第四章 动能和势能

1、上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能4.1 能量能量又一个守恒量又一个守恒量 第四章第四章 动能和势动能和势 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能4.2 力的功力的功用线积分表示功用线积分表示功 一、力的元功和功率一、力的元功和功率 1. 恒力的功恒力的功功功力对空间的积累作用力对空间的积累作用. FrnFtFrFAt rF cos rF 位移：位移： 1、质点：质点位移、质点：质点位移 2、质点系：受力点的位移、质点系：受力点的位移 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能)()(r

2、FrFAii 21FFF若若 即合力所做的功等于各分力所做功的代数和即合力所做的功等于各分力所做功的代数和. mN1J1 在在SI中功的单位为焦耳中功的单位为焦耳 J10602. 1eV119 2. 变力的功变力的功rFA rFm力在元位移上的元功力在元位移上的元功.rFAdd上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能3.功率功率平均功率平均功率 瞬时功率瞬时功率 J/s W11 )W(,SI功率单位为瓦特功率单位为瓦特单位中单位中在在功率功率力在单位时间内所做的功力在单位时间内所做的功. tAP tAtAPtddlim0 vFtrF ddvFP 额定功率额定功

3、率最大输出功率最大输出功率. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能若力沿直线位移做功，令若力沿直线位移做功，令x轴与位移重合，则有轴与位移重合，则有 xFAxdd 1.平面直角坐标系平面直角坐标系yFxFj yi xjFiFAyxyxdd ddd ）（）（二、利用不同坐标系表示元功二、利用不同坐标系表示元功 Fr x y xyr0r1jFiFFyx jyixrddd rFAdd 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能FOs0s1tetddesr 2.平面自然坐标平面自然坐标sFeseFeFAdddttnntt ）（nnt

4、teFeFF tddesr rFAdd 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能OA(r, ) re eFr3.平面极坐标平面极坐标）（）（ erereFeFArrrddd ddrFrFr eFeFFrr ererrrddd rFAdd 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能三、力在有限路径上的功三、力在有限路径上的功 Fr x y xyr0r1质点质点 r0 r1 niiirFA1 nri0 niiirrFA10lim 10drrrFA上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能(1)功是标量

5、功是标量,但有正负但有正负,与力和位移的夹角有关与力和位移的夹角有关.(2)功是力对空间的积累功是力对空间的积累,是过程量是过程量,一般与路径有关一般与路径有关. 说明说明 可采用不同方法计算这个积分可采用不同方法计算这个积分 10101100,yyyxxxyxyxyxdyFdxFdyFdxFA10dsstsFA10drrrrFA直线运动：直线运动： )(cos0110 xxFdxFAxxx曲线运动：曲线运动： 有心力做功：有心力做功： 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能0 x1xxOxFxOxmab例题例题1弹簧一端固定，另一弹簧一端固定，另一端端 与

6、质点相连与质点相连.弹簧劲度系数弹簧劲度系数为为k求质点由求质点由 x0 运动至运动至 x1 时时弹簧弹性力所做的功弹簧弹性力所做的功. Ox 坐坐标系原点位于弹簧自由伸展标系原点位于弹簧自由伸展时质点所在位置时质点所在位置.解解 弹性力弹性力x0 x1为任意起始位置，与路径无关为任意起始位置，与路径无关. . kxFx ）21202121)d(10kxkxxkxAxx 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能例题例题2马拉雪橇水平前进，自起点马拉雪橇水平前进，自起点 A 沿某一长为沿某一长为 L 的的曲线路径拉至终点曲线路径拉至终点 B.雪橇与雪地间的正压力

7、为雪橇与雪地间的正压力为FN ，摩，摩擦因数为擦因数为 . 求摩擦力的功求摩擦力的功.解解沿雪橇轨迹取自然坐标，雪橇前进方向为自然坐标沿雪橇轨迹取自然坐标，雪橇前进方向为自然坐标增加的方向增加的方向sFAssd10t LFsFsFALBAN0NNd 摩擦力的功摩擦力的功 摩擦力的功与路径有关摩擦力的功与路径有关. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能avrdFbvab4.3 质点和质点系动能定理质点和质点系动能定理 一、质点的动能定理一、质点的动能定理 222121abmvmv rtvmrFAdddd ddd trvm )(21vvmd物体在合力作用下物体

