第1章质点运动学学习教案

1、会计学1第第1章质点章质点(zhdin)运动学运动学第一页，共58页。2运动运动(yndng)是普遍的、绝对的。运动是普遍的、绝对的。运动(yndng)的描述的描述是相对的。是相对的。 坐标系坐标系 为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系上建立的带有标尺的数学坐标上建立的带有标尺的数学坐标, ,简称简称坐标系坐标系。 参考系 为了描述一个物体的运动而选定的另一个作为为了描述一个物体的运动而选定的另一个作为参考的物体，叫参考的物体，叫参考系参考系。1-1 参考系和坐标系参考系和坐标系 要描述物体的运动要描述物体的运动, ,首先应选取一个合适的参考系，并在

2、参考首先应选取一个合适的参考系，并在参考系中建立适当的坐标系系中建立适当的坐标系, ,否则就无从否则就无从(wcng)(wcng)讨论物体的运动讨论物体的运动. .第1页/共58页第二页，共58页。3常用的坐标系：常用的坐标系： 直角坐标直角坐标(zh jio zu bio)系系(a)，柱坐标系，柱坐标系(b)，球坐标，球坐标系系(c)，极坐标系，极坐标系(d)，自然坐标，自然坐标(e)，.P(r, )o reer (d)on P s(e)(a)xyzoXYZP(x,y,z) oXYZP(r, , )r(c) zoXYZP(r, ,z)r(b)第2页/共58页第三页，共58页。41. 质点质点

3、(zhdin)模型模型如果物体的大小和形状在所研究的问题中不如果物体的大小和形状在所研究的问题中不起作用或作用很小起作用或作用很小, 就可以把物体抽象为只就可以把物体抽象为只有有(zhyu)质量的几何点。质量的几何点。2. 刚体刚体(gngt)模型模型在外力的作用下保持其大小、形状不变的在外力的作用下保持其大小、形状不变的物体物体, 称为称为刚体刚体。1-2 理想模型理想模型 以对理想模型的研究来代替对实际物体的研究以对理想模型的研究来代替对实际物体的研究, 这是物这是物理学中常用的研究方法。理学中常用的研究方法。第3页/共58页第四页，共58页。51. 位置矢量位置矢量 描述一个描述一个(y

4、 )质点在空间的位置的矢量。质点在空间的位置的矢量。xyzr(1)定义：定义： 从坐标原点从坐标原点O指向质点指向质点P的有向线段叫做的有向线段叫做P点的点的 位置矢量，简称位置矢量，简称位矢位矢。用。用 表示。表示。r 直角坐标直角坐标(zh (zh jio zu bio)jio zu bio)系中系中一.线参量(cnling)oXYZP(x,y,z)x,y,z是是 沿坐标轴的三个分量。沿坐标轴的三个分量。r1-3 物理参量物理参量(线参量、角参量线参量、角参量 )kzj yi xr jkioPr 第4页/共58页第五页，共58页。6222zyxrr 位置矢量 的大小(dxio)(位矢的模)

5、即质点P到坐标原点o的距离r位 置 矢 量 的 方 向位 置 矢 量 的 方 向 (f n g x i n g )， 可 由 其 方 向， 可 由 其 方 向(fngxing)余弦确定余弦确定:xyzroXYZP(x,y,z)1coscoscos222 rzryrx cos,cos,cosoXYZP(x,y,z)xyz r第5页/共58页第六页，共58页。7(2)运动方程运动方程(fngchng)与轨道与轨道方程方程(fngchng) )(),(),(tzztyytxx ktzjtyitxtr)()()()( 或或 质点运动时，它的位置矢量随时间变化的函数质点运动时，它的位置矢量随时间变化的函

6、数 称为称为质点的质点的运动方程运动方程。 )(tr)(trr 直角坐标系中，质点直角坐标系中，质点(zhdin)(zhdin)运动方程的具运动方程的具体形式为：体形式为：也称为也称为(chn wi)轨道参数方程轨道参数方程0),( zyxf从轨道参数方程中从轨道参数方程中消去参数消去参数 t，可得到质点运动的，可得到质点运动的轨道方程轨道方程 第6页/共58页第七页，共58页。8解：解：M的位置矢量：的位置矢量：j yi xr 图中几何图中几何(j h)关系：关系：tbytax cossin j tbi tatr cossin)( 运动运动(yndng)方程方程： xyrXABaboMY 例

