第2章_2弹性力学基础与地震波—波动方程的解

1、第二章第二章 弹性力学基础与地震波弹性力学基础与地震波弹性力学基础弹性力学基础波动方程的解波动方程的解 1. 不均匀弹性杆的一维波动方程的解不均匀弹性杆的一维波动方程的解分离变量法求解分离变量法求解均匀杆均匀杆 c(x)=cC1、C2、C3、C4 为任意函数。为任意函数。是是DAlembert形形式解式解五、波动方程的解五、波动方程的解 注：注：是可以任取的常数是可以任取的常数，波动方程的解表示由无数频率成分的简谐波合，波动方程的解表示由无数频率成分的简谐波合成的任意形状的函数。地成的任意形状的函数。地震仪记录的地震波的频带范围可震仪记录的地震波的频带范围可从从0.0001200Hz。地震波的

2、波速在地壳中约地震波的波速在地壳中约为为5km/s，因此记录的地震波信号的波长范围因此记录的地震波信号的波长范围在在0.02550000km之之间。间。地面运动地面运动是实函数是实函数地震学名词地震学名词非均匀杆非均匀杆当地震波传播速度的空间变化量大大小于感兴趣的频率，即不均匀一维介质当地震波传播速度的空间变化量大大小于感兴趣的频率，即不均匀一维介质中高频地震波的波动方程解可以表达为中高频地震波的波动方程解可以表达为 2. 三维均匀空间中波动方程的平面波解三维均匀空间中波动方程的平面波解其中iin nk k 同样同样注：无论是波还是波，其波数矢量的方向注：无论是波还是波，其波数矢量的方向代表的

3、是平面波的播方向，上述波动方程的解代表的是平面波的播方向，上述波动方程的解中波数矢量前只需取单一的中波数矢量前只需取单一的号。号。 举例：举例：X1X3 平面内传播的平面波解平面内传播的平面波解 一组在一组在 平面内传播的平面内传播的平面波平面波，其相位函数为，其相位函数为波阵面方程波阵面方程的表达式的表达式在在x1x3 平面上的一条平面上的一条直线，该直线所代直线，该直线所代表的是一个垂直于表的是一个垂直于x1x3 平面的等相面平面的等相面固定时刻的一系列不同相位的波阵面固定时刻的一系列不同相位的波阵面等相位的波阵面在不同时刻的空间位置等相位的波阵面在不同时刻的空间位置波数矢量波数矢量（k1

4、，3）与波阵面是正交的）与波阵面是正交的定义波矢量方向与定义波矢量方向与 轴方向的夹角为入射角，并记为轴方向的夹角为入射角，并记为射线参数或水平慢度射线参数或水平慢度垂直慢度垂直慢度 在在 平面内传播的平面内传播的平面波平面波，同样也有，同样也有又对在对在 平面内传播的平面波，则有平面内传播的平面波，则有波的质元运动（振动）方向与波矢量方向（传播方向）是平行的波的质元运动（振动）方向与波矢量方向（传播方向）是平行的 在在 平面内传播的平面波，则有平面内传播的平面波，则有在在 平面内传播的平面波的振动，并不像波一样，只局平面内传播的平面波的振动，并不像波一样，只局限在传播平面上，在垂直于传播平面

5、的限在传播平面上，在垂直于传播平面的 方向上也存在波分量。方向上也存在波分量。uS=uSV+uSHuS在X2轴的投影分量为 uSHuSHe2uS在X1 X3坐标基平面(入射面)上的投影分量为uSVuSV1e1 + uSV2e3入射面界面波阵面X1X2X3SVSH垂直于传播平面的垂直于传播平面的 方向上的方向上的波分量记为波分量记为 波，传播平面上波，传播平面上的波分量记为波。的波分量记为波。地震学中将垂直于传播平面的地震学中将垂直于传播平面的 方向上的波分量记为方向上的波分量记为 波，传播平面波，传播平面上的波分量记为波。上的波分量记为波。波的位移函数也满足波动方程波的位移函数也满足波动方程则

6、有则有波的位移为波的位移为尽管的振动局限在波的传播平面内，但其振动方向与传播方尽管的振动局限在波的传播平面内，但其振动方向与传播方向是垂直的。向是垂直的。波势函数的解有波势函数的解有波的总位移为波的总位移为弹弹性介质中可以同时存在两种振动方向互相正交的不同类型的性介质中可以同时存在两种振动方向互相正交的不同类型的波波波和波，它们在介质中是以不同速度独立传播的，互不干波和波，它们在介质中是以不同速度独立传播的，互不干涉涉波波分解成振动方向相互正交的两个分量：波和分解成振动方向相互正交的两个分量：波和 波波；波的振动方向与波和波的振动方向都是垂直的，波将波的振动方向与波和波的振动方向都是垂直的，波

7、将独立传播，不会与波或波间发生波型相互转换或能量交换。而独立传播，不会与波或波间发生波型相互转换或能量交换。而波与波的振动方向由于都在传播平面内，当波传播至垂直于传播平波与波的振动方向由于都在传播平面内，当波传播至垂直于传播平面的介质速度间断面时，波与波间可能会发生相互转换和能量交面的介质速度间断面时，波与波间可能会发生相互转换和能量交换，即可能产生反射或折射的转换波。换，即可能产生反射或折射的转换波。 三分量地震仪记录的地面振动通常分别记录的波动矢量是：垂直向振动三分量地震仪记录的地面振动通常分别记录的波动矢量是：垂直向振动（向上为正），北南向振动（向北为正）和东西向振动（向东为正）。通（向

8、上为正），北南向振动（向北为正）和东西向振动（向东为正）。通过对两个水平振动分量的坐标旋转，不难将波动矢量旋转为：垂直向振动过对两个水平振动分量的坐标旋转，不难将波动矢量旋转为：垂直向振动，径向振动（由源到记录台的连线的水平投影，分量）和切向振动（与，径向振动（由源到记录台的连线的水平投影，分量）和切向振动（与径向正交的水平分量，分量）。右图显示了一个地震记录的实例，切向径向正交的水平分量，分量）。右图显示了一个地震记录的实例，切向分量上记录的波显然是波；垂直分量上，分量上记录的波显然是波；垂直分量上，P波最清晰，只有很少能波最清晰，只有很少能量在切向上量在切向上波、波及波偏振方向（左）和三分

9、量远震原记录及旋转后的地震图（右）波、波及波偏振方向（左）和三分量远震原记录及旋转后的地震图（右）SKS、PS、SKKS从从P波转换为波转换为SV波；波；Sdiff或或Sd表示表示S波波沿核幔沿核幔边界衍射，边界衍射，为为SH波。波。 3. 波动方程的柱面波解波动方程的柱面波解 轴对称波场，柱坐标系下，波动方程化为：轴对称波场，柱坐标系下，波动方程化为：rrrt122222设设?R(r)T(t)，代入求解，可以得到：，代入求解，可以得到：)()()2(0) 1 (0krBHkrAHRCeTtik)4-(kr-)2(0)4-(kr)1(0)2(0)1(02)( 2)(1HankeliiekrkrHekrkrHkrHH时，当函数是零阶和分别表示以速度分别表示以速度 向极轴汇聚和离开的柱面波。柱面波的振幅是向极轴汇聚和离开的柱面波。柱面波的振幅是r-1/2，可以从物理上分析得到理解；，可以从物理上分析得到理解； 当柱面波向外传播时，波前面的面积与r成正比，因此每单位面积上的能流按r-1减少。又因能流与振幅的平方成正比，所以振幅应与r-1/2成正比。柱坐标系下波场的一般形式(不满足轴对称时)： 波动方程为：zzee