第三章复变积分

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分1 复积分的概念复积分的概念2 柯西积分定理柯西积分定理(复合闭路定理复合闭路定理)3 柯西积分公式柯西积分公式4 高阶求导公式高阶求导公式5 几个重要定理几个重要定理3.1 复积分的概念复积分的概念一、有向曲线一、有向曲线 规定了起点和终点的光滑曲线或分段光滑曲线称为有向曲线. 对于曲线C，若规定端点 A 为起点、B为终点，则把从A到B的方向称为曲线C的正向，从B到A的方向称为负向并记为 .C 若曲线是简单闭曲线若曲线是简单闭曲线，通常规定逆时针方向为正向，顺时针方向为负向，若闭曲线作为某区域的若闭曲线作为某区域的边界边界，规定其正向为：当点沿闭曲线

2、前进时，邻近点的区域总在闭曲线左侧.显然，区域外边界正向是逆时针方向，区域内边界正向是顺时针方向.积分的定义：积分的定义： x y 0za 1kz kz k nzb 图 3 .1 111()()()nnkkkknkkksfzzfznkkknczfdzzf10)(lim)(若C为闭曲线，则沿C的积分为 ，若C为 x 轴上区间，此时 ，该定义即为定积分定义. Cdzzf)()()(xfzfA1z2z1 kzkzk 1 nzB说明：说明： (1) 当当 是连续函数，且是连续函数，且L是光滑曲是光滑曲线时，积分线时，积分 一定存在；一定存在； (2) 可以通过两个二元实变函可以通过两个二元实变函数的线

3、积分来计算数的线积分来计算.( )d(i )(did )ddi( dd )f zzuxyu xyxu yvvv( )fz( )dLf zz( )dCfzz（与实函数中二元线积分类比与实函数中二元线积分类比）线积分线积分复积分复积分,ccF x yM x y iN x y jdrdxidyjF drMdxNdy ,ccf zu x yiv x yzxiy dzdxidyf z dzuivdxidyccudxvdyivdxudy ,F x ty trt dt ,f x ty tz t dt xx ttyy t 一个复积分的实质是一个复积分的实质是两个实二元线积分两个实二元线积分 ,A xy ,B

4、xydxdycdrdz典型实例典型实例 公式提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计公式提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两个二元实函数的曲线积分当曲线积分的积分算转化为两个二元实函数的曲线积分当曲线积分的积分路径路径C由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分定积分 例例 计算计算 ，其中，其中C为从原点到点为从原点到点3+4i的直线段的直线段 dCzz【解】【解】 直线的方程可写成直线的方程可写成 或或 于是于是 3 ,4 , 01xt ytt ( ) 3i4 , 01z tttt 11222001d(3 4i) d(3

5、 4i)d(3 4i)2Cz zt tt t例题3 0I(Z),()nCdznzz计算积分0:0rzzC解： 0:(02 ),iCzzreidzire d20)(Iniiredire21101i nniedr0,1,2,1.ni n例如 1zzdz,2 i 这个结果以后经常要用到，它的特点是这个结果以后经常要用到，它的特点是与积分路与积分路线圆周的中心和半径无关线圆周的中心和半径无关，应记住。，应记住。复积分的性质复积分的性质 ：上连续在逐段光滑的有向曲线、设Czgzf)()(1 线性性： CCCdzzgbdzzfadzzbgzaf)()()()()(为常数、baCC2 设为 的逆向曲线，则(

6、 )( )CCf z dzf z dz 12123,CCCf z dzf z dzf z dzCCC4( )( )( )CCCf z dzf zdzf z ds( )( ),f zCf zM LC(若在 上有界：为 的长度.)ML 3.2 柯西积分定理柯西积分定理定理定理1（柯西（柯西古萨基本定理）古萨基本定理） 如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则它在D内任何一条封闭曲线 C 的积分为零:( )d0.Cf zz 注注1：定理中的曲线C可以不是简单曲线. 此定理成立的条件之一是曲线C要属于区域D。 注注2：如果曲线C是D的边界, 函数 f (z)在D内与C上解析, 即在闭区域 D+

7、C上解析, 甚至 f (z)在D内解析, 在闭区域D+C 上连续, 则 f (z)在边界上的积分仍然有( )d0.Cf zz 二、原函数与不定积分二、原函数与不定积分推论：如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, C属于D， f z dzc则与路径无关仅与起点和终点有关。其中C： 。01zz于是 0zCCzf z dzfdfd 0zzF zfd 变上限积分。定理定理2 如果函数 f (z)在单连通域D内处处解析, 则 在D内也是解析的，且 。 F z Fzf z 0zzF zfd 变上限积分。证明： 001zzzzzF zzF zfdfdzz 1zzzfdz 1zzzff zdz 11zz

8、zzzzF zzF zf zfdf z dzzz 1zzzF zzF zf zff zdzz 1zzzff zdz因f(z)在D内解析，故f(z)在D内连续 0,0,zff z 使当时，有特别地 110010.zzzzfdF zF zF z例如：23331133z dzz注：以上讨论中D为单连通域。解析函数的导数仍为解析函数解析函数的导数仍为解析函数内解析，在区域azDazzf01)(0211idzazaz这里D为复连通域。可将柯西积分定理推广到多连通域的情况定理定理2 假设C及C1为任意两条简单闭曲线, C1在C内部,设函数 f (z)在C及C1所围的二连域D内解析, 在边界上连续，则 1.

