第2章 稳态导热

1、第二章第二章 稳态热传导稳态热传导2.1 导热基本定律导热基本定律-傅里叶定律傅里叶定律2.2 导热问题的数学描写导热问题的数学描写2.3 典型一维稳态导热问题的分析解典型一维稳态导热问题的分析解2.4 通过肋片的导热通过肋片的导热2.5 具有内热源的一维导热问题具有内热源的一维导热问题2.6 多维稳态导热问题的求解多维稳态导热问题的求解2.1 2.1 导热基本定律导热基本定律- -傅里叶定律傅里叶定律2.1.1 2.1.1 各类物体的导热机理各类物体的导热机理2.1.2 2.1.2 温度场温度场2.1.3 2.1.3 导热基本定律导热基本定律2.1.4 2.1.4 导热系数导热系数返回返回2

2、.1.1 2.1.1 各类物体的导热机理各类物体的导热机理气体气体：气体：气体分子不规则热运动分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气时相互碰撞的结果，高温的气体分子运动的动能更大体分子运动的动能更大 返回返回固体固体： 对于导电固体，对于导电固体，自由电子自由电子的运动在导热中起着重要的作用，的运动在导热中起着重要的作用，电的良导体也是热的良导体电的良导体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动晶格结构的振动，即原，即原子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的子、分子在其平衡位置附近的振动来实现的2.1.2 2.1.2 温度场温度场一、温度场定义一、

3、温度场定义也称也称温度分布温度分布，是各个时刻物体中由各点温度所组成的集合。一般情况，是各个时刻物体中由各点温度所组成的集合。一般情况下，物体的下，物体的温度场是空间坐标和时间的函数温度场是空间坐标和时间的函数，即，即,zyxft 等温面（等温面（等温线）等温线） ：同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成同一时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的面。的面。三、温度场表示三、温度场表示按温度场是否随时间变化，分为按温度场是否随时间变化，分为稳态稳态和和非稳态非稳态温度场温度场非稳态温度场非稳态温度场稳态温度场稳态温度场按影响温度场的空间维数的不同，分为按影响温度场的空间维数的不

4、同，分为一维一维、二维二维和和三维三维温度场温度场二、温度场分类二、温度场分类tqnn n 反映导热热流量和导热体温度分布关系的公式是法国科学家傅里叶反映导热热流量和导热体温度分布关系的公式是法国科学家傅里叶提出的，故称为提出的，故称为傅里叶定律傅里叶定律。它是一个。它是一个实验定律实验定律，和热力学第一定，和热力学第一定律一起构成了采用理论分析方法求解导热问题的理论基础。律一起构成了采用理论分析方法求解导热问题的理论基础。n 热流密度是矢量热流密度是矢量，描述某点热流密度矢量的傅里叶定律一般形式为：，描述某点热流密度矢量的傅里叶定律一般形式为：n 傅里叶定律说明，在导热过程中，单位时傅里叶定

5、律说明，在导热过程中，单位时间内通过导热体内某处的热流密度矢量，间内通过导热体内某处的热流密度矢量，方向与该处温度梯度方向相反方向与该处温度梯度方向相反，数值大小，数值大小正比于正比于该处沿法线方向的该处沿法线方向的温度变化率温度变化率是过该点的等温线上的是过该点的等温线上的法向单位矢量法向单位矢量，指向温度升高方，指向温度升高方向，它与该点温度梯度矢量方向相同（温度升高最剧烈向，它与该点温度梯度矢量方向相同（温度升高最剧烈方向可用温度梯度向量表示）。方向可用温度梯度向量表示）。n2.1.3 2.1.3 导热基本定律导热基本定律tAnn ()tttqgradtijkxyz ttttngradt

6、ijknxyzn 在直角坐标系中，在直角坐标系中，温度梯度矢量温度梯度矢量可以表示为：可以表示为：i,j,ki,j,k分别为直角坐标系三个坐标轴方向的单位向量分别为直角坐标系三个坐标轴方向的单位向量n 在直角坐标系中，傅里叶定律的矢量形式可以表示为：在直角坐标系中，傅里叶定律的矢量形式可以表示为：n 在一维情况下，傅里叶导热定律可以写成：在一维情况下，傅里叶导热定律可以写成：tqx n 傅里叶定律适用范围傅里叶定律适用范围：除了对：除了对温度极低温度极低（接近（接近0K0K）、）、传热时间极短传热时间极短（与材料本身的固有时间尺度接近）、导热体的（与材料本身的固有时间尺度接近）、导热体的空间尺

7、度极小空间尺度极小（与微（与微观粒子的平均自由行程接近）的情况观粒子的平均自由行程接近）的情况不能使用不能使用外，对其它导热问题均外，对其它导热问题均能使用。不管导热体的形状、是否稳态、是否有内热源等。这也是傅能使用。不管导热体的形状、是否稳态、是否有内热源等。这也是傅里叶定律称为里叶定律称为导热基本定律导热基本定律的原因。的原因。2.1.4 2.1.4 导热系数导热系数导热系数导热系数是材料的固有属性，即是材料的固有属性，即物性物性。其大小取决于材料的种类和温度。除各。其大小取决于材料的种类和温度。除各向异性材料外，与材料的形状大小等几何因素无关。向异性材料外，与材料的形状大小等几何因素无关

