能控性和能观性分析

1、3.1 系统的能控性系统的能控性（）3.2 系统的能观性系统的能观性（）3.3 能控能观性的对偶原理能控能观性的对偶原理3.4 基于传递函数的能控能观性条件基于传递函数的能控能观性条件第三章第三章 能控性和能观性分析能控性和能观性分析 本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运本章主要介绍定性分析方法，即对决定系统运动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如动行为和综合系统结构有重要意义的关键性质（如可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。可控性、可观测性、稳定性等）进行定性研究。 在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容在线性系统的定性分析中，一个很重要的内容是关于系统的可控性、可观测性分

2、析。是关于系统的可控性、可观测性分析。系统的可控、系统的可控、可观测性是由可观测性是由卡尔曼卡尔曼于于60年代首先提出的，事后被年代首先提出的，事后被证明这是系统的两个基本结构属性。证明这是系统的两个基本结构属性。 本章首先给出可控性、可观测性的严格的数本章首先给出可控性、可观测性的严格的数学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测学定义，然后导出判别线性系统的可控性和可观测性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还性的各种准则，这些判别准则无论在理论分析中还是在实际应用中都是很有用的。是在实际应用中都是很有用的。第三章第三章 能控性和能观性分析能控性和能观性分析 p如果系统内部的所有状态

3、的运动都可由输入来影响如果系统内部的所有状态的运动都可由输入来影响和控制而由任意的初始状态达到原点，则称和控制而由任意的初始状态达到原点，则称系统是能系统是能控的控的，或者更确切的说是，或者更确切的说是状态能控的状态能控的，否则就称系统，否则就称系统为为不完全能控的不完全能控的，或简称为系统不可控或简称为系统不可控。p如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可如果系统内部所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则称系统是由输出完全反映，则称系统是状态能观测的状态能观测的，否则就，否则就称系统为称系统为不完全可观测的，或简称为系统不可观测不完全可观测的，或简称为系统不可观测。状态方程：

4、描述了输入引起的状态变化状态方程：描述了输入引起的状态变化 输入能够控制状态输入能够控制状态（控制问题）（控制问题）输出方程：描述了状态变化引起的输出改变输出方程：描述了状态变化引起的输出改变 状态能否由输出反映状态能否由输出反映（观测和估计问题）（观测和估计问题） 如果存在一个有限时刻如果存在一个有限时刻T T和时间段和时间段 上控制信上控制信u u(t(t) )，使使得在这样的控制信号作用下，系统状态从得在这样的控制信号作用下，系统状态从t=0t=0时刻的初始状态时刻的初始状态 转移到转移到t=Tt=T时刻的零状态，即时刻的零状态，即 ，则称此则称此状态是能控的状态是能控的。如果系统的所有

5、状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空如果系统的所有状态都是能控的，即能控状态充满整个状态空间，则称系统是间，则称系统是状态完全能控的状态完全能控的，简称，简称系统能控系统能控。如果状态空如果状态空间中间中存在一个或一些非零状态在时刻存在一个或一些非零状态在时刻t t0 0是不可控的是不可控的，则称系统，则称系统在时刻在时刻t t0 0是不完全可控的，也称为系统是不可控的。是不完全可控的，也称为系统是不可控的。 0 ,T0 ( )x0( )xT =考虑考虑n n维线性时不变系统的状态方程维线性时不变系统的状态方程0(0)xAxBuxx 定义定义 在有限时间区间在有限时间区间 内，若存在无约束

6、的阶梯内，若存在无约束的阶梯控制序列控制序列 ，能使系统从任意初态，能使系统从任意初态 转移到转移到任意终态任意终态 ，则称该系统是，则称该系统是nTt, 0) 1(,),0(nuu) 0( x)(nx以把终端状态规定为状以把终端状态规定为状态空间中的原点态空间中的原点 ，若系统在有限时间内从任一初始状态转移，若系统在有限时间内从任一初始状态转移至零状态，至零状态，则称系统是状态能控的则称系统是状态能控的； 反之，也可以把初始状态规定为状态空间中的原点，若系反之，也可以把初始状态规定为状态空间中的原点，若系统从初始零状态在有限时间内转移至任意其他终端状态，统从初始零状态在有限时间内转移至任意其

7、他终端状态，则称则称系统是状态能达的。系统是状态能达的。 对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。对于线性定常系统，能控性和能达性是等价的。 满秩满秩：根据能控性的定义可知，：根据能控性的定义可知，对系统的任意的初始状态对系统的任意的初始状态 ，如果能找到输入如果能找到输入u(t)u(t)，使之在使之在 的有限时间内转移到零状的有限时间内转移到零状态态 ，则系统状态能控。，则系统状态能控。,0ftt)(0tx0)( ftx：对于线性连续定常系统：对于线性连续定常系统： 状态完全状态完全能控的充分必要条件是其能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵能控性判别矩阵：BuAxx 21 ,ncA BB

