液态结构及凝固技术1~4章_20150501

1、液态结构与凝固技术Liquid Structure and Solidification Technology液态金属及铸造技术研究所田学雷Tel.: 88392412 (O);(M)Email: tian_ (交作业）2田学雷简介研究内容：实验研究液态金属的微观结构及其在凝固过程中的演变规律，建立凝固过程的宏微观模型。以各种宏微观模型为基础，进行凝固过程的模拟计算，确定完善的铸造工艺；铸造模具的CAD软件研究与开发；开发新型金属材料及其加工工艺。研究方向：液态金属微观结构及其凝固过程的研究和模拟计算3Introduction to the Contents Stru

2、ctures of Liquid Metals Geometry Structures of Liquid Metals Physical Properties of Liquid Metals Measurement of Structures of Liquid Metals Brief Introduction to Physics of Liquid Metals Solidification Technology Directional solidification & Single Crystal Growth Rapid solidification Continuous Cas

3、ting Solidification Problem in Preparation of Metal Matrix Composites Solidification under Special Conditions4ReferencesN. H. March Liquid Metals: Concepts and Theory Cambridge University Press, 2005.9 周尧和，胡壮麒，介万奇. 凝固技术凝固技术 北京：机械工业出版社. 1998.9 第一版5Other References T. E. Faber An Introduction to the T

4、heory of Liquid Metals Cambridge University Press 2010Takamichi IidaThe physical properties of liquid metals Clarendon Press, 1988.6边秀房, 王伟民, 李辉, 马家骥. 金属熔体结构金属熔体结构 上海：上海交通大学出版社. 2003, 第一版张荣生，刘海洪. 快速凝固技术快速凝固技术. （超星） 北京：冶金工业出版社. 1994, 第一版 Research Articles in recent years6Chapter 1 Introduction Why do

5、 we study the Knowledge about the (Metals) Liquid Structure and Solidification Technology ?Almost all of metallic products have undergone Liquid State and Solidification during their producing process.燃烧室18002000叶片（燃烧室）7Chapter 1 Introduction增压涡轮（精密铸造）铸钢定铸钢定内部组织铸钢的连续铸造示意图8Chapter 1 Introduction铜杆的连续

6、铸造示意图铜（铝）杆的水平连续铸造示意图铜（铝）杆的上引连续铸造示意图9Chapter 1 IntroductionCylinder headCylinderPistonConnecting RodCrankshaftValveCamshaft Internal Combustion Engine 10Chapter 1 IntroductionWhat is the Liquid Structure? Three States of Matter: Gaseous State Liquid State Solid State11Chapter 1 Introduction Gas Struc

7、ture气体分子热运动气体分子热运动：大距离、短程力，无规则热运动永不停息。）理想气体分子模型理想气体分子模型：质点、完全弹性碰撞、分子间作用力不计。经典数据经典数据：平均速录500 m/s；连续两次碰撞的平均路程10-7m；平均时间间隔10-10 s。理想气体状态方程理想气体状态方程：PV=nRT12Chapter 1 Introduction Solid Structure: Crystal, Quasicrystal, Glass (Amorphous)13Chapter 1 Introduction Solid Structure Mechanical Properties: Dens

8、ity, Specific Heat, Thermal Conductivity Tensile Strength, Hardness, Toughness Other properties on atom scale (micro scale)? X-ray diffractionElectron diffraction (TEM)HRTEM14Chapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structure Classification of Liquid Fluid Mechanics : Newtonian

9、 fluids & Non-Newtonian fluids Based on the Micro scale:Ionic Liquid: is a Salt in the liquid state.Atomic Liquid: is a Metal or Inert Gas in the liquid state.In General the metal elements is existed as atom in the liquid state.Molecular Liquid: ?Fig. Melton salt and the structure of Ionic Liquid15C