7、例1 一杆一杆AB可沿十字架可沿十字架X-Y滑轨上移动，滑轨上移动，A端始终与端始终与Y轴接轴接触，触，B端始终与端始终与X轴接触。在滑动过程中，轴接触。在滑动过程中， 角随时间的变化角随时间的变化规律为规律为 ， 为常数，在杆上有一点为常数，在杆上有一点M，且，且 ， 。试写出点。试写出点M的运动方程及轨道方程。的运动方程及轨道方程。 t aMA bMB 第7页/共58页第八页，共58页。9消去消去 t 得轨迹得轨迹(guj)方程：方程： 12222 byax思路(sl)：(1)确定M的位置矢量；(2) 确定坐标与时间(shjin)的变化关系；(3)写出运动方程及参数方程；(4) 消去 t,

8、 得到轨迹方程。即即M点的运动轨迹是一椭圆。点的运动轨迹是一椭圆。参数方程：参数方程： tbytax cossin XABaboMYxyr 第8页/共58页第九页，共58页。10 定义定义(dngy)(dngy)： 质点在一段时间内位置矢量的改变质点在一段时间内位置矢量的改变 , , 称为称为质点在这段时间内的位移。质点在这段时间内的位移。2. 位移位移(wiy)DrzyoxB(t+ t)DSA(t)CD D 设质点在设质点在A处的位矢为处的位矢为 ，在，在B处的位矢为处的位矢为 ，则则质点在时间质点在时间D Dt内的内的位移位移)(tr)(ttrD D r(t)r(t+Dt)()(trttr

9、D DABr D D 在直角坐标在直角坐标(zh (zh jio zu bio)jio zu bio)系中系中kzjyixttrkzjyixtr222111)(,)( D DDrzyoxDSCr(t)r(t+Dt)A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2)第9页/共58页第十页，共58页。11位移位移(wiy)的大小的大小(位移位移(wiy)矢量的模矢量的模) 即割线即割线AB的长的长度度222zyxrD D D D D D D DDrzyoxDSCr(t)r(t+Dt)A(x1,y1,z1)B(x2,y2,z2) kzj yi xkzzjyyixxrD DD DD DD D 121212i

10、 xixixrD DD D 12常简写常简写(jinxi)为：为： 如果质点如果质点(zhdin)作作直线运动直线运动 (如沿如沿x轴运动轴运动)时时 D Dx = x2-x1ixttrixtr21)(,)( D Dx(t)=x1, x(t+D Dt)=x2, 第10页/共58页第十一页，共58页。12BAC 设质点在设质点在t时间内从时间内从ABC点点, 显然显然t时间内位移时间内位移(wiy)的大小和路程也截然不同的大小和路程也截然不同:只有只有(zhyu)当当t 0时时, 才有才有 何时何时(h sh)(h sh)取等号？取等号？SrD DD D rABD Dt 0 B AABr D D

11、ABS D D直线运动？直线运动？rABSD D(1) 位移位移 与路程与路程 的区别的区别rD DSD D显然，显然，位移是矢量，路程是标量位移是矢量，路程是标量，且，且SrD DD D讨论rD D =AC D DS=AB+BC 即即Srdd 第11页/共58页第十二页，共58页。1312rrr D Dr位置矢量增量的大小位置矢量增量的大小r位置矢量大小的增量位置矢量大小的增量!rr (2) 与与 的区的区别别rD DrD D12rrr D D1212rrrrr D DAB位移位移(wiy)的大小的大小而而显然显然(xinrn)，2rO1rrD DABrD Dr D DrD D则则rrr D

