高考物理总复习专题十一临界与极值问题训练题

1、1 / 102008 高考物理总复习高考物理总复习 专题十一专题十一 临界与极值问题训练题临界与极值问题训练题【方法与规律方法与规律】在一定的条件下，当物体的运动从一种形式或性质转变为另一种形式或性质时，往往存在一种状态向另一状态过渡的转折眯，这个转折点常称为临界点，物体的物理状态和过程的性质特点在达到临界状态时将发生转变，因而常使一些物理量的值取得极大或极小。临界状态总是在一定条件下出现。临界问题的分析是中学物理中较为常见，也是很多同学感到困难的问题之一，这就要求我们在教学中能不断探索这类问题的分析方法。分析临界问题的关键是找准临界点，中心是分析临界趋势或特征，发现临界条件，而临界条件往往是

2、极值条件，或是解决极值问题的关键之处。求解临界与极值问题的方法求解临界与极值问题需要有较高的综合分析能力及相关的数学知识功底，高中物理有多处涉及临界问题，现已成为高中物理的热点之一，并不时地出现在高考题中，应引起我们足够的重视。极限法分析临界问题，是通过分析把关键物理量同时推向极大和极小时的物理现象，从而找出解决问题的突破口的一种方法。下面通过几种情况的分析来体会：【经典例题经典例题】一、关键物理量一、关键物理量“力力 F”【例例 1】如图 1 所示，物体 A 的质量为 2kg，两轻绳 AB 和 AC(LAB=2LAC)的一端连接在竖直墙上，另一端系在物体 A 上，今在物体 A 上另施加一个与

3、水平方向成 =600角的拉力 F。要使两绳都能伸直，试求拉力 F 的大小范围。(g=10m/s2)【解析】如果 F 很小，由竖直方向平衡知轻绳 AB中必有张力，当 AC 中张力恰为零时，F 最小；如果 F 很大，由竖直方向平衡知轻绳 AC 中必有张力，当 AB 中张力恰好为零时，F 最大。设物体的质量为 m，轻绳 AB 中的张力为 TAB，AC中的张力为 TAC，F 的最小值为 F1，最大值为 F2 LAB=2LAC，有CAB=600ABCF600图 1数学方法物理方法算术几何平均数：两数和为定值积有最大值；两数积为定值和有是小值判别式法二次函数极值法三角函数法画矢量图法图像法极限分析法或结合

4、对物理原理的分析，直接推断出有关极值条件2 / 10由平衡条件有：F1sin600+TABsin600=mg , F1cos600=TABcos600F2sin600=mg 以上各式代入数据得：F1=203/3N，F2=403/3N因此，拉力 F 的大小范围：203/3N F403/3N此题也可由平衡条件直接列方程，结合不等式关系 TAB0，TAC0 求解。二、关键物理量二、关键物理量“加速度加速度 a”【例例 2】质量为 0.2kg 的小球用细绳吊在倾角 =600的斜面体的顶端，斜面体静止时，小球紧靠在斜面上，线与斜面平行，如图 2 所示，不计摩擦，求当斜面体分别以（1）23m/s2， （2

5、）43m/s2的加速度向右加速时，线对小球的拉力。【解析】 很多同学看到题目就会不加分析的列方程求解，从而出现解出的结果不符合实际。其实，如果我们仔细审题就会发现题目设问的着眼点是加速度。当小球向右加速运动时，如果加速度 a 很小，小球压紧斜面，受力分析如图 21；如果加速度 a 很大，小球将离开斜面，受力分析如图 22。设小球对斜面的压力为零时，斜面体的加速度为 a0（即临界加速度） ，受力分析得：a0=gcot=103/3（m/s2） （1）因为 a=23（m/s2）a0，因此小球仍压紧斜面，由牛顿第二定律和平衡条件列方程有： Tcos-Nsin=ma , Tsin+Ncos=mg 代入数

6、据解得：T=m（gsin+acos）=1.23 N （2）因为 a=43 m/s2a0，因此小球已飘离斜面，T=mg2+a2=0.437 N （此处也可按（1）的列式方法求解） 。三、关键物理量三、关键物理量“速度速度 v /”【例例 3】如图 3 所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过 O 点的水平轴自由转动。现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（ ）A、a 处为拉力，b 处为拉力 B、a 处为拉力，b 处为推力C、a 处为推力，b 处为拉力 D、a 处为推力，b 处为推力【解析】 a 处的分析很容易，只能为拉力；而 b 处则

