函数极限的计算

1、内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续三、无穷小量与无穷大量三、无穷小量与无穷大量内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续例如例如, 0sinlim0 xx.0sin时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数xx, 01lim xx.1时的无穷小时的无穷小是当是当函数函数 xx定义定义1 1： 在某个变化过程中在某个变化过程中, ,极限为零极限为零 的函数的函数, ,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷小量（无穷小）无

2、穷小量（无穷小）。内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续, 01sinlim2xx.2sin时的无穷小不是当函数xx注意注意（1）无穷小是以极限为零的变量）无穷小是以极限为零的变量,不能与很不能与很（2）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变）说一个函数是无穷小，必须指明自变量的变小的常数混淆小的常数混淆;（3）常数中只有零是无穷小）常数中只有零是无穷小.化趋势；化趋势；内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续2运算性质运算性质定理定理 在自变量同一变化过程中在自变量同一变化过程中,(1) 有限个无穷小的

3、代数和仍是无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小;(2) 有限个无穷小的乘积仍是无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小;(3) 无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小无穷小与有界函数的乘积仍是无穷小.)21(lim222nnnnn 212)1(1lim2 nnnn例例内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续求下列极限 例例11),(lim. 10是常数nNnxnx解解.00lim0是无穷小时当，xxxx. 0lim)2(0nxx知由无穷小的性质推论推论 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极

4、限的计算极限与连续极限与连续求下列极限 例例11)111lim(. 323xxxx解解.11,123都是无穷小和时xxx，x. 0)111(lim) 1 (23xxxx知由无穷小的性质内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续求下列极限 例例1122sinlim. 4xxx解解不存在虽然xxxx2sinlim,01lim2)2sin(1|2sin|是有界函数即但xx . 0)2sin1(lim2sinlim22xxxxxx内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续思考题思考题5301arctanlimxxx求极

5、限解解,0lim30 xx2|1arctan|5x且. 01arctanlim530 xxx内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续oxyxy1内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续特殊情形：正无穷大特殊情形：正无穷大(或负无穷大或负无穷大)(lim()(lim)()(00 xfxfxxxxxx或或定义定义2 2： 在某个变化过程中在某个变化过程中, ,绝对值无限绝对值无限 变大的函数变大的函数, ,称为在此变化过程中的称为在此变化过程中的 无穷大量（无穷大）无穷大量（无穷大）。内蒙古化工职业学院内蒙古化

6、工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续注意注意（1）无穷大是变量）无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;)(lim20认为极限存在）切勿将（xfxx.1,0,是无穷大时当例如xyx.ln0是无穷大时当x，yx必须指明的是）说一个函数是无穷大（，3.自变量的变化趋势内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续22)(1,)0(1)(,xxfxxfx是无穷小时当例如.;亦然反之是无穷大， 意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小都可归结为关于无穷小的讨论的讨论.内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数

7、极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续求下列极限 例例223lim. 1xx解解01,01lim33xxx且.lim3xx2lim. 2xx解解01,01lim22xxx且.lim2xx内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续,)(,. 2是无穷大如果在自变量的同一过程中xf练习题练习题._是无穷小则.1coslim. 30 xxx0)(1xf0内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续BAxgxfxgxfxxxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim2)()()(000法则BAxgxfxgxfx

8、xxxxxxxx)(lim)(lim)()(lim1)()()(000法则)0()(lim)(lim)()(lim3)()()(000BBAxgxfxgxfxxxxxxxxx法则法则1和法则2可推广到有限个函数情形.内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续4.4.147532lim2323xxxxx解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用 x332323147532lim147532limxxxxxxxxxx .72 (无穷小分出法无穷小分出法

9、)内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续常数因子可以提到极限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.)(lim)(lim1)()(00 xfcxfcxxxxxx推论)()(lim)(lim2)()(00Znxfxfnxxxnxxx推论内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续1.1.531lim232xxxx解解)53(lim22 xxx5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim2223