12、 DD DD DrD D代表位置矢量方向的改变代表位置矢量方向的改变r D D代表位置矢量大小的改变代表位置矢量大小的改变第12页/共58页第十三页，共58页。14质点在时间质点在时间 t内的平均速率内的平均速率(sl)定义定义为为: 3. 速度速度(sd)与速与速率率质点质点(zhdin)在时间在时间 t内的平均速度定义内的平均速度定义为为:trD DD D tSD DD D 即即: :平均速度为单位时间内的位移平均速度为单位时间内的位移；而平均速率为单位时间内的而平均速率为单位时间内的路程。路程。r(t)Drr(t+Dt)zyoxB(t+ t)DSA(t)CD D(1)平均速度平均速度(2

13、)平均速率平均速率rSDD trD DD D 大大小小第13页/共58页第十四页，共58页。15例如，质点在时间例如，质点在时间(shjin)t内绕半径内绕半径R 的圆周运动一圈：的圆周运动一圈： 例如例如(lr)(lr)，在直线运动中质点在时间，在直线运动中质点在时间t t内从内从A A点到点到B B点又折点又折回回C C点点: :BAC而平均而平均(pngjn)(pngjn)速速率为率为tRtSD D D DD D 20 trD DD D 则平均速度为则平均速度为tACD D 平均速度平均速度tBCABD D 平均速平均速率率大大小小tAC 第14页/共58页第十五页，共58页。16trt

14、D DD D D D0lim trdd tSdd 即即质点的瞬时速度质点的瞬时速度 等于位置矢量等于位置矢量 对时间的一阶导数对时间的一阶导数; 而而速率速率 等于路程等于路程S 对时间的一阶导数。对时间的一阶导数。r = , 即速度即速度(sd)的大的大小小=速率速率 瞬时速度是矢量，其方向就是质点所在瞬时速度是矢量，其方向就是质点所在(suzi)处轨道的切线方向，处轨道的切线方向，其大小其大小(3)速度速度(sd)(瞬时速度瞬时速度(sd)(3)速率速率(瞬时速率瞬时速率)r(t)Drr(t+Dt)zyoxB(t+ t)DSA(t)CD DtStD DD D D D0lim trtD DD

15、 D D D0lim tStD DD DD D0lim 第15页/共58页第十六页，共58页。17速度速度(sd)(sd)的大的大小：小： tztytxzyxdd,dd,dd 显然显然, ,速度在三个坐标速度在三个坐标(zubio)(zubio)轴上的分量分别等于相应坐标轴上的分量分别等于相应坐标(zubio)(zubio)对时间的一阶导数对时间的一阶导数: : kzj yi xr ktzjtyitxtrdddddddd tStrdddd 在直角坐标在直角坐标(zh (zh jio zu bio)jio zu bio)系系中中kjizyx 222dddddd）（）（）（tztytx 222zy

16、x 第16页/共58页第十七页，共58页。18 在极坐标系中在极坐标系中)(ttrD DO)(trrD DABr D DrD D0rn D DtrtD DD DD D0lim trdd trtrttD DD DD DD DD DD D limlim00令令D Dt0， DD 0,观察观察 和和 的变化的变化r D Dr D Dntrtrtddlim0 D DD DD D 00rtrtrtddlim D DD DD Dntrrtrtrdddddd0 rrr D DD DD D第一项代表位矢大小第一项代表位矢大小(dxio)的变化情况，的变化情况，第二项代表位矢方向的变化情况。第二项代表位矢方向的

17、变化情况。第17页/共58页第十八页，共58页。19讨论(toln)；trtrdddd （D） (A);ddtr (B);ddtr (C)；trdd 下列写法是否正确下列写法是否正确(zhngqu)并改正。并改正。tStrdddd trdd ddd dddrrrttt 第18页/共58页第十九页，共58页。20例例2 质点作平面曲线运动，运动方程质点作平面曲线运动，运动方程(fngchng)为为 ，求质点在求质点在13s内的平均速度和内的平均速度和3s末的速度。末的速度。jti ttr22)( 解：解：（1）13s内：质点内：质点(zhdin)的位移的位移jijijirrr84)2()96()