8、AB A BABG G-=MMML M21ncrankrank B AB A BABnG G-=MMM L Mn凯莱凯莱哈密顿定理可知哈密顿定理可知时间的函数时间的函数由系统能控性定义由系统能控性定义：先假设这样的先假设这样的u存在，存在，注：注：秩判据是一种比较方便的判别方法。秩判据是一种比较方便的判别方法。 由此可知，要想系统完全能控，则上述方程组必由此可知，要想系统完全能控，则上述方程组必须任意的须任意的x x0 0对有解，即系统的能控性判别矩阵对有解，即系统的能控性判别矩阵满秩满秩。求满秩的方法：单输入系统：求满秩的方法：单输入系统： 行列式为零行列式为零 多输入系统：多输入系统： 行

9、列式为零行列式为零 ,cA BG G( ,)( ,)TccA BA BGGGG补充：可控性判别矩阵补充：可控性判别矩阵 ： ,cnpA B线性定常连续系统的状态方程线性定常连续系统的状态方程0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt其中：其中：x为为n维状态向量；维状态向量；u为为p维输入向量；维输入向量；A和和B分别为分别为(nn) 和和(np)常阵。该线性定常连常阵。该线性定常连续系统完全可控的充要条件是：续系统完全可控的充要条件是： , n pcn prankA Brank BABABn其中：其中： prankBpp，注：注：该方法是秩判据的改进，特别适用于多输入该方法是

10、秩判据的改进，特别适用于多输入 系统，可减少不必要的计算。系统，可减少不必要的计算。例例1：已知：已知判断其能控性。判断其能控性。401052xxu 2n 解：解：系统阶次系统阶次，确定出可控判别阵，确定出可控判别阵14210SBAB2rankSn，所以系统为完全可控。，所以系统为完全可控。 例例2：判断下列系统的可控性：判断下列系统的可控性11122233132210201101311xxuxxuxx解：解：213254112244112244S矩阵矩阵S的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故rankS =23，系统不可控。，系统不可控。例例3：用可控性判别矩阵：用可控性判

11、别矩阵 判别系统能控性。判别系统能控性。 npS11122233132210201101311xxuxxuxx解：解：n=3, 系统输入向量是系统输入向量是2维的列向量，即维的列向量，即p = 2。21p = rankB = rank 11 = 2 = p-1-1c3-22132A,B= 1122-1-1-2-2显见矩阵显见矩阵S3-2的第二行与第三行线性相关，的第二行与第三行线性相关，故故 ，系统不可控。，系统不可控。 ,23cnprankA B 当矩阵当矩阵A的特征值的特征值 为两两相异时，为两两相异时，线性定常连续系统线性定常连续系统完全可控的充分必要条件是：其对角线规范型完全可控的充分

12、必要条件是：其对角线规范型 12,n 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt12nxxBu中，中， 不包含元素全为零的不包含元素全为零的。B例例4：已知线性定常系统的对角线规范型为：已知线性定常系统的对角线规范型为11122233800010103000202xxuxxuxx判断系统的可控性。判断系统的可控性。解：解：由于此规范型中由于此规范型中 不包含元素全为零的行，不包含元素全为零的行，故系统完全可控。故系统完全可控。B 当系统矩阵当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连有重特征值时，线性定常连续系统续系统完全可控的充分必要条件是：由其导出的约当完全可控的充分必要条件是：由

13、其导出的约当规范型规范型 中，中， 中与同一特征值的各中与同一特征值的各约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是约当块对应的各子块的最后一行组成的矩阵是线性无关的。线性无关的。0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxtABxxuB例例5：已知约当规范型系统如下：已知约当规范型系统如下：2100000000020000010000200000400002000007000031000000000301100000003041xx+u试判断其可控性。试判断其可控性。解：解： ， ，均行线性无关，均行线性无关，所以：系统完全可控。所以：系统完全可控。1100040007B211004

14、1B例例6：证明如下系统总是完全可控的。：证明如下系统总是完全可控的。0110100101nxxuaaa 证明：证明：11001101nnaSarankSn，故完全可控。，故完全可控。 该题说明：可控标准型系统完全可控。该题说明：可控标准型系统完全可控。线性定常系统线性定常系统 0( )( )( )(0)0 x tAx tBu txxt完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时完全可控的充分必要条件是：存在一个有限时刻刻T0，使如下定义的，使如下定义的格拉姆矩阵格拉姆矩阵：为非奇异。为非奇异。注意：注意：在应用该判据时需计算在应用该判据时需计算eAt，这在，这在A的维数较的维数较高时并非易事，所

