第十章-梁的变形-第五次课

1、梁梁 的的 变变 形形第第 十十 章章工程中的弯曲变形问题工程中的弯曲变形问题刚度不能太小叠板弹簧刚度不能太大第十章第十章 梁的变形梁的变形10-1 10-1 梁挠曲线的近似微分方程梁挠曲线的近似微分方程梁变形指挠度（位移）和转角（截面转角）梁变形指挠度（位移）和转角（截面转角）1对于设计应满足对于设计应满足 强度条件（安全问题）maxmax抗弯强度 抗剪强度 变形条件允许值是否满足使用要求（使用问题） 2求变形的目的：求变形的目的：（1）满足刚度条件；（2）为解超静定结构提供变形条件。一、基本概念1，取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为 x 轴 ，横截面的铅垂对称轴为 y 轴 ， x y

2、 平面为纵向对称平面。B x yA梁的挠度向下为正，因此在本章，定义梁的挠度向下为正，因此在本章，定义y坐标向下为正坐标向下为正y坐标是人为规定的坐标是人为规定的平面弯曲：变形曲线始终位于对称面内10-1 10-1 挠曲线的近似微分方程挠曲线的近似微分方程二、度量梁变形后横截面位移的两个基本量（1）挠度挠度 : 横截面形心 C (即轴线上的一点)在垂直于 x 轴方向的线位移，称为该截面的挠度。B x yAB1CC前提：梁的变形很小，水平方向的位移可以略去不计，前提：梁的变形很小，水平方向的位移可以略去不计， 即认为即认为C点只有垂直方向的位移。点只有垂直方向的位移。基于小变形假设基于小变形假设

3、cvvB x yAB1（2）转角（ ） ：横截面对其原来位置的角位移 , 称为该截面的转角。 横截面转动的角度。cvCCB x yAB1（3）挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线，或称梁的弹性曲线。挠曲线方程为1( )vf xCC2( )f xcv1( )vf xv与 是什么关系呢？B x yAB1（4）挠度与转角的关系基于小变形假设：基于小变形假设：挠曲线是一条非常平坦的平面曲线tandvvdxCC2( )f xcv1( )vf xB x yAB1（5）挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。转角：自 x 转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。CC2( )f xcv1( )vf x三、

4、梁的挠曲线近似微分方程式横力弯曲时, M 和 都是 x 的函数，略去剪力对梁的位移的影响, 则纯弯曲时曲率与弯矩的关系为zMEI1 11( ) ( )zM xxEIzEI 梁的抗弯刚度由几何关系知, 平面曲线的曲率可写作3221| |1( )1 ( ) vvxv 3221| |( )( )1 ( ) zvM xvxEIv ( )zM xvEI1=ddx回顾：弹性模量 课本第5.5节 拉（压）杆的变形、胡克定律A,=lNlNllANlElEAE 实验证明，当杆内的应力不超过材料的比例极限时，杆的伸长（或缩短）与轴力 、杆长 成正比，而与横截面面积成反比，即引入比例常数则式中, 称为弹性模量，表示

5、材料抵抗变形的能力。拉（压）杆的受力简图拉（压）杆的受力简图F FF F拉伸拉伸F FF F压缩压缩oabefesbPc材料的比例极限oa段为直线低碳钢的拉伸实验低碳钢的拉伸实验0oxyoxyMMMMM0M0在规定的坐标系中, x 轴水平向右为正, y 轴竖直向下为正。曲线向下凸 ( )zM xvEI0v 0v曲线向上凸 v与M的符号相反( )-zM xvEI此式称为1v 挠度的变化速率=转角转角的变化速率=-1/曲率半径vv（ 先正后负）（）010-2 10-2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形挠曲线的近似微分方程为：挠曲线的近似微分方程为：积分一次得转角方程为：积分一次得转角方程为：再

6、积分一次得挠度方程为：再积分一次得挠度方程为：22( )( )d vM xvEIvM xdxEI ( )EIvM x dxC ( )EIvM x dx dxCxD CD和 是积分常数，由边界条件和光滑连续条件求得。考虑简单的情况：考虑简单的情况：对等截面梁，对等截面梁，EIEI是常量是常量积分常数积分常数C C、D D 由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。由梁的位移边界条件和光滑连续条件确定。AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA0 A 位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件ARAL 弹簧变形弹簧变形 10-2 10-2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形在

7、梁的挠曲线上某些点的挠度或转角是已知的，即边界条件。任一点只有唯一确定的挠度和转角，即连续条件。0Av 0Av Av ALARvvALARvv例例1 1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解解1 1）由梁的整体平衡分析可得：）由梁的整体平衡分析可得：,0 AxF),( FFAy)(FlMA 2 2）写出）写出x x截面的弯矩方程截面的弯矩方程3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次积分一次再积分一次再积分一次BA AB BxyxlF FBy10-2 10-2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形22( )()d vEIM xF xld

8、x( )()M xF lxFlFx 22FxEIvEIFlxC 3226FlFxEIvxCxD4 4）由位移边界条件确定积分常数）由位移边界条件确定积分常数代入求解代入求解5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度BA AB BxyxlF FBy10-2 10-2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形00CD，0,0AAxv0,0Axv22FEIEIvFlxx23126FlEIvxFx在自由端在自由端23maxmax,23FlFlxlvEIEI10-2 10-2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形求梁的变形（挠度和转角），基本