18、1()3( D D平均速度平均速度(pn jn s d)jijitr421384 D DD D 平均速度的大小平均速度的大小s/m47. 44222 （2）瞬时速度3s末：末：j titr22dd ，ji623 s/m32. 66222 第19页/共58页第二十页，共58页。21例例3一质点一质点(zhdin)沿沿OX轴作直线运动，其运动方程轴作直线运动，其运动方程为为,SI)(62ttx 问问(1)4s内质点的位移；内质点的位移；(2)4s内质点所走过的路程；内质点所走过的路程；(3)4s内质内质点的平均速度点的平均速度(pn jn s d)；(4)4s内质点的平均速率。内质点的平均速率。解

19、：解：(1)m8)0()4( xxxD D位移位移(wiy)沿沿X轴正方向轴正方向(2)在直线运动中计算质点的路程时，首先要判断是否有往返运动。ttx26dd 得得 t=3s，即质点在即质点在03s内内( 0)沿沿X轴正方向运动，轴正方向运动，t 3S后后( 0)沿沿X轴负方轴负方向运动。向运动。此时质点调头此时质点调头0 质点调头的标志是质点调头的标志是v=0。质点做直线运动时，质点做直线运动时，txxxdd D D，位置：位置：位移：位移：速度：速度：第20页/共58页第二十一页，共58页。224s内质点内质点(zhdin)的路的路程程m1019)3()4()0()3( xxxxSD D可

20、见可见rSD DD D (3) 4s内质点(zhdin)的平均速度iiti xtr248 D DD DD DD D 平均速度的大小平均速度的大小s /m2 (4) 4s内质点内质点(zhdin)的平均的平均速率速率s/m5 . 2410 tSD DD D 可见可见 t=3st=0 t=4s第21页/共58页第二十二页，共58页。23质点的平均质点的平均(pngjn)(pngjn)加速度定加速度定义为义为4.加速度加速度在时间在时间t内质点内质点(zhdin)速度的增量速度的增量为为)()(ttt D D D D taD D D D OxyzA.)(t B)(ttD D limD D t 0tD

21、 D D D a22ddddtrt D D)(t (1)平均平均(pngjn)加速度加速度(2)加速度加速度(瞬时加速度瞬时加速度)第22页/共58页第二十三页，共58页。24a 加速度加速度a 在三个坐标轴上的分量分别为在三个坐标轴上的分量分别为222222dddd,dddd,ddddtztatytatxtazzyyxx 222zyxaaaaa 加速度加速度a 的大小的大小: :(3)加速度在直角坐标加速度在直角坐标(zh jio zu bio)系中的表示系中的表示ktzjtyitx222222dddddd ktjtitzyxdddddd kzj yi xr kjizyx 加速度的方向：加速

22、度的方向： D Dt0时时, 速度增量速度增量 的极限方向。的极限方向。 D D直线运动：直线运动： 与与 的方向或者一致的方向或者一致(加速加速)；或者相反；或者相反(减速减速)。 a曲线运动：曲线运动： 与与 的方向不同，的方向不同， 总是指向曲线凹的一侧。总是指向曲线凹的一侧。 aa第23页/共58页第二十四页，共58页。25 设质点作平面曲线运动设质点作平面曲线运动(yndng)，轨迹为，轨迹为C。(4)加速度在自然加速度在自然(zrn)坐标系中的坐标系中的表示表示 在轨道曲线上任取一点作为坐标原点在轨道曲线上任取一点作为坐标原点O，在质点所在处沿，在质点所在处沿轨道切线和法线方向取两

23、个坐标轴，这样轨道切线和法线方向取两个坐标轴，这样(zhyng)的坐标系，的坐标系，称为自然坐标系。称为自然坐标系。pC nO在自然坐标系中在自然坐标系中 曲线曲线C上的每一点都对上的每一点都对应一个应一个曲率圆曲率圆，其圆心和半径称为轨道在该点的，其圆心和半径称为轨道在该点的曲率中心曲率中心和和曲率半曲率半径径，如图所示。，如图所示。 tadd tdd tdd 第一项代表速度大小的变化，第二项代表速度方向的变化。第一项代表速度大小的变化，第二项代表速度方向的变化。naan 第24页/共58页第二十五页，共58页。26加速度加速度设质点时刻设质点时刻(shk)t在在p点点, 经时间经时间t到达

