第七章行列式

1、 第七章第七章 行列式行列式实训目标1.理解二阶行列式、三阶行列式、n2.了解行列式的性质和几个常用的特殊行列式并利用“三角化”计算行列式。阶行列式的定义。3.了解克莱姆法则，并会用克莱姆法则解方程。一、二阶行列式的定义一、二阶行列式的定义记号记号 表示代数和表示代数和 ，称为，称为二阶行列式。即二阶行列式。即 其中数叫做其中数叫做行列式的元素，横排叫做行，竖排叫做列。元行列式的元素，横排叫做行，竖排叫做列。元素的第一个下标素的第一个下标i叫做行标，表明该元素位叫做行标，表明该元素位I行，第二个下标行，第二个下标j叫做列标，表明该元素位于第叫做列标，表明该元素位于第j列。列。 22211211

2、aaaa21122211aaaa2112121122211211aaaaaaaa 由上述定义可知，二阶行列式是由由上述定义可知，二阶行列式是由4个数按一个数按一定的规律运算所得的代数和。这个规律性表定的规律运算所得的代数和。这个规律性表现在行列式的记号中就是现在行列式的记号中就是“对角线法则对角线法则”。如图如图10-1-1所示，把到的实连线称为主对角所示，把到的实连线称为主对角线，把到的虚连接线称为副对角线，于是，线，把到的虚连接线称为副对角线，于是，二阶行列等于主对角线上两元素之积减去去二阶行列等于主对角线上两元素之积减去去副对角线上两元素之积。副对角线上两元素之积。2111aa2212a

3、a二、三阶段行列式定义二、三阶段行列式定义 下面，我们利用二阶行列式的概念来讨论二元线性下面，我们利用二阶行列式的概念来讨论二元线性方程组的解。方程组的解。 设有二元线性方程组设有二元线性方程组22221211212111bxaxabxaxa)2 . 1 () 1 . 1 (得）式（）式（12222 . 11 . 1aa122221121122211ababxaaaa）（)3 . 1 (得）式（）式（21111 . 12 . 1aa211112221122211ababxaaaa）（)4 . 1 (利用二阶行列式的定义，记利用二阶行列式的定义，记2221121121122211aaaaaaaa

4、D2221211222211ababababD2211112111122babaababD则式（1.3）、式（1.4）可改写为2211,DDxDDx0D于是，在系数行列式 的条件下，式（1.1）、式（1.2）构成的方程组有唯一解：DDx11DDx22例例1 解方程组解方程组 328322121xxxx解解 713)2(22132D7) 3(3)2(823381D1418) 3(238122D因0D，故题设方程组有唯一解 17711DDx271422DDx二、三阶段行列式定义二、三阶段行列式定义类似地，我们定义三阶行行列式类似地，我们定义三阶行行列式31221333211232231132211

5、3312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa将上式右端按第一行的元素提取公因子，可得)()()(312232211331233321123223332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa)5 . 1 (式（1.5）具有两个特点：（1）三阶行列式可表示为第一行元素分别与一个二阶行列式乘积的代数和； 11a12a13a11a12a13a11a12a13a，（2）元素 ， ， 后面的二阶

6、行列式是从原来三阶行列式中分别划去元素 ， ， ，所在的行与列后剩下的元素按原来顺序所组成的，分别称其为元素 ， ， ，11a的余子式，余子式，记为 ,即131211,MMM3332232211aaaaM3331232112aaaaM3231222113aaaaMijjiijMA) 1(ija令令 ，称其为元素 的代数余子数代数余子数 于是，式（1.5）也可以表示为3111131312121111333231232221131211jjjAaAaAaAaaaaaaaaaa式（1.6）称为三阶行列式按第一行展开的展开式第一行展开的展开式)6 . 1 (注注：根据上述推倒过程，读者也可以得到三阶行

