第11章平面光弹应力计算

1、 第一节第一节 钉压法和边界应力钉压法和边界应力 一、钉压法一、钉压法 钉压法钉压法就是在垂直于模型的边界上，对研究的某点施加一个微小的法向压力，同时观察该点条纹级数的变化。如条纹级数增加，则该点的边界应力为第一主应力，反之，则为第二主应力。 钉压法钉压法可判定边界切线应力是拉应力或压应力，也就是判定边界等倾线是代表第一主应力还是代表第二主应力方向的角度。 二、边界应力二、边界应力 模型自由边界上任一点都处于单向应力状态，即只有一个与边界切线同向的主应力，其切向主应力只有两种可能： 0 （为拉应力） （a） 1hfN/ 0 （为压应力） （b） 2hfN/于是，可统一表示为 21hfN=例如，

2、在模型边界上的B点受有法向压力q，则该点的切向主应力为 q 21hfN=（111 ）22 边界应力符号确定边界应力符号确定11边界应力为边界应力为拉应力拉应力时，等时，等色线向级数色线向级数低低的方向的方向移动移动边界应力为边界应力为压应力压应力时，等时，等色线向级数色线向级数高高的方向的方向移动移动边界应力为拉应力：边界应力为拉应力：边界应力为压应力：边界应力为压应力：上述两种情况是在加载的过程中观察到的二、边界应力二、边界应力 纯弯曲梁（不同载荷）纯弯曲梁（不同载荷）边界边界拉拉应力时，等色线向级数应力时，等色线向级数低低的方向移动的方向移动边界为边界为压压应力时，等色线向级数应力时，等色

3、线向级数高高的方向移动的方向移动xyBA平面受力模型平面受力模型xy单元体应力状态单元体应力状态A x,i x,i-1 y,j-1 y,j xy,j xy,i xy,i-1 xy,j-1xyiixyxix10,第二节第二节 剪应力差法计算截面上的应力剪应力差法计算截面上的应力 为求得边界以内其它点的应力状态，除光弹性实验所得的等差线和等倾线之外，还需辅以其他方法，这统称为应力分离法应力分离法。 （一）基本原理 1： x,0 1,0B 22cos1coscos02020, 10,nnx2sin)(2121xy1,jxyjxyxy其中其中: ( 1- 2)由由等色线等色线得到，得到， 由由等倾线等

4、倾线得到得到 xy 的指向与上下面外法线转向的指向与上下面外法线转向 1相符相符22214)(xyxy其中：当其中：当 x与与 1夹角夹角小于小于正负正负 45o时取时取负负，反之取正，反之取正第二节第二节 剪应力差法计算截面上的应力剪应力差法计算截面上的应力 （一）基本原理 单元体应力状单元体应力状态态A x,i x,i-1 y,j-1 y,j xy,j xy,i xy,i-1 xy,j-12：3：2sin)(2121xy其中其中: ( 1- 2)由由等色线等色线得到，得到， 由由等倾线等倾线得到得到 xy 的指向与上下面外法线转向的指向与上下面外法线转向 1相符相符第二节第二节 剪应力差法

5、计算截面上的应力剪应力差法计算截面上的应力 （一）基本原理 单元体应力状单元体应力状态态A x,i x,i-1 y,j-1 y,j xy,j xy,i xy,i-1 xy,j-1至于切应力的指向至于切应力的指向 (代表正、负符号代表正、负符号)以观察以观察主应力主应力的方位的方位确定确定。如图所示。如图所示。由由切应力切应力作用面的作用面的法线法线N开始，按首先与开始，按首先与第一主应力第一主应力相遇的原则转向，则切相遇的原则转向，则切应力的指问应与此转向相遇。这个指向着与取平衡条件时应力的指问应与此转向相遇。这个指向着与取平衡条件时单元体单元体A上上切应力切应力纳指向纳指向一致一致时、则为时

6、、则为正正；反反之，为之，为负负。切应力正负指向如图所示。切应力正负指向如图所示。第二节第二节 剪应力差法计算截面上的应力剪应力差法计算截面上的应力 （一）基本原理 1、确定模型自由边界上O点的应力分量 0)(x若O点的切向主应力为 ，则 12cos22)(110 x若O点的切向主应力为 ，则 22cos22)(220 x（112 ）（113 ）2、确定OA线段上任一点的剪应力分量 ixy)(iiiiixyhfN2sin212sin2)()(213、确定OA线段上任一点的正应力分量 ix)(xxixxixd)()(00yxxyxxyixyxixd)()(00ixyxixxy00)()(（114

7、 ）（115 ）（116 ）（117 ）（118 ）4、确定点的应力分量 iy)(iiixiy2cos)()()(21（119 ）1x yx22y 2 1 （二）计算步骤和方法 1、把等差线图和等倾线图放大成同一比例并在图上画出对应的直线。 F=800N f/h=196.510-2MPa2a47.5mm h=6.47mm 2、将直线分为若干等分 3、描出等差线和等倾线4 4、量出量出 11、22、 33、44、5 5 ； 1”1”、 2”2”、 3”3”、4”4”、 5”5”点的等点的等差线级数值和等倾线值，分别填入表差线级数值和等倾线值，分别填入表11111 1中，并计算有关点的剪应力数值。

8、中，并计算有关点的剪应力数值。1” 0.90 -45.0 -1 -0.45 1 1.10 -23.4 -0.7290 -0.401 2” 1.72 -28.0 -0.8290 -0.713 2 2.03 -19.2 -0.6211 -0.630 3” 2.82 -20.7 -0.6613 -0.932 3 2.92 -13.8 -0.4633 -0.676 4” 4.20 -13.6 -0.4571 -0.959 4 3.80 -8.2 -0.2823 -0.536 5” 4.86 -5.0 -0.1736 -0.422 5 4.15 -2.8 -0.0976 -0.203表111 各点的剪应