24、到达p点，则点，则 ttt D D D Dnn D D D D D D0, 0 D DD Dtnttdddd pC nOD D or rp)(ttD D )(t )(ttD D D D D DntSSdddd tadd tdd tdd nr r nttar r 2dddd 这就是这就是(jish)加速度矢量在自然坐标系中的表示。加速度矢量在自然坐标系中的表示。第25页/共58页第二十六页，共58页。27物理意义：它反映速度物理意义：它反映速度(sd)方向的变化情况。方向的变化情况。物理意义：它反映物理意义：它反映(fnyng)速度大小的变速度大小的变化情况。化情况。r r 2n atadd n

25、tr r 2dd naaan 称为称为(chn wi)切向加速度切向加速度称为称为法向加速度法向加速度 00na讨论直线运动直线运动曲线运动曲线运动 00 a匀速率运动匀速率运动变速率运动变速率运动第26页/共58页第二十七页，共58页。28 以上内容的学习要点是：掌握描述质点运动以上内容的学习要点是：掌握描述质点运动(yndng)的的位矢、速度、加速度等物理量的矢量性、瞬时性和相对性。位矢、速度、加速度等物理量的矢量性、瞬时性和相对性。 aantan 加速度的大小(dxio):na ana2n2aaa 在自然在自然(zrn)坐标系中坐标系中加速度的方向加速度的方向用用 与与 的夹角的夹角 表

26、示表示a naaan 222)()dd(r r t第27页/共58页第二十八页，共58页。29讨论(toln)?dd)1(ta ?dddd2tt ?dd3ta ?dd4tr ?dddd5tStr at ddat dd rrtrtSdd,dddd ,dd,dd ta在什么在什么(shn me)情况下可以成立？情况下可以成立？tadd 直线运动直线运动第28页/共58页第二十九页，共58页。30 任何复杂运动都可以按一定方式分解任何复杂运动都可以按一定方式分解(fnji)(fnji)为彼此独立的简单运动为彼此独立的简单运动, ,也可以由这些彼此独立的分运动合成也可以由这些彼此独立的分运动合成, ,

27、这就是运动叠加原理。运动叠加原理来自描述运动参量的矢这就是运动叠加原理。运动叠加原理来自描述运动参量的矢量性。量性。在直角坐标在直角坐标(zh jio zu bio)系中：系中：结论(jiln)二. 运动叠加原理 机械运动除了具有相对性、机械运动除了具有相对性、矢量矢量性、瞬时性之外，还具有独立性、瞬时性之外，还具有独立性，即性，即叠加性叠加性。 质点的任意曲线运动都可分解为质点的任意曲线运动都可分解为x, y, z 三个方向的彼此独立的直线三个方向的彼此独立的直线运动。运动。kzj yi xr ktzjtyitxta222222dddddddd ktzjtyitxtrdddddddd 第29

28、页/共58页第三十页，共58页。31例例4 在离水面高度在离水面高度(god)为为h的岸边，一人以恒定的速率的岸边，一人以恒定的速率 收收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时，船的速度和加速度。时，船的速度和加速度。 建立建立(jinl)坐坐标系标系itxtrdddd 船船 hx解解1： cos 船船错误！错误！22hxx 解解2:船的位置矢量：船的位置矢量：绳长绳长22hxr hxoxry, jhi xr 第30页/共58页第三十一页，共58页。32hxoxry根据根据(gnj)题意题意,ddtr ,dd22xhxtx 22hxr 22hxtxxtxxrt

29、rddddddddixhta322dd 船船船船ixhx22 itxtrdddd 船船 第31页/共58页第三十二页，共58页。33例例5 一质点在一质点在xoy平面内运动，运动方程为平面内运动，运动方程为2,2tytx 求：求：(1)第第1s末的加速度、切向加速度、法向加速度及质点的轨末的加速度、切向加速度、法向加速度及质点的轨道半径；道半径；(2)质点在第质点在第1s到第到第3s之间所走过的路程。之间所走过的路程。解：解：(1)位置矢量jti tj yi xr22 ,22ddj titr 2s/m2,2dd ajta 速度速度(sd)加速度加速度（加速度为恒矢量（加速度为恒矢量(shlin

