锐角三角函数与解直角三角形复习课件 (1)

1、CAB bca 1. 本章内容有锐角三角函数的概念，解直角三角形及解直角三角形的应用。 在此应注意的问题是无论是求哪一个角的三角函数，一定要先把这个角放在直角三角形中,并且三角函数值与边无关。的邻边的对边AAAtan的斜边的对边AAAsin的斜边的邻边AAAcos 2. 锐角的取值范围及变化情况：锐角的函数 记法 锐角的取值范围 三角函数的取值范围 增减性从 090 锐角的正弦 sin 0sin1 随着角度增大而增大 锐角的余弦 cos 0cos0 随着角度增大而增大 锐角的余切 cot 00 随着角度增大而减小 3. 特殊角的三角函数值：三 角 函 数 0 30 45 60 90 sin 0

2、 12 22 32 1 cos 1 32 22 12 0 tan 0 33 1 3 不 存 在 cot 不 存 在 3 1 33 0 4. 同一锐角的三角函数之间的关系： （1）平方关系：sin2+cos2=1 （ ）比的关系：，2tansincoscotcossin。，或）倒数关系：（tan1cotcot1tan1cottan3 5. 互余两角的三角函数之间的关系： sin()coscos()sin9090，tan()cotcot()tan9090，。 6. 解直角三角形的依据： 在RtABC中，C=90，A、B、C的对边分别为a、b、c，除直角C外，其余五个元素之间有以下关系： （1）三边

3、关系：a2+b2=c2（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A+B=90（互余关系） （3）边角关系： B c a A b C (图 1 ) sincostancotAacAbcAabAba，；sincostancotBbcBacBbaBab，。解直角三角形时，要注意适当选用恰含一个未知数的关系式。 任意锐角的正弦（切）值等于它的余角的余弦（切）值， 任意锐角的余弦（切）值等于它的余角的正弦（切）值。7. 解直角三角形：在在RtABC中，中，C=90：已知已知A、 c, 则则a=_;b=_。已知已知A、 b, 则则a=_;c=_。已知已知A、 a，则，则b=_;c=_。已知已知a、b，则，则c=

4、_。已知已知a、c，则，则b=_ 。ABbacC对边对边邻边邻边斜边斜边已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦正弦； 求邻边，用锐角的求邻边，用锐角的余弦余弦。已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切正切； 求斜边，用锐角的求斜边，用锐角的余弦余弦。已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的正切正切； 求斜边，用锐角的求斜边，用锐角的正弦正弦。Ac sinAc cosAtb anAbcosAatanAasin22ba 22ac 选用关系式归纳为口诀:有角求角,无角求边;有斜用弦,无斜用切; 求对用正,求

5、邻用余;取原避中,宁乘勿除。 8. 有关解直角三角形的应用题： 视线 眼睛 仰角 水平线 俯角 视线 图 1 应用解直角三角形的知识解决实际问题的时候，常用的几个概念： (1)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图1。 (2)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母 表示。 坡度（坡比）：坡面的铅垂高度h和水平宽度 的比叫做坡度，用字母i表示，即 ，如图2。lihltg ihltg h l 图 2 (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角，如图3中，目标A、B、C的方位角分别为。 3 09 02 1 0、 北

6、 A 0 B C 图 3 (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于 的水平角叫做方向角，6045303045 D 北 A 30 60 西 东 0 30 45 C B 南 图 4 90如图4中，目标A、B、C、D的方向角分别表示北偏东 、南偏东 、南偏西 、北偏西 。又如，东南方向，指的是南偏东 角。一. 基础题型分析： 例1. 在中，则的值是（）RtACBC = 90coscotBB23ABCD.35522 5555 分析： ,3232cos90ABC2xABxBCBC，可设，利用，可以构造直角三角形如图.55252cot522cxxACBCBxBCABAC，应选，所以，根据勾股定

7、理，有 A 3x C 2x B (图 2) 解法二：利用同角的三角函数的关系式。 sin2B+cos2B=1 ，舍负sincos( )(sin)BBB112353022。cotcossinBBB23532 55 ，解三角形。，中，在332=b32=a90=CABCRt A 323 B 32 C (图 3) （ ）13232 333tanAab（ ）3sinAac。caAsinsin323064cab22222223232 3321332464()() 。例2. A=30。（2）B=90A=9030=60。解法二：（1）在RtABC中 无论什么条件下，分别求解各未知元素时，应尽量代入已知中的数值

8、，少用在前面的求解过程中刚算出的数值，以减少以错传误的机会。（ ）233tanAab（ ）39060BA不要计算错误。，但应注意斜边，求出求出解法二也可由cAAcaA21sinsinA=30说明：解法一：在RtABC中，如图3。 例3. 当45cosB. sin=cosC. tancotD. tanAC。 解法一：利用三角函数定义。 应选A，其余三项也可根据定义证明不成立。 解法二：化为同名三角函数，利用增减性比较大小。 根据锐角的正弦（切）的增减性可知应选A，其它两项也不成立。解法三：找标准量45角比较。 45sin45，coscos， 同理tancot，应选A。 例4. A. 等腰非等边三

9、角形B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形D. 等腰直角三角形在中，若，则是（）ABCABABC|sin|(cos)321202分析：根据“两个非负数的和等于 ，则两个数都等于 ”的性质，有，0032sinA cosB 12， 所以A=60，B=60，应选B。 例5. 为锐角，若m2，下列四个等式中不可能成立的是（ ） AmBmCmDm.sin.cos.tan.cot111111分析：根据三角函数值的取值范围，有 010100sincostancot，而，sincostancot1111111010mmmm判断可知cos选项不可能成立，应选B。 例6. 若 为锐角，求的值。sincossin

10、cos43 分析：题目涉及到同角的正余弦的和差，可以考虑应用关系式： sin2+cos2=1解题。34cossin解： 两边平方，得sincossincos222169 2169179sincos (sincos )sincossincos2222 1792932cossin注意：开平方要取正负，因为题中不能确定sin与cos的大小。例7. 在RtABC中，C=90，a+c=12，b=8，求cosB。 A c b B a C (图1 ) 解： 列方程组accacaca cacacaac126412641216310326322()()。cosBac103263513二. 综合题型分析： 例8.