8、在合力作用下,由由ab )(212vm d vvmd1.质点的动能定理质点的动能定理 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能2k21 mvE 定义定义 单位和量纲与功同单位和量纲与功同. 物体的动能物体的动能 2022121mvmvA 即：合力即：合力 对质点所做的功等于质点动能的增对质点所做的功等于质点动能的增 量，是动力学基本定理之一量，是动力学基本定理之一. F动能定理动能定理 则：则：或：或：0kkEEA 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能(2)Ek是状态量是状态量 Ek ,A 0 ; Ek ,A 0 ，则，则

9、 E 增加增加 .例例如爆炸如爆炸. 是其它形式的能量（化学能、生物能）向是其它形式的能量（化学能、生物能）向机械能的转化机械能的转化.2.当当 A外非外非=0 时，若时，若 A内非内非 0 ，则，则 E 减少减少, 力力为耗散力为耗散力. 机械能向其它形式能量转换机械能向其它形式能量转换. )(0EEAA内非外非功能原理功能原理上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能)(0pp0kkEEEE 3. 若若 A外非外非+ A内非保内非保 = 0 即体系只有保守力作功即体系只有保守力作功机械能守恒定律机械能守恒定律(3)传递和转换是通过保守内力作功来完成的传递和转

10、换是通过保守内力作功来完成的. (1)动能的增量等于势能的减少量动能的增量等于势能的减少量. (2)动能与势能可以相互转换动能与势能可以相互转换. 00 EE机械能守恒定律的条件机械能守恒定律的条件 常量常量 pkEE或或 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能例题例题1一轻弹簧与质量为一轻弹簧与质量为 和和 的两个物体相联的两个物体相联结，如图所示结，如图所示. 至少用多大的力向下压至少用多大的力向下压 才能在此才能在此力撤除后弹簧把下面的物体带离地面？（弹簧质量力撤除后弹簧把下面的物体带离地面？（弹簧质量不计不计.）1m2m1mm1m2m1m2m2m1y

11、1 y2 y3Oy 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能m11WFsF m22WsFNF解解受力分析如图受力分析如图 m2刚能被提起的条件为刚能被提起的条件为 02s WF即即 023 gmky(1)m1平衡时平衡时 01s WFF即即 012 gmFky(2)将坐标原点视作弹性势能和重力势能的零点将坐标原点视作弹性势能和重力势能的零点 212231232121gymkygymky(3)gmmF)(21 联立求得联立求得 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能4.6 对心碰撞对心碰撞 碰撞碰撞两个物体相遇两个物体相遇(相

12、互靠近或接触相互靠近或接触)时时,在极短的在极短的时间内发生较强的相互作用的过程时间内发生较强的相互作用的过程.F外外 F内内,相碰撞物体可视为系统相碰撞物体可视为系统.可用动量守恒可用动量守恒. 定义定义 正碰正碰(对心碰撞对心碰撞)碰前速度沿两球中心连线，碰碰前速度沿两球中心连线，碰后冲力及两球速度也沿这一直线后冲力及两球速度也沿这一直线,所以正碰的矢量所以正碰的矢量问题简化为标量问题问题简化为标量问题.上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能种类种类接触碰撞接触碰撞两个物体直接接触两个物体直接接触.接触前后没有相接触前后没有相互作用互作用,接触时相互作用

13、极为强烈接触时相互作用极为强烈,接触时间极短接触时间极短.非接触碰撞非接触碰撞两个物体没有直接接触两个物体没有直接接触.接触前、接触前、“中中”、后均有相互作用如：、后均有相互作用如： 微观粒子间的散射微观粒子间的散射. 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能 设两球碰前速度设两球碰前速度v10 v20 , 碰后碰后v1 v2 ,以球心连以球心连线为坐标轴线为坐标轴,以以v10的正方向为轴的正方向的正方向为轴的正方向.则则2021012211vmvmvmvm201012vvvve .2010称称接接近近速速度度vv , 12称分离速度称分离速度vv 定义定义