15、以高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中此判据主要用于理论分析中。 00 , TTAtTA tcWTeBB edt-=性质一：性质一：等价的状态空间模型具有相同的能控性。等价的状态空间模型具有相同的能控性。 性质二：性质二：任意单输入系统的能控状态空间模型都能任意单输入系统的能控状态空间模型都能变换成能控标准形。变换成能控标准形。212111nnT BABA BABTBABA BABWTTWAWAWBB-轾=犏臌=LL化成能控性标准形的方法：化成能控性标准形的方法： 注意：注意：能控性判据也适合离散系统，只是采样周期选能控性判据也适合离散系统，只是采样周期选择不当就不能保证能控的连续系统离

16、散化后仍然能控。择不当就不能保证能控的连续系统离散化后仍然能控。3.1.4 输出能控性输出能控性 定义：定义：如果存在无约束的控制向量如果存在无约束的控制向量u u( (t t),),在有限的时在有限的时间间隔间间隔 0,T 内，使任一给定的初始输出内，使任一给定的初始输出 y0 转移到任转移到任一最终输出一最终输出 y(T)，则称线性定常系统为输出能控的。，则称线性定常系统为输出能控的。则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵则输出可控的充要条件是：输出可控性矩阵的秩等于输出变量的维数的秩等于输出变量的维数q，即，即10nSCBCABCABD0rankSq注意：注意：状态可控性与输出可控性是两

17、个不同的状态可控性与输出可控性是两个不同的概念，二者没有什么必然联系。概念，二者没有什么必然联系。01(0),0,xAxBuxx ttyCxDu判断系统的状态可控性和输出可控性。判断系统的状态可控性和输出可控性。例例7：已知系统的状态空间描述为：已知系统的状态空间描述为011121xxu10yx解：解：1）系统的状态可控性矩阵为）系统的状态可控性矩阵为1111SBABrank12S ，状态不完全可控，状态不完全可控 2）系统的输出可控性矩阵为）系统的输出可控性矩阵为 0110SCBCABD0rank1Sq , 系统输出可控。系统输出可控。)(0tx 如果对任意给定的输入如果对任意给定的输入u(

18、t)u(t)，存在一有限观测时间存在一有限观测时间使得根据使得根据 期间的输出期间的输出 能唯一地确定系统在初始时能唯一地确定系统在初始时刻的状态刻的状态 ，则称状态，则称状态 是能观测的。是能观测的。 0 , T0ttf )(ty0( )xt ttdButtxtttx0)()()()()(00 1 1、能观测性是研究输出反映状态的能力，即通过输出、能观测性是研究输出反映状态的能力，即通过输出量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。量在有限时间内的量测，能否把系统的状态识别出来。：2 2、输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令、输入引起的输出可计算，所以分析观测性时，常令u u恒

19、等于恒等于0 0，即，即分析齐次状态方程和输出方程即可分析齐次状态方程和输出方程即可。 线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是完全可观测的充分必要条件是:或或0(0)0 xAxxxtyCx1nCCAranknCA1()TTTTnTrank CA CACn其中：其中：n是系统的维数，是系统的维数，称为系统的可观测性判别阵，简称能观测性阵。称为系统的可观测性判别阵，简称能观测性阵。1 ,()TTTTnTToA CCA CAC例例8：判断下列系统的能观性：判断下列系统的能观性：xAxyCx20,1001AC(1) 解：解：(1) 101220CrankVrankranknCA 系统不完全

20、可观测系统不完全可观测11101111AC，(2) (2)111020112TTTrankVrank CA Crankn系统完全能观测系统完全能观测例例9：证明如下系统总是完全能观测的。：证明如下系统总是完全能观测的。0110011naaxxa001yx证明：证明：11001101 ,nOnaA CaG G-轾犏犏-犏=犏*犏犏-*犏臌LMNNNrank ,OA CnG G=系统是完全能观测的。系统是完全能观测的。 该题说明：该题说明：可观测标准型系统是完全能观测的。可观测标准型系统是完全能观测的。补充：可观测性判别矩阵补充：可观测性判别矩阵 n qV线性定常连续系统的状态方程线性定常连续系统