8、。n 记住记住2020几种典型材料的导热系数量级，几种典型材料的导热系数量级，单位：单位：W/(m.)0.71 0.850.5993990.025936.7纯铜：纯铜：碳钢：碳钢：水：水：粘土实心砖：粘土实心砖：干空气：干空气：0.12n 保温材料保温材料：GB/T4272-92GB/T4272-92设备及管道保温技术通则设备及管道保温技术通则规定规定W/(m.)W/(m.)温度温度=350 t2）？）？ b0时，温度曲线上凸时，温度曲线上凸 b=0时，温度曲线为直线时，温度曲线为直线 btt） 。n 求取：肋片内的温度分布及肋片与周围流体的对流传热量求取：肋片内的温度分布及肋片与周围流体的对

9、流传热量2.4.1 2.4.1 通过等截面直肋的导热通过等截面直肋的导热 导热体内温度不随时间变化，即导热体内温度不随时间变化，即稳态稳态 在任一肋片截面上沿宽度和厚度方向温度认为均匀，肋片内温度在任一肋片截面上沿宽度和厚度方向温度认为均匀，肋片内温度仅沿高度方向变化，即为仅沿高度方向变化，即为一维一维导热问题导热问题 材料的导热系数、表面传热系数及沿肋高方向截面积均为常数材料的导热系数、表面传热系数及沿肋高方向截面积均为常数 肋片顶端可视为绝热肋片顶端可视为绝热n 在肋片高度方向上取一微元体，在单位时间在肋片高度方向上取一微元体，在单位时间内对该微元体进行热平衡分析。内对该微元体进行热平衡分

10、析。二、问题数学描述二、问题数学描述n 由于肋片的侧面与周围流体进行对流传热，故与一般的一维导热问由于肋片的侧面与周围流体进行对流传热，故与一般的一维导热问题控制方程推导方法有所不同。题控制方程推导方法有所不同。n 两种办法解决：一是直接根据热平衡和傅里叶定律建立肋片导热的两种办法解决：一是直接根据热平衡和傅里叶定律建立肋片导热的控制方程；二是将肋片侧面的对流传热用一个假想的内热源来代替。控制方程；二是将肋片侧面的对流传热用一个假想的内热源来代替。 我们用第一种方法来推导，教材采用了第二种方法，自己阅读。我们用第一种方法来推导，教材采用了第二种方法，自己阅读。x x处导入热量处导入热量 - (

11、x+dx)- (x+dx)处导出热量处导出热量 - - 控制体侧面对流散热量控制体侧面对流散热量 = = 控制体热力学能增量控制体热力学能增量 x x处导入热量处导入热量: : 控制体热力学能增量控制体热力学能增量: 0: 00)(22cAtthPdxtd x+dxx+dx处导出热量处导出热量: :n 代入热平衡方程得微分方程：代入热平衡方程得微分方程：dxdtAcdxdxdttdxdAc)(tthPdx 控制体侧面对流散热量：控制体侧面对流散热量：x x处导入热量处导入热量 - (x+dx)- (x+dx)处导出热量处导出热量 - - 控制体侧面对流散热量控制体侧面对流散热量 = = 控制体

12、热力学能增量控制体热力学能增量0)(22cAtthPdxtdn 该方程为二阶非齐次常微分方程，为转变为齐次方程，引入过余温度该方程为二阶非齐次常微分方程，为转变为齐次方程，引入过余温度 2cAhPm边界条件边界条件: :0222mdxd0 , ; ,000dxdhxttx并令：并令：tt 得到控制方程：得到控制方程：n 方程通解方程通解: :mxmxecec21 - ,020102mHmHmHmHmHmHeeecceeec0mxmHmHmHmxmHmHmHeeeeeeeen 代入边界条件，得到积分常数代入边界条件，得到积分常数: :三、分析求解三、分析求解n 肋片中的温度分布为肋片中的温度分布

13、为: :)()(0)()(0mHchHxmcheeeemHmHHxmHxm)( )()()( )()()(0000000mHthmhPmHthmAmHchmHshmAmmHchxHmshAdxdAdxdtAccxcxcxcn 肋片肋片散热量散热量: :肋片散热量方法可采用不同的方法，结果相同肋片散热量方法可采用不同的方法，结果相同)()(0mHchHxmchn 肋片内肋片内温度分布温度分布: :n 上述肋片内温度分布及散热量结果对于上述肋片内温度分布及散热量结果对于t t0 0tt的情况也完全适用。的情况也完全适用。n 当当肋端为第三类边界条件肋端为第三类边界条件时，边界条件变为时，边界条件变