10、hapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structure Classification of Liquid 升华与凝聚 I 固 液 气 II 溶 体 熔 体 III 金属 熔体 半导体熔体 氧化物 熔体(渣) 熔盐熔剂 离子熔体 电子熔体 IV V 冶金熔体 Fig.1.5 The classification of liquid原子熔体原子液体MeltLiquid16Chapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structur

11、e Models of Liquid Metals-above and near the Liquidus (just above the melting point)Firstly, The physical Model of the liquid metal is given to describe the micro structure of liquid metals. 原子间仍保持较强的结合能，较小范围内规则排列There still is higher bond energy between atoms and the atoms is ordered in a small ran

12、ge 呈“近程有序，远程无序”Short Range Order (SRO) 由于能量起伏作用，处于不停游动和瞬息万变之中The atoms constantly move since energy fluctuation17Chapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structure The Theory Models of Liquid Metals Model of Random Close Packed (RCP) SphereThe RCP state can be studied on the ma

13、croscopic scale by pouring a lot of rigid ball bearings, for example, into a container with irregular surfaces (smooth sides encourage crystallisation) and shaking them together until they can be compressed no further. J. D. Bernal, J. Mason. Nature.1960,v188,p910H. Susskind, W. Becker. Nature. 1966

14、,v212,p156518Chapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structure The Theory Models of Liquid Metals Model of Quasi-CrystallineIn which the local coordination just above the melting point is trated as very similar to that which prevails in the solid phase just below. Bernal. A Ge

15、ometrical Approach to the Structure Of Liquids. nature,1959, v183, p141 The crystallographer prefers to approach the Position of a molecular and its neighbours in terms of a model which he can visualize or even build out of balls and spokes, and a whole variety of models have at one time or another

16、been proposed.19Chapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structure Crystal Defect Model of Liquid Metals 微晶模型液态金属由很多微小晶体和面缺陷组成，在微晶体中金属原子（或离子）组成完整的晶体点阵，这些微晶体之间以界面相连接。微晶的存在能很好的解释液态金属的短程有序，因而该模型能较好的描述近液相线液态的微观结构。 空穴模型金属晶体熔化时，在晶体网格中形成大量的空位，从而使液态金属的微观结构失去了长程有序性。大量空位的存在使液态金属容易发生切变，从而

17、具有流动性。随着液态金属温度提高，空位的数量也不断增加，表现为液态金属粘度的减小。20Chapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structure Crystal Defect Model of Liquid Metals 位错模型液态金属可以看成是一种被位错芯严重破坏的点阵结构。在特定的温度以上，在低温条件下不含位错（或低密度位错）的固体点阵结构，由于高密度位错的突然出现而变成液体。 综合模型 该模型认为，液态金属是由大量不停“游动”着的原子团簇组成，原子团簇内为某种有序结构，团簇周围是一些散乱无序的原子。这

18、些原子团簇不断地分化组合，以不安金属原子（离子）从某个团簇中分化出去，同时又会有另一些原子组合到该团簇中，此起彼伏，不断发生着这样的涨落过程，似乎原子团簇本身在“游动”一样，团簇的尺寸及其内部原子数量都随温度变化而变化。 原子团簇存活时间在10-7s量级。21Chapter 1 Introduction1200 1700 1550 1400 22Chapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structure All of the models above describe the structure of the

19、 liquid metals in geometry. For example, the RCP model give some structures to describe the atoms position and their relationship in space. e d c a b 图 几种常见的多面体，(a)四面体；(b)八面体；(c) 四方十二面体； (d) 三角棱柱；(e)阿基米德反棱柱； Fig. The Various Polyhedra, (a) Tetrahedron; (b) Octahedron; (c) Quarter Dodecahedron; (d) T

20、riangle Prism; (e) Archimedes Antiprism 23Chapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structure Micro Multiphase Structure Modelcio ci ci* A B e T Teu. 二元共晶系合金状态平衡图示意图 The scheme graph of binary eutectic alloy at equilibrium. QSQFQFccccQSQFQFccccQSmmoiiiinnoiioii22*22* 2221jiiifcf