7、列式按其它行或列展开的展开式，例如，三阶行列式按第二列展开的展开式为3122323222221212333231232221131211iijAaAaAaAaaaaaaaaaa此外，关于三阶行列式的上述概念也可以推广到更高阶的行列式中去 （1.7） 601504321例例2 计算三阶行列式解解 按第一行展开，得131211321601504321AAA5803)29(2010104) 1(36154) 1(26050) 1(1312111注注：读者可尝试将行列式按第二列展开进行计算三、三、n阶行列式的定义阶行列式的定义前面，我们首先定义了二阶行列式，并指出了三阶行列式可通过按行或列展开的方法转

8、化为二阶行列式来计算。一般地，可给出 阶行列式的一种归纳定义。n2nija定义定义 由 个元素 （i，j=1,2，n）组成的记号nnnnnnnaaaaaaaaaD212222111211称为n阶行列式，阶行列式，其中横排称为行，行，竖排称为列列。它比奥斯一个由确定的递推运算关系所得到的数：当n=1时，规定 ；当n=2时，111aD 21122211222112112aaaaaaaaD当n2时，jnjjnnnAaAaAaAaD1111112121111)8 . 1 (ijAija其中 称为元素 的代数余子式代数余子式，且ijjiijMA) 1(ijMijanDija这里 为元素 的余子式，余子式

9、，它是 在中划去元素 所在的行与列后余下的元素按原来顺序构成的n-1阶行列式。例如例如，在四阶行列式44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 32a中，元素 的余子式和代数余子式为34333124232114131132aaaaaaaaaN32322332) 1(MMA4D4356140327001025例例3 计算行列式解解 由行列式的定义，有270451364) 1()5(102270451) 1(3411145D2745) 1(21027) 1(1331112736) 1(12745) 1()4(52111466)2112()28

10、10()4(5)2810(273式（1.8）称为n阶行列式按第一行展开的展开式按第一行展开的展开式。事实上，我们可以证明n阶行列式可按其任意一行或列展开，例如，将定义中的n阶行列式按第i行或第j列展开，可得展开式nkikikininiiiinAaAaAaAaD12211），n21(i）（ 9 . 1nkkjkjnjnjjjjjAaAaAaAaD12211n)n2 , 1(， j）（ 10. 1或 例例4 计算行列式57108000629020143D解解 因为第三列中有三个零元素，可按第三列展开，得578006123) 1(232D对于上面的三阶行列式，按第三行展开，得2006123) 1(5

11、233D注：注：由此可见，计算行列式时，选择先按零元素多的行或列展开可大大简化行列式的计算，这是计算行列式的常用技巧之一 四、几个常用的特殊行列式四、几个常用的特殊行列式形如nnnnaaaaaa00022211211与 annaaaaann21222111000的行列式分别称为上三角形行列式上三角形行列式与下三角形行列式下三角形行列式，其特点是主对角线一下或以上的元素全为零。我们先来计算下三角形行列式的值。根据n阶行列式的定义，每次均通过按第一行展开的方法来降低行列式的阶数，而每次第一行都仅有第一项不为零，故有nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaa323332221111212221110

12、00) 1(000nnnnnnaaaaaaaaaaa221143444333112211000) 1(对上三角形行列式，我们可通过每次按最后一行展开的方法来降低行列式的阶数，而每次最后一行都仅有最后一项不为零，同样可得nnnnnnaaaaaaaaa221122211211000特别的，非主对角线上元素全为零的行列式称为对角行列式，易知nnnnaaaaaa22112211000000综上所述可知，上、下三角形行列式和对角行列式的值都等于其主对角线上元素的乘积。习题习题 7-11.计算下列二阶行列式 （1）4131 （2）2112 (3)22baba 原式 11341.习题习题 解答解答原式. 5

13、) 1(122原式 .22abababba2.计算下列三阶行列式：231404532630351241（1）（2）231404532 450311253314243012312111.48128424 63035124132340623416335123643365. 9624930 3.求行列式123040253中元素2和-2的代数余子式。112311211（3）112311211321121211113111 2131221) 1(13111. 5462131 ; 03040113;293543123元素2的代数余子式为 元素-2的代数余子式为 4.已知四阶行列式D中第三列元素以此为-1，