9、CCf z dzf z dzC1CDAB证明：取1CAB CBA 1CABCBA10CC11CCC 这说明解析函数沿简单闭曲线积分不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值。 -闭路变形原理闭路变形原理推论（复合闭路定理）：推论（复合闭路定理）：为简单闭曲线设nCCC,21(互不包含且互不相交)， 的简单闭曲线，为包含nCCCC,21nCCCCD21为由边界曲线所围成的多连通区域， 内解析，在Dzf)(则上连续在,DD0)(dzzf1( )( ).inCCif z dzf z dz或CiCD 从以上例子可以看出，复合闭路定理可以把沿任意简单闭曲线上的积分化为以所围奇点为中心的圆周上的积分，也就是

10、说，闭曲线任意变形，只要在变形过程中不经过函数f(z)的奇点，则不会改变解析函数沿闭曲线的积分值，这种性质称为闭路变形原理。 3.3 柯西积分公式柯西积分公式0,zD设若 f (z) 在D内解析，则000( )( )ddCz zf zf zzzzzzz闭路变形原理DC0z 00f zf z 00001()d2().z zf zzif zzz分析：分析：.定理定理 (柯西积分公式) 如果 f (z)在区域D内处处解析, C为D内的任何一条正向简单闭曲线, 它的内部完全含于D, z0为C内的任一点, 则001( )()d .2Cf zf zzizz 12Cfor f zdiz-解析函数可用复积分表

11、示。 证 由于f (z)在 z0连续, 任给 0, 存在 () 0, 当 |zz0| 时, | f (z)f (z0)| . 设以 z0为中心, R 为半径的圆周K : |zz0|=R全部在C的内部, 且R .DCKzz0R00( )( )ddCKf zf zzzzzzz0000()( )()ddKKf zf zf zzzzzzz000( )()2()dKf zf zif zzzz00( )()dKf zf zzzzd2.KsR00|( )()|d|Kf zf zszz 002Cf zdzif zzz根据闭路变形原理, 该积分的值与R无关, 所以只有在对所有的R 积分值为零才有可能。推论推论1

12、 如果C是圆周z=z0+Rei, 则柯西积分公式成为2000(e )1()e d2eiiif zRf ziRiR2001(e )d2if zR0Reif z- 一个解析函数在圆心处的值等于 它在圆周上的平均值.推论2 设 f (z)在二连域 D内解析，在边界上连续，则 100012CCf zf zf zdzdzizzzz0.zDD0zC1C 3.4 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数 一个解析函数不仅有一阶导数, 而且有各高阶导数, 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示. 这一点和实变函数完全不同. 一个实变函数在某一区间上可导, 它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导

13、数存在了.定理定理 解析函数f(z)的导数仍为解析函数, 它的n阶导数为:( )010!( )()d(1,2,)2()nnCnf zfzznizz 其中C为在函数 f (z)的解析区域D内围绕 z0的任何一条正向简单曲线, 而且它的内部全含于D.证 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定义0.z 在时也趋向于零0201( )()d2()Cf zfzzizz0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz按柯西积分公式有001( )()d .2Cf zf zzizz001( )( )d2Cf zf z

14、zzizzz0000( )()1( )d2()( )Cf zzf zf zzzizzzzz因此0020( )()1( )d2()Cf zzf zf zzizzz20001( )1( )dd2()2()( )CCf zf zzzizzizzzzz2001( )d2() ( )Czf zzIizzzzz现要证当z0时I0, 而2001( )d|2() ( )Czf zzIzzzzz2001| |( )|d2| | |Czf zszzzzz f (z)在C上连续, 则有界, 设界为M, 则在C上有| f (z) | M. d为 z0 到C上各点的最短距离, 则取 |z| 适当地小使其满足 |z| 1

15、.CzCzzzzzd)1(e)2;d)1(cos)1225解 1) 函数 在C内的z=1处不解析, 但cosz在C内却是处处解析的. 5)1(coszz.12)(cos)!15(2d)1(cos51)4(5|izizzzzC222)(1)zCedzz 12CCC2C1C12CC212222)()()()(CzCzdzizizedzizizeizzizzizeizei22)()(2)41sin(2 i0( )RRf zCzzRC在内解析，在上连续，则)(max(!)(0)(zfMRnMzfRCnnCauchy不等式： 证明：RCnndzzzzfinzf100)()()(2!)(RCnndzzzzfnzf100)()(2!)(nnRnMRRMn!22!1注1：解析函数的导数模的估计与区域的大小有关；注2： )(max)(00zfMzfnRCLiouville定理：全平面的有界解析函数必为常数。证明：对复平面上任一点z ， RRCzRCint, ,)()(21)(2RCdzfizfMf)(RCdzfzf2)(21)(0)(0)(222RzRRM0)(zf.)(constzf( )Re