21、cQF 2221joiioimfcfcQF 2*2*21jiiinfcfcQF fi 和 fj为两组分的原子散射因子 24Chapter 1 Introduction Liquid Structure - The models of Liquid Structure Micro Multiphase Structure Model 图 1.9 In-Ga 共晶合金液态结构因子的计算结果与实验数据的比较* Fig. 1.9 Comparing of structure factors of calculating and results on In-Ga eutectic alloy melt

22、图 1.8 Bi-Ga 共晶合金液态结构因子的计算结果与实验的比较* Fig. 1.8 Comparing of structure factors of calculating and experiments on Bi-Ga eutectic alloy melt 25Chapter 1 IntroductionLiquid StructureAtoms Distribution of Liquid Binary AlloysThe Binary Alloy consist of two elements, A and B. Then the Liquid Binary Alloys ca

23、n be divided into several classes according to the bond energy.(A-AA-BB-B)， 形成固态无固溶度的共晶系；(A-AA-BB-B)， 形成固态无限互溶的固溶体系；介于前二者之间的是有限固溶共晶体系和包晶系；(A-AA-BB-B)，形成在液态有分层区的偏晶系；(A-A A-B B-B) ?26Chapter 1 IntroductionFeatures of Liquid Metals“能量起伏能量起伏” 表现为各个原子间能量的不同和各个原子团簇 间尺寸不同。“结构起伏结构起伏”液体中大量不停“游动”着的局域有序原子团簇时聚时

24、散、此起彼伏，表现为原子团簇的尺寸不断的变化。“浓度起伏浓度起伏” 同种元素及不同元素之间的原子间结合力存在差别，结合力较强的原子容易聚集在一起，把别的原于排挤到别处，表现为游动原子团簇之间存在着成分差异 。27Chapter 1 Introduction Liquid Properties物理性质：粘度（运动粘度、动力粘度）、密度、导热系数、扩散系数、电导率； 物理化学性质：等压热容、等容热容、熔化和气化潜热、表面张力；热力学性质：蒸汽压、膨胀和压缩系数 粘度、表面张力影响充型过程； 导热系数、热熔、液态结构影响凝固过程28Chapter 1 Introduction Study Metho

25、ds of Liquid MetalsDirect MethodsExperimentSimulationX-ray diffractionNeutron diffractionElectron diffractionEXAFS (extended X-ray absorption fine structure )Monte Carlo (MC） 蒙特卡洛Molecular Dynamics (MD) 分子动力学AB Initio 从头算First Principle 第一性原理Direct Methods & Indirect Methods29Chapter 1 IntroductionX

26、-ray diffractionX射线光子与原子核束缚得很紧的电子（core electrons）相碰撞而弹射，光子的方向改变了，但能量几乎没有损失，于是产生了波长不变的散射线。是一种弹性散射。X射线衍射可被用来分析固体、液体和非晶态的微观结构。在分析液态和非晶态金属时，每个原子的相干散射振幅都可用原子散射因子来表示。将液态金属或非晶态合金的X-射线衍射强度经过极化（Polarization）、吸收修正（Absorption Correction）和归一化等处理后，由衍射强度可计算出结构因子（Structure Factor）。傅立叶变换后，可计算出径向分布函数（Radial Distribu

27、tion Function：RDF）和双体分布函数（Pair Distribution Function）。由此可以进一步计算得出原子团的相关尺寸、原子团中的原子数目和配位数等微观结构参数。30Chapter 1 Introduction0.00.51.01.5050100150200250300 14000C13500C13000C12500C12000Cr / nm4 r2og(r)图 3.27 Cu70Ni30合金在不同温度下的径向分布函数Fig. 3.27 RDFs of Cu70Ni30 alloy at different temperature24681012140.00.51.