30、g)）切向加速度切向加速度tadd t =1s时时,s/m22 a?,2n r rr r a222ns/m2 aaa 2222t 22224tt 第32页/共58页第三十三页，共58页。34t =1s时质点时质点(zhdin)的轨道半径，由的轨道半径，由r r 2n am2422222n2 a r r(2)质点(zhdin)在第1s到第3s之间所走过的路程，由tSdd m98. 9d22d312231 tttS tSdd 两边两边(lingbin)积分得积分得 讨论：(1)质点作平面曲线运动时，加速度大小的两种求法：质点作平面曲线运动时，加速度大小的两种求法：22n22 aaaaaayx 和和

31、(2)质点作平面曲线运动时，质点在一段时间内走过的路程:tSttd21 第33页/共58页第三十四页，共58页。35 ttkb00dd 例例6 一伞兵由空中降落一伞兵由空中降落, 设其初速度为零。设其初速度为零。 由于空气的阻力随速由于空气的阻力随速度的增大度的增大(zn d)而增大而增大(zn d), 伞兵的加速度可以表示为伞兵的加速度可以表示为a=b-kv，式中，式中b、 k为常量。求为常量。求: 伞兵的速度和运动方程。伞兵的速度和运动方程。分离分离(fnl)变量并积变量并积分分 伞兵的运动可视为直线运动。伞兵的运动可视为直线运动。 取伞兵开始下落时的位置为坐标取伞兵开始下落时的位置为坐标

32、(zubio)原点原点, 向下为向下为x 轴正方向轴正方向, 由题意有由题意有:解：解： kbta ddtbkbk ln1得：得： ktekb 1 第34页/共58页第三十五页，共58页。36 再由再由即伞兵的运动即伞兵的运动(yndng)方方程。程。 ktekbtx 1dd tekbxkttxd1d00 12 ktekbtkbx分离变量分离变量(binling)并并积分：积分： ktekb 1 伞兵伞兵(snbng)的速的速度：度：第35页/共58页第三十六页，共58页。37 质点作直线质点作直线(zhxin)或一般曲线运动采用线量描述，而质点绕定点或或一般曲线运动采用线量描述，而质点绕定点

33、或物体绕定轴转动时，则采用角量描述。物体绕定轴转动时，则采用角量描述。1. 角位置角位置(wi zhi)2. 角位移角位移角位置角位置(wi zhi)与角位移单位：弧度与角位移单位：弧度rad三.角参量o r(t) D DSD DA(t)B(t+D Dt)x)(t -质点与质点与o点的连线和点的连线和x轴之间的夹角轴之间的夹角常常规定：逆时针方向角位置、角常常规定：逆时针方向角位置、角位移为正，顺时针方向为负。位移为正，顺时针方向为负。 D D-在在D Dt时间内，物体绕时间内，物体绕o点点转过的角度转过的角度)()(ttt D D D D第36页/共58页第三十七页，共58页。383. 角速

34、度角速度平均角速度平均角速度: :tD D D D 角速度角速度: :tttddlim0 D D D D D D o r(t) D DSD DA(t)B(t+D Dt)x但角速度是矢量但角速度是矢量(shling)(shling)！ 角速度矢量角速度矢量 的方向垂直的方向垂直于质点的运动平面于质点的运动平面, ,其指向由右其指向由右手螺旋定则确定手螺旋定则确定, ,如图所示。如图所示。图3-12质点作平面圆周运动时常把质质点作平面圆周运动时常把质点转动点转动(zhun dng)的方向定为的方向定为角速度的方向。角速度的方向。第37页/共58页第三十八页，共58页。39角加速度角加速度:22dd

35、ddlim 0tttt D D D D D D 平均角加速度平均角加速度: :tD D D D 4. 角加速度角加速度5. 角量与线量的关系角量与线量的关系(gun x) rtarrar dd,22no r(t) D DSD D (t) (t+D Dt)x(2) 矢量矢量(shling)关系关系 r (1) 数值数值(shz)大小大小关系关系 图3-12第38页/共58页第三十九页，共58页。40匀变速匀变速(bin s)直直线运动线运动匀变速匀变速(bin s)圆圆周运动周运动22100tt 物物理理(wl)参参量量位置位置,位移位移 xxD D速度速度txdd 加速度加速度22ddddtx