9、力值2sinxy2sinxyN点N点5、用公式用公式（114 ）算出各有关点的剪应力差算出各有关点的剪应力差 ，填入表，填入表112中。中。 表112 各点的剪应力差值 0 0.5 -45.0 -1 0 -0.250 -0.25 0 -0.250 1 1.4 -26.0 -0.6639 0.6157 -0.552 -0.049 -0.201 0.862 -1.063 2 2.4 -20.8 -0.6639 0.7501 -0.797 -0.083 -0.118 1.800 -1.918 3 3.4 -14.0 -0.4690 0.8829 -0.801 -0.256 0.138 3.011 -

10、2.873 4 4.3 -6.0 -0.2249 0.9703 -0.524 -0.416 0.554 4.201 -3.647 5 4.8 0 0 1 0 -0.219 0.773 4.800 -4.0272sinxy2cosxyx2cosiNyN点1001)()(xyxyxx0.25-(-0.049)=-0.201(条)； 2002)()(xyxyxx0.201-(-0.083)=0.118(条)。 6、由式（113）算出O点的 , 同时算出其它点的0)(xix)()2cos1 (2)(20 x25. 0)01 (25 . 0(条)；7、由式（119）算出各点的应力分量 yiiixiiix

11、iyhfN2cos)(2cos)()()(21条）(25. 00)()(00 xy（条）（063. 1862. 0201. 02cos)()(1111hfNxy8、根据表92算出的结果，绘制应分量 、 、 沿直线的分布曲线 。xyxy9、校核 hxhFFyd0内 第三节第三节 光弹性材料条纹值光弹性材料条纹值 利用对径受压的圆盘来求材料条纹值的方法：取一块和模型同样的材料，制成一圆盘。圆盘直径为D，厚度为h，载荷为F。由弹性力学知，在圆盘中心处应力为：DhF21DhF62DhF821根据式（93）DNFf8PP 1 2Dh对对 径径 受受 压压 圆圆 盘盘一、该一、该“对径受压圆盘对径受压圆盘

12、”常被用来常被用来标定模型材料的条纹值。标定模型材料的条纹值。hDPhDP6 221hDNPN8210DNPhf80二、它也是一个较好辨认条纹级数二、它也是一个较好辨认条纹级数的构件，因为它的零级条纹较易辨的构件，因为它的零级条纹较易辨认出来，这一点对初学者很有益。认出来，这一点对初学者很有益。圆盘圆盘两侧边界两侧边界条纹即为条纹即为零级零级条纹条纹43210模型条纹值模型条纹值材料条纹值材料条纹值 第三节第三节 光弹性材料条纹值光弹性材料条纹值 第第四四节节 厚度测定法厚度测定法2、若能测出各点在厚度方向的变化值，将其代入广义虎克走律就可以求、若能测出各点在厚度方向的变化值，将其代入广义虎克

13、走律就可以求出模型平面内的出模型平面内的主应力和主应力和。再与。再与等差线等差线代表的各相应点的代表的各相应点的主应力差主应力差位联合位联合求解，即可得到各点的单个主应力值。求解，即可得到各点的单个主应力值。1、这一方法主要是、这一方法主要是实验的方法实验的方法。 当平面模型当平面模型受力受力后，各点的后，各点的应力状态应力状态不同不同，因此沿各点，因此沿各点厚度厚度方向的方向的变形变形也不一样。也不一样。3、模型、模型受力受力后，模型内各点沿后，模型内各点沿厚度厚度方方向上的相对向上的相对变形变形为为ddd为平面模型内某点的厚度变化值，为平面模型内某点的厚度变化值，d为模型厚度为模型厚度 4

14、、另、另方面，根据平面应力状态的方面，根据平面应力状态的虎克定律虎克定律沿模型厚度方向的应变为沿模型厚度方向的应变为）（21E 5、代入得：、代入得：EEd21 第五节第五节 数值解法求主应力和数值解法求主应力和（差分法）差分法）根据弹性力学公式得：根据弹性力学公式得：02222）（yxyx21yx0212222）（yx已知正应力和为常数已知正应力和为常数得：得：21u令：令：则：则：0u2222yxxyB网格划分网格划分o3142（拉普拉斯方程）（拉普拉斯方程） 第五节第五节 数值解法求主应力和数值解法求主应力和auuxu010得：得：0u02222yxc300uuxu其两阶导数为其两阶导数

15、为accaucuaucacaxuxuxu0310002222xyBa平面受力模型结点划分平面受力模型结点划分cdbo3142 第五节第五节 数值解法求主应力和数值解法求主应力和整理得：整理得：bddbudubudbu0420222y)()()()()11(4321bdduaccudbbucaaubdacuoxyBa平面受力模型结点划分平面受力模型结点划分cdbo3142同理得：同理得：取取a=b=c=d:)(414321uuuuuoxyBa平面受力模型结点划分平面受力模型结点划分cdbo3142总之，由拉普拉斯方程总之，由拉普拉斯方程212222yxuuyx结点结点O主应力和主应力和uo的差分方程的差分方程)()()()()11(4321bdduaccudbbucaaubdacuo取取a=b=c=d:)(414321uuuuuo 第五节第五节 数值解法求主应力和数值解法求主应力和 差分法计算过程差分法计算过程1. 划分