28、01.52.02.53.03.54.04.5 14000C13500C13000C12500C12000Cg(r)r/10-1nm图 3.25 液态 Cu70Ni30合金在不同温度下的双体分布函数Fig. 3.25 The pair distribution functions of liquid Cu70Ni30 alloy at different temperature.31Chapter 1 Introduction Neutron Diffraction原理与X射线衍射相类似，但是：大角度衍射的强度几乎为常数；极化和吸收修正简单；对同位素和不同元素的散射差别大。 因此，常常与X射线结

29、合使用，二者相辅相成。 图 1.15 不同射线的衍射曲线示意图 Fig.1.15 Schematic diagram of diffraction curves by different radiation 图 1.16 元素的中子散射幅度Fig. 1.16 Neutron scattering amplitude ofelements.32Chapter 1 Introduction 用中子衍射（A）和 X-射线衍射（B）Ni-42at.%V 非晶合金的整体结构因子 S（Q） ，中子衍射的整体结构因子直接给出了 Ni-Ni 偏结构因子。 Total structure factors S(Q

30、) of Ni-42at.%V amorphous alloy by (A) neutron and (B) x-ray diffraction. S(Q) obtained by neutron diffraction gives directly the partial SNiNi(Q) 33Chapter 1 Introduction Electron Diffraction图 1.19 非晶合金电子衍射强度Fig. 1.19 Electron-diffraction intensities of theamorphous alloy图 1.20 非晶合金径向分布函数Fig. 1.20

31、RDF profiles of the amorphousalloy 34Chapter 1 Introduction Monte Carlo (MC)-Simulation Methods MC方法是以概率统计为理论指导的数值模拟方法。 在微观结构模拟时，是用随机数来控制粒子的运动(位置变化)，并使其符合Boltzmann分布的，则在MC方法中粒子瞬时分布很接近实际情况，但其粒子运动的方式却与实际情况有差异。因此，用MC方法研究物系平衡性质是可靠的，用它研究动力学性质就必须谨慎。 MC方法最初是为原子能研究算中子扩散过程而发展起来的，所以MC方法用来计算动力学问题时要受到一定的限制，不是所有

32、的动力学问题它都能计算。 Alder等计算了4至500个硬球系的状态方程，特别是相变点附近的情况。同时他还计算了密度分别为0.333，0.50, 0.588等的硬球系的g(r) 。 Ree等的MC方法计算表明:硬球系固体和硬球系流体为(8.27 0.13) 0 KT时, 相变发生在密度为(0.6670.003)0和(0.7360.003) 0之间, 同时计算了熵的变化。35Constant TemperatureF),2, 1()(NirUrHdtdPNiii a初始化配制周期性边界The nearest neighbor changePredictor-CorrectionVrNKineti

33、c EnergyPotential EnergyThermodynamics parameterMicrostructure初始化速度Constant PressuretaVV0Transport parameterF=maChapter 1 Introduction-MD36Chapter 1 Introduction First Principle & ab Initio 第一性原理(First Principle)，是一个计算物理或计算化学专业名词，广义的第一性原理计算指的是一切基于量子力学原理的计算。量子力学计算就是根据原子核和电子的相互作用原理去计算分子结构和分子（或离子）能量，然后

34、就能计算物质的各种性质。 从头算(ab initio)，是狭义的第一性原理计算，它是指不使用经验参数，只用电子质量，光速，质子中子质量等少数实验数据去做量子计算。但是这个计算很慢，所以就加入一些经验参数，可以很大程度上提高计算速度，当然这样会牺牲计算结果精度。 37Chapter 1 Introduction Indirect Methods To study the structure of liquid metals by their physical properties, for example, viscosity, tension, density, conductivity, e

35、tc. Viscosity 0.000750.000800.000850.000900.000951.21.31.41.51.6 Data: Data2_lnviscosityModel: Line Equation: y = A + B*x Weighting:yNo weighting Chi2/DoF= 0.00003R2= 0.99092 A0.09803? .06584B1510.06803? 3.45171ln (ln(mPa.s)1/T(K -1)液态Cu75Sn25的粘度对数与温度倒数的关系曲线38Chapter 1 Introduction Indirect Methods

