圆的旋转不变性合

1、问题讨论问题讨论问题问题1、如图、如图1, ,在在O O中中,B,D,E,B,D,E的大小有什么关的大小有什么关系系? ?为什么为什么? ?图图1问题问题2、如图、如图2，AB是是O的直径，的直径，C是是O上任一点，上任一点，你能确定你能确定BACBAC的度数吗的度数吗? ?BAOC图图2问题问题3、如图、如图3，圆周角，圆周角BAC =90，弦，弦BC经过圆心经过圆心O吗？为什么？吗？为什么？B = D= EBAC =90OBACDEOBCA图图3问题解答问题解答1、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论1：同圆或等圆中，同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆

2、或等圆中，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。相等的圆周角所对的弧也相等。2、圆周角定理的推论、圆周角定理的推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。的圆周角所对的弦是直径。用于找相等用于找相等的角的角用于找相用于找相等的弧等的弧用于判断某用于判断某个圆周角是个圆周角是否是直角否是直角用于判断某用于判断某条线是否过条线是否过圆心圆心圆的对称性圆的对称性 圆的轴对称性圆的轴对称性（圆是轴对称图形）（圆是轴对称图形）垂径定理垂径定理及其推论及其推论圆的中心对称性圆的中心对称性（旋转不变性）（旋转不变性）等对等定理等对等定理在在同圆

3、同圆或或等圆等圆中中, ,如果如果两个圆心角两个圆心角, ,两条弧两条弧, ,两条两条弦弦, ,两条弦两条弦心距，心距，两个圆周角两个圆周角中中, ,有一组量相等有一组量相等, ,那那么它们所对应的其余各组量都分别相等么它们所对应的其余各组量都分别相等. .知一推二知一推二知一推四知一推四OABAB下面的说法正确吗下面的说法正确吗?为什么为什么?如图如图,因为因为 BOAAOB，根据圆心角、弧、弦、根据圆心角、弧、弦、弦心距的关系定理可知：弦心距的关系定理可知： BAAB例例1 1、如图，等边三角形、如图，等边三角形ABCABC内接于内接于O,O,连结连结OA,OB,OCOA,OB,OC AO

4、B AOB 、COBCOB、 AOCAOC分别为多少度？分别为多少度？延长延长AOAO，分别交，分别交BCBC于点于点P P，BCBC于于点点D,D,连结连结BD,CD.BD,CD.判断三角形判断三角形是哪一种特殊三角形？是哪一种特殊三角形？判断四边形判断四边形BDCOBDCO是哪一种特殊四是哪一种特殊四边形，并说明理由。边形，并说明理由。若若O O的半径为的半径为r,r,求等边求等边三角形三角形ABCABC的边长？的边长？若等边三角形若等边三角形ABCABC的边长的边长r,r,求求O O的半径为多少？的半径为多少？ 当当r = r = 时求圆的半径时求圆的半径? ? 23例例2、 如图，已知

5、点如图，已知点O是是EPF 的平分线上一点，的平分线上一点，P点点在圆外，以在圆外，以O为圆心的圆与为圆心的圆与EPF 的两边分别相交于的两边分别相交于A、B和和C、D。 求证：求证：AB=CD.MNPABECDFO.PBEDFOAC.如图，如图，P P点在圆上，点在圆上，PB=PDPB=PD吗？吗？ P P点在圆内，点在圆内，AB=CDAB=CD吗？吗？变式练习：变式练习：PBEMNDFOMN已知：如图，在已知：如图，在ABC中，中，AB=AC,以以AB为直径的圆交为直径的圆交BC于于D,交交AC于于E,求证：求证：BD=DE证明证明：连结：连结AD.AB是圆的直径，点是圆的直径，点D在圆上

6、，在圆上，ADB=90，ADBC，AB=AC，AD平分顶角平分顶角BAC，即，即BAD=CAD， BD= DE（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等（同圆或等圆中，相等的圆周角所对弧相等）。）。ABCDE（3 3）如果要把直径为）如果要把直径为30cm30cm的圆柱形原木锯成一根横截的圆柱形原木锯成一根横截面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？面为正方形的木材，并使截面尽可能地大，应怎样锯？最大横截面面积是多少？最大横截面面积是多少？解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：解：如图，所得的四边形是矩形，理由如下：A AO OD DC CB BACAC，BDBD是是O O的直径的直径A