36、ta 运运动动规规律律的的描描述述 匀速运动匀速运动 txx 0t 022ddddtt tdd D D D D 2202 ttt 0常数常数 22100attxx xatD D 2202 att 0 常数常数 a匀匀变变速速运运动动 圆周运动与直线运动的比较圆周运动与直线运动的比较第39页/共58页第四十页，共58页。41 例例7 一半径一半径R=1m的飞轮的飞轮(filn)，角坐标，角坐标 =2 +12 t- t3 (SI)， 求：求：(1)飞轮飞轮(filn)边缘上一点在第边缘上一点在第1s末的法向加速度和切向加速度；末的法向加速度和切向加速度； (2)经经多少时间、转几圈飞轮多少时间、转

37、几圈飞轮(filn)将停止转动？将停止转动？ ,312dd2tt tt 6dd an=R2=(12-3t2)2 , a=R = -6t 代入代入t =1s, an=812 , a= -6 (SI) (2)停止转动停止转动(zhun dng)条件：条件：=12-3t2=0, 求出：求出：t =2s。 t=2s, 2=18，(1) t=0, 0=2 所以所以(suy)转过角度：转过角度：DD= 2- 0=16 =8圈。圈。解：解：第40页/共58页第四十一页，共58页。42例例8: 质点沿半径质点沿半径(bnjng)为为R的圆周运动，速率的圆周运动，速率 =A+Bt (A、B为正的常量为正的常量)

38、。t =0质点从圆上某点出发，求：该质点在圆质点从圆上某点出发，求：该质点在圆上运动一周又回到出发点时它的切向加速度，法向加速度和上运动一周又回到出发点时它的切向加速度，法向加速度和总加速度的大小是多少？总加速度的大小是多少？ 由于由于 =B/R 为常量，为常量， 质点质点(zhdin)做匀变速圆周运动，做匀变速圆周运动，于是于是:,ddBta RBtARa22n)( ,BRa RB 令令DD=2 ，可求出质点在圆上运动，可求出质点在圆上运动(yndng)一周又回到出发一周又回到出发点时的时间点时的时间t，即，即解：解：2021tt D D第41页/共58页第四十二页，共58页。43RBtAR

39、a22n)( ,42BRA Bta dd 22n aaa BARBAt 42解得解得222)4(BBRA 2212tRBtRA 因：因： =A+Bt =R, 所以所以(suy)t =0 时时, o=A/R；代如上式得：代如上式得：20212tt (舍去负值舍去负值(f zh)第42页/共58页第四十三页，共58页。44另法：求质点在圆上运动一周另法：求质点在圆上运动一周(y zhu)又回到出发点时的又回到出发点时的时间时间t,ddBtAtS 由由得得 ttBtAttBtAtS02021dd 质点运动质点运动(yndng)一周又回到出发点时一周又回到出发点时S=2 R，代入上式可得：，代入上式可

40、得：BARBAt 42RBtARa22n)( 22n aaa 222)4(BBRA ,42BRA Bta dd (舍去负值舍去负值(f zh)第43页/共58页第四十四页，共58页。45四四. 运动学的两类问题运动学的两类问题(wnt)1.已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度。求解此类问题的基本已知质点运动方程，求任一时刻的速度、加速度。求解此类问题的基本(jbn)方法是微分法。方法是微分法。前面所讲例题中前面所讲例题中2、3、4、5、7、8都属于都属于(shy)这类问题。这类问题。运动学所研究的问题，归结起来大致有以下两种类型：运动学所研究的问题，归结起来大致有以下两种类型：)(trt

41、tadd)( trtdd)( ttdd)( ttdd)( )(t 第44页/共58页第四十五页，共58页。462.已知质点的加速度已知质点的加速度(或速度或速度)及初始条件及初始条件( 、 )，求质点任，求质点任一时刻的速度和运动方程。解决此类问题的基本方法是一时刻的速度和运动方程。解决此类问题的基本方法是积分积分法法。00 r如例题如例题6属于属于(shy)这类问题。这类问题。00,),( t ttt00d)( ttt00d)( 00,),(rta ttat00d)( ttrtr00d)( 第45页/共58页第四十六页，共58页。47 例例9 一质点在某参考系中运动，初位置一质点在某参考系中