36、Conductivity (or Resistivity )400500600700800900600650700750 Resistivity/(a.u.)Temperature/Temperature/ Resistivity/(a.u.) 纯Sb降温过程电阻率随温度的变化曲线Equilibrium phase diagrame of Zn-Sb binary alloys 39Chapter 1 Introduction Research Articles C. P. Wang,X. J. Liu & et al. Formation of Immiscible Alloy Powder

37、s with Egg-Type Microstructure. Science, 2002: 990-993 图5.15 Cu80Co20深过冷凝固组织Fig 5.15 Microstructure of undercooled Cu80Co20 alloys.40Chapter 1 Introduction Research Articles Adam F. Wallace, Lester O. Hedges & et al. Microscopic Evidence for Liquid-Liquid Separation in Supersaturated CaCO3 Solutions

38、. Science 23 August 2013: 885-889. Dongsheng Li, Michael H. Nielsen & et al. Direction-Specific Interactions Control Crystal Growth by Oriented Attachment. Science 25 May 2012: 1014-1018. C. Pfleiderer, P. Bni & et al. Non-Fermi Liquid Metal Without Quantum Criticality. Science, 2007: 1871-1874 Oleg

39、 G. Shpyrko, Reinhard Streitel & et al. Surface Crystallization in a Liquid AuSi Alloy. Science 2006: 77-80 Yves Petroff. The Electronic Structure of Liquid Lead. Science, 2004: 2200-220141Chapter 2 Measurement of Liquid Structure2.1 X-ray diffractometer X-ray Production42Chapter 2 Measurement of Li

40、quid Structure2.1 X-ray diffractometer X-ray Production43Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.1 X-ray diffractometer Matched filters44Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.1 X-ray diffractometer Matched filters45Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.1 X-ray diffractometer X-ray pr

41、operties 波粒二象性 直线传播折射很小 具有杀伤力损害生物的组织和细胞 具有光电效应感光、荧光 散射现象通过物质后会改变前进方向 吸收现象通过物质后部分会被吸收The Schematic Diagram of x-ray technology46Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.1 X-ray diffractometer Diffraction47Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.1 X-ray diffractometer Brugg Equationndsin2where

42、n is an integer, is the wavelength of incident wave, d is the spacing between the planes of the lattice, and is the angle between the incident ray and the scattering planes. The n is usually set as 1.The Schematic Diagram for Brugg Equation48Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.1 X-ray diffra

43、ctometer PDF cardsPDF-Powder Diffraction Files单一物质49Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.1 X-ray diffractometer -250Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.1 X-ray diffractometer X-ray diffractometer for melt ( ) 样品支架 分子泵 机械泵 样品室 坩埚 样品 样品液面 X-射线发生器 计数器 单色 X-射线 氦气 铍窗 X-射线 水平仪 水平仪观察位置，亦是激光发

44、射位置 单色器 热电偶 摄像头 监视器 分光镜 改进部分 计算机 狭缝 均热罩 X-ray tube激发X射线靶灯丝51Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.2 X-ray diffraction Interaction of the X-ray and Materials2.2.1 X-ray Scattera) 相干散射（Coherent Scatter）（弹性散射或汤姆森散射） X射线与原子中束缚较紧的内层电子相撞, 光子把全部能量传给电子, 电子受迫振动, 不断被加速或被减速且振动频率与入射X射线的相同。此时的电子向四周辐射电磁波X射线

45、散射波。此波符合干涉条件，则称之为相干散射。在X射线和物质作用过程中，都是光子与电子的作用。 特点： 散射波波长与入射波 波长相等。散射波满足干涉条件：振动方向相同、频率形同、相位差恒定干涉(interference)条件：振动方向相同、频率形同、相位差恒定衍射(diffraction)现象：光线通过物质产生明暗花样。52Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.2 X-ray diffraction Interaction of the X-ray and Materials干涉(interference)条件：振动方向相同、频率形同、相位差恒定