9、步骤：求梁的变形（挠度和转角），基本步骤：求支座反力求支座反力梁整体平衡分析梁整体平衡分析列弯矩方程列弯矩方程弯矩随弯矩随X X的变化规律的变化规律M(x)M(x)列挠曲线的近似微分方程列挠曲线的近似微分方程( )-zM xvEI积分积分积一次得转角方程，积两次的挠度方程积一次得转角方程，积两次的挠度方程出现积分常数出现积分常数由边界条件和连续条由边界条件和连续条件积分，求积分常数件积分，求积分常数转角或位移已知转角或位移已知挠曲线连续光滑挠曲线连续光滑得到积分方程得到积分方程转角和位移方程转角和位移方程确定最大挠度和转角确定最大挠度和转角定性判断关键部位定性判断关键部位或通过求方程极值判断或

10、通过求方程极值判断积积分分常常数数得得到到确确定定检验检验10-2 10-2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形1 1）自由端集中力作用下，悬臂梁的挠度和转角）自由端集中力作用下，悬臂梁的挠度和转角23maxmax,23FlFlxlvEIEI22FEIEIvFlxx23126FlEIvxFx2 2）满跨均布荷载作用下，简支梁的挠度和转角）满跨均布荷载作用下，简支梁的挠度和转角34maxmax5,224384lqlqlxvEIEI 323(46)24qEIEIvxlxl433(2)24qEIvxlxl x自由端自由端跨中跨中讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？10-2

11、 10-2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？10-2 10-2 用积分法求梁的变形用积分法求梁的变形对于载荷有突变（集中力、集中力偶、分布载荷间断等）的情况，弯矩方程必须分段积分，每增加一段就多出两个积分常数。由于梁的挠度曲线为一连续光滑曲线，在分段点处，相邻两段的挠度和转角值必须对应相等。于是每增加一段就多提供两个确定积分常数的条件，这就是连续条件。 1.1.无论梁分多少段，总有足够的边界无论梁分多少段，总有足够的边界条件和连续条件定出所有的积分常数。条件和连续条件定出所有的积分常数。2.2.用二次积分法求梁的变形，虽繁琐，用

12、二次积分法求梁的变形，虽繁琐，但这是求梁变形的基本方法。但这是求梁变形的基本方法。小结小结10-3 10-3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为v v，则有：，则有： 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i )(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：所以，所以，22( )d vEIEIyM xdxiv( )iiEIvM x1( )( )ni

13、iM xM x11()( )nniiiiEIvEIvM x前提：前提：小变形和材料小变形和材料服从胡克定律服从胡克定律故故由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1nii重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是和。这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加原理。10-3 10-3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形1()niivv1niivv10-3 10-3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形在小变形和材料服从胡克定律的

14、条件下，由小挠度曲线微分方程得到的挠度和转角均与载荷成线性关系。因此，当梁承受复杂载荷时，可将其分解成几种简单载荷，利用梁在简单载荷作用下的位移计算结果，叠加后得到梁在复杂载荷作用下的挠度和转角，这就是叠加法。 例例3 3 已知简支梁受力如图示，已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求均为已知。求C C 截面截面的挠度的挠度v vC C ；B B截面的转角截面的转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解vC1vC2vC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的截面的挠度和挠度和B B截面的转角截面的转角。解解10-3 10-3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲

15、变形123CCCCvvvv123BBBB415384CqlvEI4248CqlvEI4316CqlvEI 3124BqlEI 3216BqlEI 333BqlEI3333132416311()48BBiiqlqlqlEIEIEIqlEI 4443145384481611()384CCiiqlqlqlvvEIEIEIqlEI 3 3） 应用叠加法，将简单载荷应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和作用时的结果求和 10-3 10-3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形yC1yC2yC3讨讨 论论叠加法求变形有什么优缺点？叠加法求变形有什么优缺点？10-3 10-3 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯

16、曲变形梁的刚度条件梁的刚度条件、校核刚度：、设计截面尺寸；、设计载荷。梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将其弹性变形限制在一定范围内，即满足刚度条件 maxmax vv建筑工程中的梁：建筑工程中的梁：（1 1）主要是强度条件控制，特殊情况）主要是强度条件控制，特殊情况下可能是刚度条件控制；下可能是刚度条件控制；（2 2）刚度条件主要控制最大挠度，对）刚度条件主要控制最大挠度，对转角一般不要求。转角一般不要求。强度条件强度条件截面尺寸截面尺寸刚度校核刚度校核完成设计完成设计刚度条件刚度条件满足满足不满足不满足10-4 10-4 梁的刚度计算和提高梁刚度的措施梁的刚度计算和提高梁刚度的措施1 1）增加梁的抗弯刚度）增加梁的抗弯刚度EIEI10-4 10-4 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施增大截面增大截面改变形状改变形状增大增大E E将圆形截面改为工字形、槽形或箱形，可使将圆形截面改为工字形、槽形或箱形，可使A A较小而较小而 I z较大。较大。2 2）调整梁的跨长和改变结构形式）调整梁的跨长和改变结构形式改改变变支支座座形形式式10-4 10-4 提高弯曲刚度的一些措施提高弯曲刚度的一些措施2 2）调整梁的跨长和改变结构形式）调