14、2，0，1它们的余子式依次为5，3，-7， 4，求D。 41703251D.15 5.证明：322)(11122babbaababa00122222221213ababaabaabaccccabababaab2212221321abaabab3ba 左边=右边.6.按第三列展开下列行列式，并计算其值：011111101101dcba （1） 111110101011110101011111101011111110bcba1111011111110111ba1110111111100111dc.dba原式=（2）00000000052514241323125242322211514131211a

15、aaaaaaaaaaaaaaa00000000052514241323125242322211514131211aaaaaaaaaaaaaaaa. 000000000000052514241323115141211235251424132312524222113aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa7.2 行列式的性质行列式的性质一、行列式的性质一、行列式的性质TDD将行列式D的行与列互换后得到的行列式，称为D的转置转置行列式行列式，记为 或 即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211nnnnnnTaaaaaaaaaD212221212111若，则 性质性质1 行列式与它

16、的转置行列式相等，即TDD 注：注：由性质1知道，行列式中的行与列具有相同的地位，行列式的行具有的性质，它的列也同样具有。性质性质2 交换行列式的两行（列）。行列式变号。注：注：交换i，j两行（列）记为)(jijiccrr。推论推论1 若行列式中有两行（列）的对应元素相同，则此行列式为零。DD0D证明证明 互换D中相同的两行(列)，有 ，故 。kk性质性质3 用数 乘行列式的某一行（列），等于用数乘此行列式，则kDaaaaaaaaakaaakakakaaaaDnnnniniinnnnniniin2121112112121112111kkrikci注：注：第i行（列）乘以 ，记为 （或 ）。 推

17、论推论2 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。推论推论3 行列式中若有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。例如，行列式 ，因为第一列与第二列对应元素成比例，根据推论 3，可直接得到。 4103614532D04103614532D1333231232221131211aaaaaaaaa33231332221231211155102336aaaaaaaaa例例1 设，求333231232221131211332313322212312111535353255102336aaaaaaaaaaaaaaaaaa解解3015) 3(25) 3(233323123222113

18、1211aaaaaaaaa性质性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，设nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaD21221111211则21212111211212111211DDaaacccaaaaaabbbaaaDnnnniniinnnnniniin性质性质5 将行列式的某一行（列）的所有元素都乘以数 后加到另一行（列）对应位置的元素上，行列式的值不变。kkji例如，以数 乘以第 列加到第 列上，则有)(1122222111111112222111111jiDaakaaaaakaaaaakaaaaaaaaaaaaaaaDnnnjnjninnjjinjjinnnjnin

19、njinji证明证明 nnnjnjnnjjnnnjninnjiaakaaaakaaaaaaaaaaD11111111111114性质3推论DD0 kjijikrr kjijkcc 1注：注：以数 乘第 行加到第 行上，记作 ；以数 乘第 列加到第 列上，记作。二、利用二、利用“三角化三角化”计算行列式计算行列式注：注：今大部分用于计算一般行列式的计算机程序都是按上述方法进行设计的。可以证明，利用行变换计算n阶行列式需要大约 次算术运算。任何一台现代的微型计算机都可以在几分之一秒内算出50阶行列式的值，运算量大约为83300次。如果用行列式的定义来计算，其运算量大约为4950！次，这显然是个非常

20、大的数值。3/23n3/23n3142313150111253D例例2 计算D21cc314231311253501114125rrrr71622141162830001解解 32rr 76122411168230001242384rrrr15101210811000020313445rr 402/51012081100002031例例3 计算3111131111311113D解解 注意到行列式中各行（列）4各数之和都为6，故可把第二，三，四行同时加到第1行，提出公因子6，然后各行减去第1行，化为上三角形行列式来计算：D4321rrrr31111311113111116311113111131

21、6666141312rrrrrr4820000200002011116注：注：仿照上述方法可得到更一般的结果：1)() 1(nbabnaabbbbbabbbba习题习题7-21.用行列式的性质计算下列行列式：（1）29092280923521534215 习题解答习题解答29092280923521534215100028092100034215128092134215100028092342151000.6123000= 600300301395200199204100103600300301395200199204100103100030015200141003031521413 行列式中