46、衍射(diffraction)现象：光线通过物质产生明暗图样。图53Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.2 X-ray diffraction Interaction of the X-ray and Materialsb) 非相干散射（Incoherent Scatter）（康普顿-吴有训效应或康普顿散射） X射线与原子中束缚力不大的外层电子或价电子或金属晶体中的自由电子相撞时，X光子改变了波长和方向，这种X射线为非相干散射。有时称量子散射。图 非相干散射不能参与晶体对X射线的衍射，只会在衍射图上形成强度随sin/增加而增加的背底。入射波越

47、短，被照射元素越轻，这种现象越显著。纳米微晶Fe的X射线衍射曲线与理论计算结果的比较 54Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.2 X-ray diffraction Interaction of the X-ray and Materials2.2.2 X射线吸收 (X-ray absorb)为吸收系数：在X射线传播方向上，单位长度上的强度衰减值；dx：传播方向上的距离；I：X射线入射强度；-dI：X射线经过dx距离的衰减值。a) X射线吸收 (X-ray absorb) 与吸收系数b) 二次特征辐射（荧光X射线） 当入射光量子的能量足够大时

48、，可以从被照射物质的原子内部（如K壳层）击出一个电子，同时原子外层高能态电子要向内层的K空位跃迁，辐射出波长一定的特征X射线。此特征X射线为二次特征X射线或荧光X射线。55Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.2 X-ray diffraction Intensity of X-ray diffraction2.2.3 影响X射线衍射强度的因素结构因子角因子（包括极化因子和洛伦兹因子）多重因子吸收因子温度因子56Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.2 X-ray diffraction Int

49、ensity of X-ray diffraction结构因子（Structure Factor)：定量表征原子排布以及原子种类对衍射强度影响规律的参数成为结构因子。即晶体结构对衍射强度的影响因子。结构因子的理解层次： X射线在一个电子上的散射，在一个原子上的散射，在一个晶胞上的散射一个电子上的散射（相干散射和非相干散射） 被电子散射的X射线向四面八方辐射，其强度Ie的大小与入射前度I0和散射角度有关。在距离散射X射线的电子为R处的强度可表示为2)2(cos1)(220RrIIee57Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.2 X-ray dif

50、fraction Intensity of X-ray diffraction结构因子（Structure Factor)：一个电子上的散射（相干散射和非相干散射）2)2(cos1)(220RrIIeeOPe2IeI0R58Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.2 X-ray diffraction Intensity of X-ray diffraction其中2)2(cos12为 极化因子 又叫 偏振因子OPe2IeI0R2)2(cos1)(220RrIIee一个电子上的散射（相干散射和非相干散射）X射线与电子碰撞后，X射线光子的能量全部传

51、递给电子，电子受迫振动，激发出与入射X射线波长相同的X射线，满足干涉条件相干散射；发生弹性碰撞，被散射的X射线与入射X射线的波长发生改变(如图所示)非相干散射(Incoherent Scattering)，也称作康普顿散射。59Chapter 2 Measurement of Liquid Structure 2.2 X-ray diffraction Intensity of X-ray diffraction一个原子对X射线的散射原子散射因子不同电子散射后的X射线具有相位差，合成后的X射线强度为原子散射强度Ia， Ia 2rcInitializeForcesMotionAnalysisSu

52、mmarize每次循环为一次时间的演进:t132Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3.4 Calculating Forces of the MD Simulation 牛顿方程-力-势It is the most important and difficult to calculate the forces in MD simulation. 分子动力学的目的就是要计算得到系统中每个粒子的位置、速度和势能。粒子的受力情况是影响速度的因素，而势的变化与力相关保守力等于势函数的梯度。iiimFr .UiriF 一个原子（i原子）牛顿运动方程 一个原子所

53、受到的保守力，这个力是所有因素施加给i原子的。133Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3.4 Calculating Forces of the MD Simulation 势 1212,Niijiij iijkij i kjUUUUr rrrr rr r rU1外力场或边界条件（如容器壁）；U2两体作用势，一对原子之间的作用力，不包含其他原子的影响；U3三体作用势，描述由于第三个原子的存在对原子对之间作用力的影响。势函数的一般形式UiriF粒子所受力等于其势的梯度134Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3