21、的状态方程其中：其中：x为为n维状态向量；维状态向量；y为为q维输出向量；维输出向量；A和和C分别为分别为(nn) 和和(qn)常阵。该线性定常连续系统常阵。该线性定常连续系统完全能观测的充要条件是：完全能观测的充要条件是：其中：其中： 0(0)0 xAxxxtyCx ,On qn qCCArankA CranknCAqrankCqq，适用于多输出系统适用于多输出系统例例10：判断该系统的能观性。：判断该系统的能观性。11101111AC，解：解：系统输出向量是系统输出向量是2维的列向量，即维的列向量，即q = 2。10211qrankCrankq2 210 ,11OA C ,2On qran

22、kA Cn故故 ，系统完全能观测。，系统完全能观测。12,nxxyCx 当矩阵当矩阵A的特征值的特征值 为两两相异时，为两两相异时，线性定常连续系统线性定常连续系统完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型完全可观测的充分必要条件是：其对角线规范型 12,n 中，中， 不包含元素全为零的不包含元素全为零的。0(0)0 xAxxxtyCxC例例11：已知线性定常系统的对角线规范型为：已知线性定常系统的对角线规范型为800100010,123002xxyx判断系统的能观测性。判断系统的能观测性。解：由于此规范型中解：由于此规范型中 不包含元素全为零的不包含元素全为零的列，故系统完全能观测。列，故系

23、统完全能观测。C 当系统矩阵当系统矩阵A有重特征值时，线性定常连有重特征值时，线性定常连续系统续系统完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约完全能观测的充分必要条件是：由其导出的约当规范型当规范型中，中， 中与同一特征值的各约当块对应的各子中与同一特征值的各约当块对应的各子块的第一列组成的矩阵是块的第一列组成的矩阵是线性无关的。线性无关的。0(0)0 xAxxxtyCxACxxy =xC例例12：约当标准型系统如下：约当标准型系统如下：2100000020000000200000002000000031000000300000003xx试判断其能观测性。试判断其能观测性。40002000030

24、1010005300yx解：解： 1400030 ,005C2201130C所以：系统完全能观测。所以：系统完全能观测。是列线性无关的；是列线性无关的；是列线性无关的；是列线性无关的； 线性定常系统线性定常系统完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻完全可观测的充分必要条件是，存在有限时刻T0，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。0(0)0 xAxxxtyCxT0(0, )eeTTA tAtOWTC Cdt注意：在应用该判据时需计算注意：在应用该判据时需计算eAt，这在，这在A的维数较的维数较高时并非易事，所以此判据主要用于理论分析中。高时并非易事，所以此判据主要

25、用于理论分析中。 （1）并联：11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u特点：1212,uuu yyy系统如图，二子系统并联连接1111222200 xAxBuxAxB 1 12212121212 TyC xC xDuD uCCxxDD u 1212y sy sysG sGsu s 12G sG sGs传递矩阵：（2）串联：11 11 1111 11 1:xAxBuyC xDu22222222222:xA xB uyC xD u特点：系统如图，二子系统串联连接1212,uuuyyy111122122210 xAxBuxB CAxB

26、 D1212212xyD CCD Dux 1111212212122211111212211112122211122112222211111210()0()sIABG sD CCD DB CsIAB DsIABD CCD DB DsIAB CsIAsIACsIABDCsIABDGs G s（3） 反馈：11 11 1111 1:xAxBuyC x222222222:xA xB uyC x1212,yyu uuy系统如图，二子系统并联连接1) 动态反馈 1121111G sIG s GsG sG SIHG s2) 静态反馈闭环系统状态空间描述为：()()xAxB uHyABHC xBuyCx闭环

27、系统传递矩阵为： 完全可控且完全可观测的子系统组合后不一完全可控且完全可观测的子系统组合后不一定保持原有的可控性或可观测性。定保持原有的可控性或可观测性。例例13：设完全可控且完全可观测的子系统为：设完全可控且完全可观测的子系统为11111101021341Sxxuyx ：，222222Sxxuyx ：，求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联求出并联组合系统的状态空间描述，并判断并联组合系统的可控性和可观测性。组合系统的可控性和可观测性。解：解：子系统并联组合后的系统子系统并联组合后的系统1111222200ABABxxuxx010034010011xxu 112122CCDDxyux21 1yx 可控性判别矩阵：可控性判别矩阵：0141413111S可观性判别矩阵可观性判别矩阵156123112Vdet4 156 123 100V rankVn该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。该并联组合系统不完全可控且不完全可观测。det4 13 16 10S rankSn 对偶性原理对偶性原理由卡尔曼提出。其意义在于：由卡尔曼提出。其意义在于：u确定了线性系统确定了线性系统能控性能控性和和能观性能观性的内在对偶关系（无论的内在对偶关系（无论是概念还是判据