22、第1列的三个数分别与100，,200，300较接近，而第3列的数与200,400,600相近，故可把第2列的-1倍及-2倍分别加至第1列与第3列，第2列再提取公因数100，便可化简计算，即 =（2）.20005548100001551483 =100（3）efdeaecfcdacbfbdabefdeaecfcdacbfbdabadfeeecccbbb111111111111111111adfbceadfbce.4021201001adfbceadfbcedcba110100011001（4）dcba110100011001dcbaabrar100110011010210101111011011

23、12312cdcadaabdccdcaab. 11111123adcbababcdcdadab711002510202142141111111111111111； （5）；（6）7110025102021421432347cccc0110142310202110214424121cccc. 00100142171720001029911111111111111112000220022201111 =82.用行列式的性质证明下列等式 xzyyxzzyxzyyxxzxzzyyxyxxzzy2zyyxxxzzyyyxxzzzyyxzxzzyxyxxzyyyxzzzyxxxzyzyyxxzzyyxxz

24、2zyxxzyyxzyxzzyxxzyxzyyxzzyx右边.左边=3.已知255,459，527都能被17整除，不求行列式的值，证明行列式 能被17整除。79525554279525554217527459255255542312715255542312715255542795255542 =因为是整数，所以能被17整除.4.把下列行列式化为上三角形行列式，并计算其值：1350523401122342（1）1350523401122342213505232011123411350185224310001215401106220110001210754013106200110001714013

25、2620011000113140126200110001101134012620011000110.27027134001620011000110=2=3214214314324321（2）3214214314324321103211021410143104321032112141143143212011102240313043211110111031104321.160400022003110432120= = =2100012100012100012100012（3）D5610001451000134100012300001221000145100013410001230000122100

26、0121000134100012300001221000121000121000123000012. 65645342325.用降阶法计算下列行列式：yyxx1111111111111111（1）；yyx0010010010001yyxx111011101110111yyxxyyxxy110110111111111112xxy 2yyxyy1111002.11222222yxyxxyxy原式= 0000bbaaabbaaaba（2）432,CCC1Cbabbbaaabababaababa202020220101011abaabaababa2abaabbabbaaaba000001ba2abaa

27、bbabbaa00.42222abbaabababba将都加到,得=xyyxyxyx000000000000110000110001002211nnaaaaaa（3） （4）xxyxyx0000000yn 11yxyxxy000000.) 1(1nnnyx原式= 1n110000110001000221nnaaaaan1111nnnnaaaaa0000000221 .1121nnaaan将第2列至第列分别加到第1列，得 = 原式=7.3 克莱姆法则克莱姆法则引例引例 对三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa在其系数行

28、列式 的条件下，已知它有唯一解：0DDDx11DDx22DDx33,，,其中333231232221131211aaaaaaaaaD 3332323222131211aabaabaabD 3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 注：注：这个解可通过消元的方法直接求出。1x2xnx对更一般的线性方程组是否有类似的结果？答案是肯定的。在引入克莱姆法则之前,我们先介绍有关n元线性方程组的概念，含有n个未知数 ， ， 的线性方程组,，nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111

29、) 1 . 3(1b2bnb1b2bnb称为n元线性方程组元线性方程组。当其右端的常数项 ， ， 不全为零时，线性方程组（3.1）称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组，当 , , 全为零时，线性方程组（3.1）称为齐次线性方齐次线性方程组程组，即， 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa)2 . 3(线性方程组（3.1）的系数 构成的行列式称为该方程组的系数行列式系数行列式D，即ijannnnnnaaaaaaaaaD212222111211定理定理1（克莱姆法则）（克莱姆法则） 若线性方程组（3.1）的系数行列式 ，则线性方程组（3.1

30、）有唯一解，其解为0DDDxjj)2 , 1(nj， )3 . 3()21(njDj，ja1ja2nja1b2bnb其中 ,是把D中第j列元素 , , 对应地换成常数项 , , ，而其余各列保持不变所得到的行列式。,例例1 用克莱姆法则解方程组 067452296385243214324214321xxxxxxxxxxxxxx6261710542311012D21242rrrr122613710572370010解解 12772121357212322cccc2723732037710538162617105423105981D10862617105059801022D276261059842