54、.4 Calculating Forces of the MD Simulation 势描述势函数的种类很多，如LJ势、镶嵌原子势(EAM) 、Stillinger-Weber(SW)作用势、 Tersoff势、Morse势、硬球势、软球势et al。这里以LJ势为例讲解。Lennard-Jones (LJ)势函数如下：1264L JijijijUrrr势阱深度能量参数平衡常数长度参数斥力项引力项rLJU62ijr对于液态氩分子 ：120KkB; ：0.34 nmkB=1.3810-23J/K135Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3.4 Calcu

55、lating Forces of the MD Simulation 势 势的截断当两个粒子间距达到一定距离 ( rc ) 时，其间的相互作用非常微弱，可以忽略不计，超过此距离势和作用力均视为零。2.6cr对于LJ作用势，通常取ijcrr0ijF 时当0U2.6rLJU136Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3.4 Calculating Forces of the MD Simulation 力1264L JijijijUrrr对势函数求导)(ijiiirijrUzyxUijkjifi原子相对j原子的势函数i原子受j原子的作用力i原子受所有原子的作

56、用力jiiifF对于多体（粒子数为N）体系，解析数学不能计算，需要离散数学进行计算，常用有限差分方法计算（Finite Difference Method-FDM）。137Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3.5 Calculation Process of the MD Simulation 有限差分方法（FDM）图3-1 空间离散化的情况-节点物质集中在节点上 差商代替微商所得的方程称为差分方程，用来求解微分（或偏微分）方程的确定问题。对时间的一阶差商代替偏微分： xytTcQyTxT)(2222如求解二维热传导的偏微分方程，偏微分方程为：ttT

57、ttTyxyx)()(),(),(ttTttTyxtyx)(lim)(),(0),(在 tt+t 之间，（x,y）处的温度没有变化。138Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3.5 Calculation Process of the MD Simulation 有限差分方法（FDM）差商：T xxT xx()( )T xT xxx( )()T xxT xxx()()2向前差商（一阶）：向后差商（一阶）：中心差商（一阶）： 微商 T(x) x+x x x-x o 向后 中心 向前 T x 二阶差商（向前）：xxxTxxTxxxTxxT)()(-)()2

58、(139Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3.5 Calculation Process of the MD Simulation 有限差分方法（FDM） 以一维热传导情况为例，空间上用二阶中心差商代替二阶微商，时间上用向后一阶差商代替一阶微商：tTcxT22 t=Pt; (P=0,1,2,m)T(t)=T(Pt ); T(t+ t )=T(P+1) t )x=ix;222)()()(2)()()()()()(xxxTxTxxTxxxxTxTxxTxxTxxTttttttttTtCxTCxtTTiPiPiPiP121212()()一维热传导的差分格式

59、（方程）ttTttTttTxxx)()()( Q x 1 i-1 i i+1 n Tp1 Tpi-1 Tpi Tpi+1 Tpn 图 一维物体离散化后的情况 一维热传导偏微分方程140Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3.5 Calculation Process of the MD Simulation 有限差分法Verlet算法泰勒展开式：同理有：3-33-13-2444333224)(! 3)( 2!)()( )(dtdtdtdtdtdtdtdttttiii2iiirrrrrr！3-4 nnndxfdnxdxfdxdxdfxxfxxf!)(!

60、2)()()(222则粒子空间位置（矢量）与时间的函数 ri(t) 泰勒展开式为：)(24)()(6)()( 2)()()( )(432tcttbttatttvtttiiiiiirr)(24)()(6)()( 2)()()( )(432tcttbttatttvtttiiiiiirr141Chapter 3 Molecular Dynamic Simulation 3.5 Calculation Process of the MD Simulation 有限差分法Verlet算法式（3-3）+（3-4）得：3-5)(12)()()()()(2 )(42tcttattttttiiiiirrr令：)