泰勒公式详解Taylorformula一元分析学讲义PPT学习教案

1、会计学1泰勒公式详解泰勒公式详解Taylorformula一元分析学一元分析学讲义讲义xey xy 1oxey oxy )1ln(xy 上页返回下页第2页/共47页不足不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xP, ,使得使得)()(xPxf 误差误差 )()()(xPxfxR 可估计可估计1、精确度不高；、精确度不高； 2、误差不能估计。、误差不能估计。设函数设函数)(xf在含有在含有0 x的开区间的开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶导数阶导数, ,)(xP为多项式函数为多项式函数nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 误差误差 )()()(xPxfxRnn

2、上页返回下页第3页/共47页二、二、nP和和nR的确定的确定0 x)(xfy oxy分析分析:)()(00 xfxPn )()(00 xfxPn )()(00 xfxPn 2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近似程度越来越好近似程度越来越好1.若在若在 点相交点相交0 x)()(xfxPn与与上页返回下页第4页/共47页假设假设 nkxfxPkkn, 2 , 1 , 0)()(0)(0)( ),(00 xfa 代入代入)(xPn中得中得nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 得得 ), 2 , 1 , 0()

3、(!10)(nkxfkakk ),(101xfa )(! 202xfa ,)(!0)(xfannn nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 上页返回下页第5页/共47页三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)定理定理泰勒泰勒(Taylor)(Taylor)定理定理 如果函数如果函数)(xf在含有在含有 0 x的某的某个开区间个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶的导数阶的导数, ,则当则当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一个的一个n次次多项式与一个余项多项式与一个余项)(xRn之和之和: : )()(!)()

4、(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其中其中10) 1()()!1()()( nnnxxnfxR ( ( 在 0 x与与 x之间之间) ). . 上页返回下页第6页/共47页证明证明: : 由假设由假设, ,)(xRn在在),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶阶导数导数, ,且且两函数两函数)(xRn及及10)( nxx在以在以 0 x及及 x为端点为端点的区间上满足柯西中值定理的条件的区间上满足柯西中值定理的条件, ,得得 )()(1()(01011之间之间与与在在xxxnRnn 0)()()()()(10010 nnnnnxxxRx

5、RxxxR0)()()()(0)(000 xRxRxRxRnnnnn上页返回下页第7页/共47页如此下去如此下去, ,经过经过)1( n次后次后, ,得得 两函数两函数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及 1 为端点为端点的区间上满足柯西中值定理的条件的区间上满足柯西中值定理的条件, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之间之间与与在在nx 0, ,也在也在0 x与与 x之间之间) ) )()(1()(1021022之间之间与与在在 xxnnRnn 上页返回下页第8页/共47

6、页 nkkknxxkxfxP000)()(!)()( 称为称为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 次泰勒多项式次泰勒多项式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称为称为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 阶泰勒公式阶泰勒公式 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 则由上式得则由上式得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 上页返回下页第9页/共47页拉格朗日型余项拉格朗日型余项 1010)1()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(n

7、knkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺型余项皮亚诺型余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即)()1(有界有界若若xfn 上页返回下页第10页/共47页注注: :1.1. 当当0 n时时, ,泰勒公式变成拉氏中值公式泰勒公式变成拉氏中值公式 )()()()(000之间之间与与在在xxxxfxfxf 2.2.取取00 x, , 在在0与与x之间之间, ,令令)10( x 则余项则余项 1)1()!1()()( nnnxnxfxR 3.3.带带皮亚诺型余项皮亚诺型余项的泰勒定理条件比带的泰勒

8、定理条件比带拉格朗拉格朗日型余项日型余项的的弱弱，前者只需，前者只需n n阶导数存在阶导数存在. .4.Peano4.Peano型余项是定性的，型余项是定性的，LagrangeLagrange型余项是定量的型余项是定量的，两者本质相同但作用有别两者本质相同但作用有别. . 一般说来，当不需要定量一般说来，当不需要定量地讨论余项时，可用地讨论余项时，可用PeanoPeano型，如计算极限；当需要定型，如计算极限；当需要定量讨论余项时，则用量讨论余项时，则用LagrangeLagrange型余项，如误差估计型余项，如误差估计. .上页返回下页第11页/共47页)(!)0(! 2)0()0()0()

9、()(2nnnxoxnfxfxffxf )10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式上页返回下页第12页/共47页例例 1 1 求求xexf )(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. .解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe上页返回下页第13页/共47页由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估计误差估

10、计误差)0( x设设!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1( neRn).10()!1()!1()(1 nxxnxnenexR上页返回下页第14页/共47页 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式)()!12()1(!5!3sin121253 nnnxonxxxxx )()!2()1(!6!4!21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx )(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 上页返回下页第15页/共47页例例 2 2 计算计算 403

11、cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式上页返回下页第16页/共47页例例3 3.)1(51lim520 xxxx 求极限求极限解解. 2的次数为的次数为分子关于分子关于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 上页返回下页第17页/共47页例例4 4)1 , 0(21)(:, 1)(),

12、1()0(,1 , 0)( xxfxfffxf证明证明且且上二阶可微上二阶可微在在若函数若函数证证,1 , 00 x设设有有展展成成一一阶阶泰泰勒勒公公式式处处把把在在,)(0 xfx20000)(21)()()(xxfxxxfxfxf 则有则有令令, 1, 0 xx201000)(21)()()0(xfxxfxff 202000)1)(21)1)()()1(xfxxfxff (1)(2)上页返回下页第18页/共47页2022010)1)(21)(21)(xfxfxf (1) (2),),1()0(ff 注注意意到到则有则有, 1)( xf20200)1(2121)(xxxf 41)21(20

13、 x, 1 , 00知知又由又由 x,21210 x21)(0 xf于是有于是有.,0可知命题成立可知命题成立的任意性的任意性由由 x上页返回下页第19页/共47页xy xysin 播放播放1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;上页返回下页第20页/共47页播放播放2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .上页返回下页第21页/共47页思考思考题题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限30)1(sinlimxxxxexx 上页返回下页第22页/共47页思思考考题题解解答答)(! 3! 21332

14、xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx 31 上页返回下页第23页/共47页一、一、 当当10 x时，求函数时，求函数xxf1)( 的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 . .二、二、 求函数求函数xxexf )(的的n阶麦格劳林公式阶麦格劳林公式 . .三、三、 验证验证210 x时，按公式时，按公式62132xxxex 计算计算xe的近似值，可产生的误差小于的近似值，可产生的误差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使误

15、差小于近似值，使误差小于 0.010.01 . .四、四、 应用三阶泰勒公式求应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差的近似值，并估计误差. .五、五、 利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .练练 习习 题题上页返回下页第24页/共47页一、一、)1()1()1(112nxxxx )1 , 0()1(1)1()1(211 nnnxx. .二、二、)!1(! 232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn. .三、三、645. 1 e. .四、四、5331088. 1,10

16、724. 330 R. .五、五、1 1、121. 2. 2、21. .练习题答练习题答案案上页返回下页第25页/共47页xy xysin 五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第26页/共47页xy xysin ! 33xxy o五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第27页/共47页xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第28页/共47页xy xysi

17、n ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第29页/共47页xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小结1 1. .T Tayloraylor 公式在近似计算中的应用公式在近似计算中的应用; ;第30页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第31页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第32页/共4

18、7页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第33页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第34页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第35页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第36页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第37页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第38页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第39页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第40页/共47页2 2. .T Tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .第41页/共47页2 2.