31、3110123D270598710542311012D所以3278111DDx42710822DDx1272733DDx1272744DDx， ，, ，例例2 大学生在饮食方面存在很多问题，多数大学生不重视吃早餐，日常饮食也没有规律，为了身体的健康就需注意日常饮食中的营养。大学生每天的配餐中需要摄入一定的蛋白质、脂肪和碳水化合物，表7-3-1给出了这三种食物提供的营养以及大学生的正常所需的营养（它们的质量以适当的单位计量）表表7-3-1营养单位食物所含的营养所需营养食物一食物二食物三蛋白质36511333脂肪071.13碳水化合物52347445试根据这个问题建立一个线性方程组，并通过求解方程

32、组来确定每天需要摄入的上述三种食物的量。1x2x3x解解 设 , , 分别为三种食物的摄入量，则由表中的数据可得出下列线性方程组：4574345231 . 173313513632132321xxxxxxxx由克莱姆法则可得8 .154867434521 . 170135136D3 .42937434451 . 1731351331D6 .60697445521 . 1301333362D36124534523703351363D则277. 011DDx392. 022DDx233. 033DDx，从而我们每天输入0.277个单位的食物一、0.392个单位的食物二、0.233个单位的食物三就可

33、以保证我们的健康饮食了 一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的。对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解。目前用计算机解线性方程组已经有了以整套成熟的方法 克莱姆法则在一定条件下给出了线性方程组解的存在性、唯一性，与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。撇开求公式（3.3），克莱姆法则可叙述为下面的定理 定理定理2 如果线性方程组（3.1）的系数行列式 ，则线性方程组（3.1）一定有解，且解是唯一的。0D定理定理2 如果线性方程组（3）无解或解不是唯一的，则它的系数行列式必为零。 对齐次线性方程组（3.2），易见 一定是该方程组的解，称其

34、为齐次 021nxxx线性方程组（3.2）的零解零解。把定理2应用于齐次线性方程组（3.2），可得到下列结论。定理定理3 如果齐次线性方程组（3.2）的系数行列式 ，则齐次线性方程组（3.2）只有零解。0D定理定理3 如果齐次线性方程组（3.2）有非零解，则它的系数行列式0D注：注：在第9章中还将进一步证明，如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次线性方程组（3.2）有非零解。0D例例1 1 为何值时，齐次线性方程组0)1 (0)3(2042)1 (321321321xxxxxxxxx有非零解？解解 由定理3知，若所给齐次线性方程组有非零解，则其系数行列式0D 111132421D12cc 1

35、011124311141) 1)(1 (1112) 1)(3(2221（按第二了展开） 4)1)(1 ( 1)1 (2)3(2)3)(2(3)1 (2)1 (230D023如果齐次线性方程组有非零解，则 ,即 或 时，齐次线性方程组有非零解 习题习题7-31.用克莱姆法则解下列线性方程组：44522272532zyxzyxzyx(1).习题解答习题解答,634547222213,634527252111DD45272252312D45472222131DDDx1, 16363DDy2, 263126. 3631893DDz126，于是得 189003202azcxbcbzcyabaybx0ab

36、c； (2)，其中,503200abcacbcabD,500320221bcaabcbcaabD,50300222cabacbbcabbD,5020223abcacbccababD,5521aabcbcaDDx,5522babccabDDy.5523cabcabcDDx于是得2.用克莱姆法则解下列线性方程组：01123253224254321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx(1).,142D,142112105132412211151D,284112035122412111512D,426110135232422115113D,14202132132212151114D

37、1, 3, 2, 144332211DDxDDxDDxDDx24324322256511324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx (2), 01043114312251151132D, 0431243122512511361D,20432143222521511622D, 042114212221156323D, 0231123122511611324D, 010 D, 01D,202D, 03D, 04D, 010011DDx, 2102022DDx, 010033DDx. 010044DDx系数行列式系数行列式于是得 3.医院营养师为病人配制的一份菜肴由蔬菜，鱼