42、运动，初位置 ，初速，初速度度 ，加速度，加速度 。求。求t=0.5s时该质点时该质点的的y坐标和坐标和t=1s时该质点的速率。时该质点的速率。jir 30i200 SI812)(ji tta 解：解：j titj ti ttitt8)206(d8d1220200 t=1s：8,26 yx m/s2 .278262222 yx tatatdd,dd00 得得由由积分法 ttat00d)( tji titd )812(200 第46页/共58页第四十七页，共58页。48206d1220d2000 ttttattxxx j titt8)206()(2 ttrtr00d)( 142 tty当当t=0

43、.5s时：时：m215 . 042 y讨论：此题也可采用分量讨论：此题也可采用分量(fn ling)式积分，如式积分，如trtrtrrdd,dd00 得得由由14d81d2000 ttttyytty ttj tti ttr0020d8d)206(jtitt)14()3202(23 第47页/共58页第四十八页，共58页。49 =3t,完成积分得:)sm(23, s1222n aaat 3t2=3, 求出求出t=1s 例例10 一质点由静止开始沿半径一质点由静止开始沿半径r =3m的圆周运动，切向加速度的圆周运动，切向加速度a =3m/s2; 求：求：(1)第第1s末加速度的大小；末加速度的大小

44、；(2)经多少经多少(dusho)时时间加速度间加速度a与速度与速度 成成45 ? 这段时间内的路程是多少这段时间内的路程是多少(dusho)？ , 3dd ta (1)由由有 00d3dtt22n3tra )m(23d310 ttS,3ddttS 又又解：解：(2) 加加速度速度a与速度与速度 成成45 ，意味着，意味着a与与an 和和a 都成都成45 ，即表示，即表示 an= a ，于是有，于是有第48页/共58页第四十九页，共58页。50 运动是普遍的、绝对的。运动的描述是相对的。即在不同的运动是普遍的、绝对的。运动的描述是相对的。即在不同的参考系，描述同一质点的运动状态，所得参考系，描

45、述同一质点的运动状态，所得(su d)结果是不同的。结果是不同的。 假定参考系假定参考系S和和S之间只有相对平移之间只有相对平移而无相对转动，且各对应坐标轴在运动而无相对转动，且各对应坐标轴在运动(yndng)中始终保持平行。中始终保持平行。OyxyoSSzzrpsrps.prss1-4 相对运动相对运动(xin du yn dn) 在两个不同的参考系，质点的位矢、速度和加速度之间有什么在两个不同的参考系，质点的位矢、速度和加速度之间有什么联系联系? 绝对参量绝对参量( )相对参量相对参量( )牵连参量牵连参量 ( )pspspsar， spspspar， ssssssar， 1.伽利略变换伽

46、利略变换第49页/共58页第五十页，共58页。51 将上式对时间求一阶、二阶导数(do sh)，得到：应用应用(yngyng)矢量合成矢量合成法则：法则：ssspps ssspps aaa说明(shumng)ssspp rrrs(1)这些变换式是经典力学中的变换式，称为这些变换式是经典力学中的变换式，称为伽利略变换式伽利略变换式，它们建立，它们建立在牛顿力学的在牛顿力学的绝对时空观绝对时空观基础上，只有在运动速度远小于光速时才成基础上，只有在运动速度远小于光速时才成立。立。OyxyoSSzzrpsrps.prss第50页/共58页第五十一页，共58页。52(2)以上以上(yshng)三式是矢量关系三式是矢量关系式。式。s ssss ssss sss, aarr 2.伽利略变换伽利略变换(binhun)的应用的应用ps sp ss (2)确定绝对速度确定绝对速度 ，相对速度，相对速度 ，牵连速度，牵连速度(3)双下标双下标(xi bio)先后顺序交换意味着改变一个符号，如先后顺序交换意味着改变一个符号，如ssspp rrrs