14、恢复系数恢复系数 恢复系数由实验测得恢复系数由实验测得. 只与两物体质料有关只与两物体质料有关.一、一、 关于对心碰撞的基本公式关于对心碰撞的基本公式 2021012211vmvmvmvm投影后投影后 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能)(1(2010212101vvemmmvv )(1(2010211202vvemmmvv 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能形变为弹性形变，无机械能损失形变为弹性形变，无机械能损失2222112202210121212121vmvmvmvm tOvv10v20v1v2FtOF12F

15、21二、完全弹性碰撞二、完全弹性碰撞（e=1） 1201012 vvvve2021012211vmvmvmvm 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能102201,vvvv 212010vvvv 两球碰后交换速度两球碰后交换速度. (1) m1 = m2 122010vvvv 2021210212112vmmmvmmmmv 2021121021122vmmmmvmmmv (2) m1 m2，且，且 v20 = 0 (m2静止静止) 动画演示动画演示上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能三、三、 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞

16、 （e=0） vvve210，vmmvmvm）（21202101 2212101k21 21vmmvmE）（ 2101212)(21vmmmm 2121kkmmmEE 时时当当020 v完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞两物体碰后不再分开两物体碰后不再分开. （1）m2 m1，0kkEE （2） m1m2 0kE上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞 (0 e 1)小球碰撞后彼此小球碰撞后彼此分开，而机械能又有一定损失的碰撞分开，而机械能又有一定损失的碰撞.四、四、 非完全弹性碰撞非完全弹性碰撞 )(1(2010212101vvemmm

17、vv )(1(2010211202vvemmmvv 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能例题例题2冲击摆可用于测子弹速率冲击摆可用于测子弹速率. 长度为长度为 l 的线绳悬挂质的线绳悬挂质量为量为m的木块，子弹质量为的木块，子弹质量为m0，沿水平方向射入木块，沿水平方向射入木块，子弹最后嵌在木块内一定位置，且测得木块摆过角度子弹最后嵌在木块内一定位置，且测得木块摆过角度 ， 求子弹射入的速率求子弹射入的速率v.0mm l mm0 (a)(c)(b)Ox上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能vmvmmx00)( （1）第一

18、阶段：木块与子弹发生完全非弹性碰撞）第一阶段：木块与子弹发生完全非弹性碰撞.在碰在碰撞瞬间绳的拉力在水平方向的分力，远小于子弹与木块撞瞬间绳的拉力在水平方向的分力，远小于子弹与木块相互内力，水平方向动量近似守恒相互内力，水平方向动量近似守恒. 取取Ox 为水平轴为水平轴,用用 表示木块与子弹共同运动的初速度，有表示木块与子弹共同运动的初速度，有xv（2）第二阶段：摆动过程机械能守恒）第二阶段：摆动过程机械能守恒.根据根据0pk EE0)cos1()()(210020 glmmvmmx)cos1(2)cos1(2000 glmmglmmmv解解子弹自接触木块至最高点全过程分为二个阶段子弹自接触木

19、块至最高点全过程分为二个阶段 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能斜碰一般为三维问题，较复杂斜碰一般为三维问题，较复杂.这里讨论特殊情况，设小球这里讨论特殊情况，设小球光滑光滑，碰撞前一个，碰撞前一个小球处在静止状态，即小球处在静止状态，即 020 v4.7 非对心碰撞非对心碰撞 非对心碰撞非对心碰撞(又称斜碰又称斜碰)两球相碰之前的速两球相碰之前的速度不沿它们的中心连线度不沿它们的中心连线.则这种碰撞是二维问题则这种碰撞是二维问题. 在碰撞中动量守恒在碰撞中动量守恒. 一、一、 非对心碰撞基本公式非对心碰撞基本公式 上上 页页下下 页页结结 束束返返 回回第四章第四章 动能和势能动能和势能yyyvvve1012 yyyvvev1210 2211101vmvmvm 令接触面法线方向为令接触面法线方向为y 轴正