38、和肉松组成，这份菜肴需含1200cal热量，30g蛋白质和300mg维生素C，已知三种食物每100g中有关营养的含量如下表所列：蔬菜鱼肉松热量/cal60300600蛋白质/g396维生素C/mg906030试求所配菜肴中每种食物的数量。21,xx30030609030693120060030060321321321xxxxxxxxx1023102320105321321321xxxxxxxxx0461232311051D,7012102310105201D,11011032101102012D301023103120513D,65. 04630,39. 246110,52. 14670321

39、xxx设每份菜肴中蔬菜，鱼和肉松的数量分别为（单位100g），简化得 由于系数行列式 故方程组有唯一解，又容易算得所以方程组的解为即每份菜肴中应有蔬菜152g，鱼239g和肉松65g.那么由已知条件可得线性方程组4.判断齐次线性方程组0285042022321321321xxxxxxxxx是否仅有零解。 , 03022180421960285421122D, 0321DDD但 所以方程组仅有零解.,0200321321321xxxxxxxxx5. 取何值时，齐次线性方程组 有非零解？01211111D, 0D00, 101齐次线性方程组有非零解，则即或不难验证，当或时，该齐次线性方程组确有非零

40、解。nnn实训目标一、知识小结1.目的要求(1)理解二阶行列式、三阶行列式、(2)了解行列式的性质和几个常用的特殊行列式并利用“三角化”计算行列式。(3)了解克莱姆法则，并会用克莱姆法则解方程。2.重点难点重点：二阶行列式、三阶行列式、 阶行列式的定义，行列阶行列式的定义、用克莱姆法则解方阶行列式的定义。式的性质克莱姆法则。难点：三阶行列式、程，几个常用的特殊行列式并利用“三角化”计算行列式。22221211212111bxaxabxaxa)2 . 1 () 1 . 1 (得）式（）式（12222 . 11 . 1aa122221121122211ababxaaaa）（) 3 . 1 (得）式

41、（）式（21111 . 12 . 1aa211112221122211ababxaaaa）（)4 . 1 (2221121121122211aaaaaaaaD2221211222211ababababD2211112111122babaababD2211,DDxDDx0DDDx11DDx223.学习指导（1）几个重要的概念1）二阶行列式的有关概念：利用二阶行列式的概念来讨论二元线性方程组的解。设有二元线性方程组 利用二阶行列式的定义，记 则式（1.3）、式（1.4）可改写为于是，在系数行列式 的条件下，式（1.1）、式（1.2）构成的方程组有唯一解：3122133321123223113221

42、13312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa)()()(312232211331233321123223332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa323122211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa)5 . 1 (2）三阶行列式的概念：将上式右端按第一行的元素提取公因子，可得 11a12a13a11a12a13a11a12a13a131211,MMM3332232211aaaaM3331232112aaaaM3231222113a

43、aaaM)6 . 1 (式（1.5）具有两个特点：（1）三阶行列式可表示为第一行元素分别与一个二阶行列式乘积的代数和；（2）元素，后面的二阶行列式是从原来三阶行列式中分所在的行与列后剩下的元素按原来顺序所的余子式，余子式，记为,即别划去元素组成的，分别称其为元素ijjiijMA) 1(3111131312121111333231232221131211jjjAaAaAaAaaaaaaaaaa令，称其为元素于是，式（1.5）也可以表示为的代数余子数代数余子数。ija3122323222221212333231232221131211iijAaAaAaAaaaaaaaaaa2nijannnnnnnaaaaaaaaaD212222111211式（1.6）称为三阶行列式按第一行展开的展开式第一行展开的展开式注注：根据上述推倒过程，读者也可以得到三阶行列式按其它行或列展开的展开式，例如，三阶行列式按第二列展开的展开式为 此外，关于三阶行列式的上述概念也可以推广到更高阶的行列式中去。3）n阶行列式的定义由 个元素（i，j=1,2，n）组成的记号（1.7）称为n阶行列