10、2 xxxxxx.37 3123 求下列极限 例例33内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续解解)32(lim21 xxx, 0 商的法则不能用商的法则不能用)14(lim1 xx又又, 03 1432lim21 xxxx. 030 由无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的关系,得得2.2.3214lim21xxxx.3214lim21 xxxx内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续解解3.3.321lim221xxxx.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x.1后再求极限后再求极限因子因子

11、先约去不为零的无穷小先约去不为零的无穷小 x)1)(3()1)(1(lim321lim1221 xxxxxxxxx31lim1 xxx.21 )00(型型(约去零因子法约去零因子法)内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续5.5.3422lim223xxxxx解解.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型 .,3再再求求极极限限分分出出无无穷穷小小去去除除分分子子分分母母先先用用 x323223342211lim3422limxxxxxxxxxxx(无穷小分出法无穷小分出法)02113420211342lim332332xx

12、xxx，xxxxxx且而3422lim223xxxxx故(无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系)内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续 例例55xxxsinlim求解解,1,为无穷小为无穷小时时当当xx .sin 是有界函数是有界函数而而x. 0sinlim xxx(不能用函数极限的四则运算法则2来求! )内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续 例例66).(lim,0, 10,1)(02xfxxxxxfx求设解解两个单侧极限为两个单侧极限为是函数的分段点是函数的分段点,0 x)1(lim)(lim

13、00 xxfxx , 1 )1(lim)(lim200 xxfxx, 1 左右极限存在且相等左右极限存在且相等,. 1)(lim0 xfx故故内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续思考题思考题xxxxxxxxsincos2lim223求极限解解xxxxxxxxcos2sinlim232xxxxxxxcos112sin11lim22xxxxxxxxxxcos1lim1lim2sin1lim1lim2200cos112sin1122xxxxxx且xxxxxxxxsincos2lim223内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极

14、限与连续极限与连续._1arctanlim. 420 xxx._33lim. 132xxx._11lim. 231xxx._5) 3)(2)(1(lim. 33nnnnn练习题练习题._12324lim. 5424xxxxxx.)21.41211 (lim. 6nn53510342内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续1)()(sinlim:)2(0 xfxfx扩展)0)(xf2sinlim,0sinlim:)4(2xxxxxx比较1sinlim0 xxx型特征00

15、:)1(11sinlim:)3(xxx变形内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续1 1xxx3sin4sinlim0解解xxxxx33sin344sin4lim0原式xxxxxx33sinlim44sinlim340034求下列极限 例例 内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续2 2xxxxtancos1lim0解解xxxxxsincos2sin2lim20原式xxxxxxsincos)2(2sinlim21220 xxxxxxxxsinlimcoslim22sinlim21002011121221求下

16、列极限 例例 内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续3 3xxx23coslim23解解xxx23)23sin(lim23原式求下列极限 例例 xxx23)23sin(lim231内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续4 4xxx|sinlim0解解求下列极限 例例 1sinlim)sin(lim|sinlim000 xxxxxxxxx1sinlim|sinlim00 xxxxxx不存在故xxx|sinlim0内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续.,)11

17、 (时的变化趋势当我们列表观察xxyx内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续exfxfxxx)()()(11 lim:)2(0扩展)(xf),(1)11 (lim:)4(为常数比较nNnxnnexxx)11(lim型特征1:)1(exxx10)1 (lim:) 3(变形内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续 例例12 12 求下列极限求下列极限xxx)21 (lim. 1解解22)21 (limxxx22)21(limxxx原式2e)1 (型内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续 例例12 12 求下列极限求下列极限xxx10)31(lim.2解解3310)3(1 limxxx原式31e)1 (型3310)3(1 lim1xxx内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续 例例12 12 求下列极限求下列极限xxxx2)23(lim. 3解解)211 ()211(lim422xxxx原式2e422)211 (lim)211 (limxxxxx内蒙古化工职业学院内蒙古化工职业学院函数极限的计算函数极限的计算极限与连续极限与连续._3cotlim. 20 xxx._3sin2sinlim. 10 x