数量关系，请直接写出结论（3）如图3，连接MN，若AB=8，MN=16，AN=2，则AE=5考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质菁优网版权所有分析：（1）连接CD，根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线可得CD垂直平分AB，再根据等腰三角形和等边三角形的对称性求出BCD=30°，根据等腰三角形两底角相等求出BAD=30°，从而得到BCD=B

17、AD，再求出ADE=DEM，然后根据两角对应相等两三角形相似求出ADE和CDM相似，根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解；（2）与（1）求解思路相同；（3）把ADN绕点D顺时针旋转120°得到BDH，根据DAN=DBC=90°判断出点H在BC上，再求出MDN=MDH，然后利用“边角边”证明MDN和MDH全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MH，然后求出CM，再根据AE=CM求解即可解答：解：（1）如图1，连接CD，ABC是等边三角形，ABD是等腰三角形，AC=BC，AD=BD，CD垂直平分AB，ACD=BCD=×60°=30°，ADB

18、=120°，BAD=（180°120°）=30°，BCD=BAD，ADE+CDN=CDM+CDN=60°，ADE=CDM，在ADE和CDM中，ADECDM，=，CAD=BAC+BAD=60°+30°=90°，ACD=30°，CD=2AD，AE=CM=（BCBM）=（ACBM），2AE+BM=AC；（2）同理可求BCD=BAD=30°，ADE=ADC+CDN=60°+CDN，CDM=MDN+CDN=60°+CDN，ADE=CDM，在ADE和CDM中，ADECDM，=，CAD=B

19、AC+BAD=60°+30°=90°，ACD=30°，CD=2AD，AE=CM=（BC+BM）=（AC+BM），2AE=BM+AC；（3）如图3，把ADN绕点D顺时针旋转120°得到BDH，DAN=DBC=60°+30°=90°，点H在BC上，DN=DH，MDH=120°MDN=120°60°=60°，MDN=MDH，在MDN和MDH中，MDNMDH（SAS），MN=MH，CM=MHCH=MN（BCBH）=16（82）=10，AE=CM=×10=5故答案为：5 点评

20、：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，（1）（2）求出相似三角形是解题的关键，（3）作辅助线构造出全等三角形并求出CM的长度是解题的关键6（2014秋盐城校级月考）如图，O是ABC中ABC平分线上的一点，过O作BC的平行线与AB、AC分别交于M、N两点，且有MN=BM+CN，连结CO求证：CO平分ACB考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：由BO平分ABC，MNBC，可得1=3，4=5，由1=3可得BM=OM，由MN=BM+CN，MN=MO+NO，可得CN=ON，所以4=6，进而得到5=6所以CO平分ACB解答：

21、证明：如图，BO平分ABC，1=2，MNBC，2=3，4=5，1=3，BM=MO，MN=BM+CN，MN=MO+NO，ON=NC，4=6，5=6，CO平分ACB点评：此题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质与判定是解本题的关键7如图，ABC中，O是BC的中点，D是BAC平分线上一点，且DOBC，过点D分别作DMAB于M，DNAC于N求证：（1）BM=CN；（2）AB+AC=2AM 考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质菁优网版权所有专题：证明题分析：（1）根据O是BC的中点，DOBC，可知OD是BC的垂直平分线，那么BD=CD，而AD是BAC的平分线，

22、DMAB，DNAC，根据角平分线的性质可得DM=DN，再根据HL可判定RtBMDRtCND，从而有BM=CN（2）根据HL证出RtAMDRtAND，推出AM=AN即可解答：证明：（1）连接BD，CD，如图，O是BC的中点，DOBC，OD是BC的垂直平分线，BD=CD，AD是BAC的平分线，DMAB，DNAC，DM=DN，在RtBMD和RtCND中，RtBMDRtCND（HL），BM=CN；（2）DMAB，DNAC，AMD=N=90°，在RtAMD和RtAND中，RtAMDRtAND（HL），AM=AN=AC+CN=AC+MB，AB+AC=AM+MB+ANCN=AM+AN=2AM8（2

23、014汕头）如图，在ABC中，AB=AC，ADBC于点D，BC=10cm，AD=8cm点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t0）（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的PEF的面积存在最大值，当PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由考点：相似形综

24、合题菁优网版权所有专题：几何综合题；压轴题；动点型分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示又EFAD，EF为AD的垂直平分线，AE=DE，AF=DFAB=AC，ADBC于点D，ADBC，B=CEFBC，AEF=B，AFE=C，AEF=AFE，AE=AF，AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形（2）解：如答图2所示，由（1）知EFBC，AEFABC，即，解得：EF=10tSPE

25、F=EFDH=（10t）2t=t2+10t=（t2）2+10（0t3），当t=2秒时，SPEF存在最大值，最大值为10，此时BP=3t=6（3）解：存在理由如下：若点E为直角顶点，如答图3所示，此时PEAD，PE=DH=2t，BP=3tPEAD，即，此比例式不成立，故此种情形不存在；若点F为直角顶点，如答图3所示，此时PFAD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=103tPFAD，即，解得t=；若点P为直角顶点，如答图3所示过点E作EMBC于点M，过点F作FNBC于点N，则EM=FN=DH=2t，EMFNADEMAD，即，解得BM=t，PM=BPBM=3tt=t在RtEMP中，由勾股定理得：P

26、E2=EM2+PM2=（2t）2+（t）2=t2FNAD，即，解得CN=t，PN=BCBPCN=103tt=10t在RtFNP中，由勾股定理得：PF2=FN2+PN2=（2t）2+（10t）2=t285t+100在RtPEF中，由勾股定理得：EF2=PE2+PF2，即：（10t）2=（t2）+（t285t+100）化简得：t235t=0，解得：t=或t=0（舍去）t=综上所述，当t=秒或t=秒时，PEF为直角三角形点评：本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值；第（3）问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知

27、识点，重点考查了分类讨论的数学思想9（2014春海盐县校级期末）如图，已知点P是等边ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度数 考点：旋转的性质；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理菁优网版权所有分析：将BPC绕点B逆时针旋转60°得BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，则BPE为等边三角形，得到PE=PB=4，BPE=60°，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到APE为直角三角形，且APE=90°，即可得到APB的度数解答：解：ABC为等边三角形，BA=BC，可将BPC绕点

28、B逆时针旋转60°得BEA，连EP，如图，BE=BP=4，AE=PC=5，PBE=60°，BPE为等边三角形，PE=PB=4，BPE=60°，在AEP中，AE=5，AP=3，PE=4，AE2=PE2+PA2，APE为直角三角形，且APE=90°，APB=90°+60°=150°故答案为：150°10在ABC中，AB=AC，BAC=30°，点P为ABC内一点，PA=2，PB=，PC=1求APB的度数分析：由于AB=AC，BAC=30°，根据旋转的定义可把ABP绕点A逆时针旋转30°得到ACD，作PHAD于D，如图，则根据旋转的性质AD=AP=2，P