14、为: :HHxhdxdHx 时 仍按照肋端绝热公式计算肋片散热量，但用一个折合的肋片高度来取仍按照肋端绝热公式计算肋片散热量，但用一个折合的肋片高度来取代实际的肋片高度。肋片折合高度为：代实际的肋片高度。肋片折合高度为：21HHn 可以采用与肋端为绝热边界条件时类似的方法来计算肋片散热量。可以采用与肋端为绝热边界条件时类似的方法来计算肋片散热量。n 另外一种工程上采用的近似处理方法如下：另外一种工程上采用的近似处理方法如下： 该方法思想是认为肋端仍然绝热，而把肋端的散热量折合到肋片侧面该方法思想是认为肋端仍然绝热，而把肋端的散热量折合到肋片侧面四、考虑肋端散热时肋片散热量的计算四、考虑肋端散热

15、时肋片散热量的计算0222mdxd)(0mHthmhP五、解的应用五、解的应用n 如何减小测温套筒的测量误差如何减小测温套筒的测量误差)(10mHchH根据公式：根据公式：HAhPchttmHchttttfffH1)(1)(00n 要想减少测温误差，即减少要想减少测温误差，即减少(tH-tf)，应降低，应降低(t0-tf)，同时加大，同时加大ch(mH)。1、增加、增加t0，可以降低，可以降低(t0-tf)2、双曲余弦是递增函数，因此应当加大、双曲余弦是递增函数，因此应当加大m和和H 加大加大m，可以通过降低导热系数和测温套筒截面积，可以通过降低导热系数和测温套筒截面积(厚度），以及加大厚度）

16、，以及加大h和和P来实现来实现返回返回2.4.2 2.4.2 肋效率肋效率n 肋效率肋效率定义：定义：0基温度下时的散热量假定整个肋表面处于肋实际散热量f肋片的实际散热量可以表示为肋片的实际散热量可以表示为: :0fn 对于截面形状比较复杂的肋片，其肋效率计算结果已经被整理为线算对于截面形状比较复杂的肋片，其肋效率计算结果已经被整理为线算图，如教材中图图，如教材中图2-192-19、2-202-20所示。所示。n 根据肋片的有关几何及工作条件可以查得肋片效率，从而计算出肋片根据肋片的有关几何及工作条件可以查得肋片效率，从而计算出肋片散热量散热量)(00ftthAn 从图中可知，肋片越高，肋效率

17、越低。这说明材料的利用效率随肋高的增加从图中可知，肋片越高，肋效率越低。这说明材料的利用效率随肋高的增加而降低。因此，一般肋片不能太长而降低。因此，一般肋片不能太长返回返回2.5 2.5 具有内热源的一维导热问题具有内热源的一维导热问题2.5.1 2.5.1 具有内热源的平板导热具有内热源的平板导热2.5.2 2.5.2 具有内热源的圆柱体导热具有内热源的圆柱体导热返回返回2.5.1 2.5.1 具有内热源的平板导热具有内热源的平板导热n 直角坐标系下一维、稳态、常物性、有内热源，两侧为第三类边界条件。直角坐标系下一维、稳态、常物性、有内热源，两侧为第三类边界条件。n 由于对称性，可只取一半导

18、热体进行分析，由于对称性，可只取一半导热体进行分析， 在对称轴处为绝热边界条件在对称轴处为绝热边界条件二、问题数学描述二、问题数学描述: :022dxtdftthdxdtxtx- , 0dxd , 0边界条件边界条件: :控制方程：控制方程：一、问题物理描述一、问题物理描述: :01cfthc 2 22n 导热体内导热体内温度分布温度分布为为:fthxt)(2222122cxcxt三、数学模型求解：三、数学模型求解：代入边界条件可得：代入边界条件可得：n 从上式可知，对于所研究的问题，当内热源为正值时，导热体内中心从上式可知，对于所研究的问题，当内热源为正值时，导热体内中心处具有最高的温度处具

19、有最高的温度n 注意：对于有内热源的一维稳态导热，导热体内不同位置处的热流量注意：对于有内热源的一维稳态导热，导热体内不同位置处的热流量并不相等，因此也不能采用热阻分析法来计算导热量并不相等，因此也不能采用热阻分析法来计算导热量积分两次得积分两次得:返回返回2.5.2 2.5.2 具有内热源的圆柱体导热具有内热源的圆柱体导热n 柱坐标系下的一维稳态常物性有内热源的导热问题柱坐标系下的一维稳态常物性有内热源的导热问题，圆柱表面为第一类边界条件。根据对称性，圆柱，圆柱表面为第一类边界条件。根据对称性，圆柱中心线处温度梯度为中心线处温度梯度为0.01.drdtrdrdr二、问题数学描述：二、问题数学描述：11 , ; 0 , 0ttrrdrdtrn 用分离变量法积分两次，并代入边界条件，得用分离变量法积分两次，并代入边界条件，得圆柱体中温度分布圆柱体中温度分布为：为：)(412211rrttn 同样，圆柱体内的最高温度出现在圆柱中心线处同样，圆柱体内的最高温度出现在圆柱中心线处一、问题物理描述一、问题物理描述: :返回返回2.6 2.6 多维稳态导热问题的求解多维稳态导热问题的求解2.6.1 2.6.1 稳态导热问题求解方法简述稳态导热问题求解方法简述2.6.2 2.6.2 计算导热量的形状因子法计算导热量的形状因子法返回返回n 分析解法分析解法：对于极少