11、 已知：如图5，ABC中，B=30，ADC=45，ACB=120，D是BC上一点，若CD=8，求BD的长。 A B D C ( 图 5) 30 45 120 解法一：过A作AEBC的延长线于E，ACB=120，ACE=60。设，则，CE = xAE =3x ADC=45 DE=AExx38 x 8314 34，BAEx303 BExx3303cot。BDBEDCCExxx38288 3E 解法二：如图6，过D作DFBC于D，交AB于F。 A B D C ( 图 6) 30 45 120 F 易证得FAD=DAC=15FDBC，ADC=45 ADF=ADC=45 在ADF和ADC中 FADCAD

12、ADADADFADC ADF ADC DF=DC=8 在RtBDF中， cot BBDDFBDDFBcotcot8308 3 例9. 如图7，已知MNBE和ABCD都是正方形，MC与AB相交于F，已知sin=513，求的值。tanB A D M F N B C （图 7） E 分析：实质上是已知比值求比值的问题，不过它是特殊的比值问题，因为这里两条线段的比是直角三角形中两条边的比值问题。 的一个是三角形中，如放在一个直角，为了应用它，要把已知FBCRt135sin锐角，或是RtMNC的锐角，或是RtEMF的一个锐角，这样就有三种解法。 求tan，从图形直观上看，就是把放在RtAME中，求出AE

13、和ME，或用某个字母x的代数式表示AE和ME即可。 解：在RtMNC中， sin513 设MN=5x，MC=13x， 则NC=12x。ME=MN=NB=5x，BC=NCNB=7x。AEABBExxx752。tanAEMExx2525 例10. 在ABC中，C=90，A=15，AB=12，求SABC。 C A （图8） 15 解法一：如图8，取AB的中点D，连结CD，过C作CEAB于E。 AB=12ADBDCD12126 A=ACD=15 CDB=30在RtCDE中， CECD123。SABCEABC121212318BED 解法二：如图9，把ACB沿AC翻折，得到ACD， C A （图9） D

14、 则ACD ACB DAC=CAB=15，DAB=30 AD=AB=12过点D作DEAB于E， DE=ADsin30=6 SABDEABD121212636。SSABCABD12123618BE 例11. 如图湖泊的中央有一个建筑物AB，某人在地面C处测得其顶部A的仰角为60，然后，自C处沿BC方向行100m到D点，又测得其顶部A的仰角为30，求建筑物的高（结果保留根号） A 30 60 D 100 C B 分析：分析：本题的关键在于（1）DB-CB=100（2）RtABC与RtADB有一条共同的线段AB，因此只要利用RtABC和RtADB分别用AB表示出DB和CB即可列出方程DB-CB=10

15、0，问题便可迎刃而解。解：设AB=xxABBCBCABABCRt3360tan60tan中，在xABBDBDABABDRt330tan30tan中，在10033100 xxBCBD3，350100332ABAB，答：建筑物的高为米。AB50 3例3. 人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置O点的正北方向10海里处的A点有一涉嫌走私船只，正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向以26海里/时的速度追赶在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：（1）需几小时才能追上？（点B为追上的位置）（2）确定巡逻艇的追赶方向，（精确到0.1） 分析：分析：（1

16、）此题可利用于方程来解决，设需t小时追上，然后根据直角三角形三边满足勾股定理来列出一个关于“t”的一元二次方程，从而求出时间t。（2）要求B点的方位角，首先应理解方位角在几何图中的表示方法，然后借助正弦函数值以及计算器来求出B的方位角。 解：解：设需t小时才能追上。则，（ ）在中，ABtOBtRt AOBOBOAAB24261222即解得，（不合题意舍去）()()()2610241122212tttt t11即需 小时才能追上。（2）在RtAOB中sin.AOBABOBtt2426121309231AOB674 . 即巡逻艇的追赶方向为北偏东67.4。ABO 例5. 如图，某货船以20海里/时

17、的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货，此时接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响。 （1）问B处是否会受到影响？请说明理由。 （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物。北AB西C分析：分析：台风中心在AC上移动，要知道B处是否受影响，只要求出B到AC的最短距离并比较这个最短距离与200的关系，若大于或等于200海里则受影响，若小于200海里则不受影响。 （2）要使卸货过程不受台风影响，就应在台风中心从出发到第一次到达距B200海里的这段时间内卸完货，弄清楚这一点，再结合直角三角形边角关系，此题就不难得到解决。北 C 60 西 B A D E F 解：解：（1）过B作BDAC于D根据题意得：BAC=30，在RtABD中BDABABsin3012122016160200B处会受到影响。（2）以B为圆心，以200海里为半径画圆交AC于E、F（如图）则E点表示台风中心第一次到达距B处200海里的位置，在RtDBE中，DB=160，BE=200，由勾股定理可知DE=120，在RtB