7、O=OC=OB=ODAO=OC=OB=OD四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形又又AC=BDAC=BD四边形四边形ABCDABCD是矩形是矩形当当ACBDACBD时，四边形时，四边形ABCDABCD是正方形是正方形AC=BD=30cmAC=BD=30cmAO=BO=15cmAO=BO=15cmSS正方形正方形ABCDABCD=15=1515152 24=4504=450（cmcm2 2） =4.5 =4.51010-2-2（m m2 2）V=4.5V=4.51010-2-215=0.67515=0.675（m m3 3）化化心心动为动为行行动动驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸2.如

8、如图，图，P是是ABC的外接圆上的一点的外接圆上的一点APC=CPB=60。求证：。求证：ABC是等边三角形是等边三角形APBCO证明：证明：ABC和和APC 都是都是所对的圆周角。所对的圆周角。 ACABC=APC=60(同弧所对的圆周角相等）同弧所对的圆周角相等）同理，同理，BAC和和CPB都是都是所对的圆周角，所对的圆周角，BCBAC=CPB=60。ABC等边三角形。等边三角形。3: 船在航行过程中，船长常常通过测定角船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。如图度来确定是否会遇到暗礁。如图A,B表示灯表示灯塔，暗礁分布在经过塔，暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区两点的

9、一个圆形区域内，域内，C表示一个危险临界点，表示一个危险临界点，ACB就是就是“危险角危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角危险角”时，就有可能触礁。时，就有可能触礁。ABECPO弓形所含的圆周角弓形所含的圆周角C=50,问船在航问船在航行时怎样才能保证不行时怎样才能保证不进入暗礁区进入暗礁区?（1）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角大于大于“危险角危险角”时，船位于哪个区域？为什么？时，船位于哪个区域？为什么？（2）当船与两个灯塔的夹角）当船与两个灯塔的夹角小于小于“危险角危险角”时，船位于哪个区域？为什么？时，船位于哪个区域？为什么？ABECPO4.一

10、一个圆形人工湖个圆形人工湖,弦弦AB是湖上的一座桥是湖上的一座桥,已知已知桥桥AB长长100m.测得圆周角测得圆周角C=45求这个人求这个人工湖的直径工湖的直径.ABC一个圆形人工湖一个圆形人工湖,弦弦AB是湖上的一座桥是湖上的一座桥,已知桥已知桥AB长长100m.测得圆周角测得圆周角C=45求这个人工求这个人工湖的直径湖的直径.ABCD5.说出命题说出命题圆的两条平行弦所夹的弧相等圆的两条平行弦所夹的弧相等”的逆命题的逆命题.原命题和逆命题都是真命题吗原命题和逆命题都是真命题吗?请请说明理由说明理由.6.已知已知:四边形四边形ABCD内接于圆内接于圆,BD平分平分ABC,且且ABCD.求证求

11、证:AD=CB. ABCD7.如如图图:AB是是 O的直径的直径,弦弦CDAB于点于点E,G是是上任意一点上任意一点,延长延长AG,与与DC的延的延长线相交于点长线相交于点F,连接连接AD,GD,CG,找出图找出图中所有和中所有和ADC相等的角相等的角,并说明理由并说明理由.ACABDGFCEO1.如如图图, O中中,AB是直径是直径,半径半径COAB,D是是CO的中点的中点,DE / AB,求证求证:弧弧EC=弧弧2EA.ABEODC2，已知，已知BC为半圆为半圆O的直径，的直径，AB=AF,AC交交BF于点于点M，过，过A点作点作ADBC于于D，交，交BF于于E，则，则AE与与BE的大小有

12、什么关系？的大小有什么关系？为什么？为什么？BCOAFMDE3.如如图图 A与与 B是两个等圆是两个等圆,直线直线CFAB,分别交分别交 A于点于点C、D，交，交 B于点于点E、F。求证：求证：CAD=EBFABCDEFGHDBBC4.如图如图,AB是是 O的直径的直径,P是是AB上一点上一点,C、D分别是圆上分别是圆上的点的点,且且CPB=DPB,弧弧,试比较线段试比较线段PC、PD的大小关系的大小关系.5.点点A是半圆上的三等分点是半圆上的三等分点,B是弧是弧NA的中点的中点,P是直径是直径MN上一动点上一动点. O的半径为的半径为1,问问P在直线在直线MN上什么位置上什么位置时时,AP+BP的值最小的值最小?并求出并求出AP+BP的最小值的最小值.N NM MB BP PA AO OD DC CB BP PA AO OOABCD6. 如图，如图，