7、有两种可能。当 v 或 很小时，小球的重力大于所需的向心力，杆对球的作用力为推力；v 或 很大时，小球的重力不足以提供小球所需的向心力，杆对小球的作用力为拉力。故正确答案为 AB【例例 4】如图 41 所示，在互相垂直的匀强电场和匀强磁场中，一个质量为 m、带电量为+q 的有孔小球沿着穿过它的竖直长杆下滑，小球与杆之间的滑动摩擦系数为 ，设电场场强为 E，磁感应强度为 B，电场、磁场范围足够大，求：（1）当小球有最大加速度时的速度为多大？（2）当小球有最小加速度时的速度为多大？【解析】对小球受力分析，如图 42，开始速度很小，所受的杆的弹力向右，大小 N=qE-qvB，随着速度的增大，N 减小

8、，f=N 减小，加速度a=（G-f）/m 增大；小球速度很大时，所受弹力向左，TGGTNTG图 21图 22图 23abo图 3EBGfF1=qEF2=qvB图 413 / 10大小为 N= qvB qE，随着速度的增大，N 增大，f=N 增大，加速度 a=（G-f）/m 减小，直至为零。 （1）当 N= qvB qE =0 时，小球有最大加速度v=E/B。（2）小球的最小加速度为 a=0，则有mg=f ，f=N ，N= qvB qE 由以上各式解得：v=mg/qB+E/B 四、关键物理量四、关键物理量“动量动量 / 冲量冲量”【例例 5】宇航员在某一星球上以速度 v0竖直向上抛出一个小球，经

9、过时间 t，小球又落回到原抛出点。然后他用一根长为 l 的细绳把一个质量为 m 的小球悬挂在 O 点，使小球处于静止状态，如图 5 所示，现在最低点给小球一个水平向右的冲量 I，使小球能在竖直平面内运动，若小球在运动的过程中始终对细绳有力的作用，则冲量 I 应满足什么条件？【解析】 如果给小球的冲量 I 很小，小球在竖直平面内摆动，细绳中必有张力；如果给小球的冲量 I 很大，小球在竖直平面内做圆周运动，只要过最高点时的速度大于临界速度，细绳中也有张力。宇航员所在星球的重力加速度：g=2v0/t设使小球在竖直平面内摆动的最大冲量为 I1，小球获得的初速度的最大值为 v1，由机械能守恒定律：（1/

10、2）mv12=mgl 解得 I1=m v1=2mv0l/t设使小球在竖直平面内做圆周运动的最小冲量为 I2，小球获得的初速度的最小值为 v2，小球过最高点的临界速度为 v临由机械能守恒定律：（1/2）mv临 -（1/2）mv22= - mg2l 由牛顿第二定律与向心力公式：mg=mv临2/l解得 I2=m v2=m10v0l/t所以，要使小球在运动过程中始终对细绳有力的作用，给小球的冲量：I2mv0l/t 或 Im10v0l/t五、关键物理量五、关键物理量“磁感强度磁感强度 B”【例例 6】M、N 两板间相距为 d，板长均为 5d，两板未带电，板间有垂直纸面的匀强磁场，如图 61 所示，一大群

11、电子沿平行于板的方向从各处位置以速度 v 射入板间，为了使电子都不从板间穿出，磁感强度 B 的范围应为多少？【解析】 根据左手定则，电子受洛仑兹力向下，只要从板的最上端进入的电子不从板间穿出，则所有电子都不会从板间穿出。如果 B 很小，电子运动的轨道半径很大，将会从板的右端穿出，当电子恰好从 N板的右边缘穿出时，B 最小（如图 62） ；如果 B 很大，电子运动的轨道半径很小，将会从板的左端穿出，当电子恰好从 N 板的左边缘穿出时，B 最大。 （如图63）设电子不从板间穿出，磁感应强度最小值为 B1，图 42O图 5MNMNMN图 61图 624 / 10轨道半径为 R1，电子的质量为 m，带

12、电量为 e，则有： mv2/R1=evB1， R12=（5d）2 +（R1-d）2解得 B1=mv/13de设电子不从板间穿出，磁感应强度最大值为 B2，轨道半径为 R2，电子的质量为 m，带电量为 e，则有：m v2/R2=evB2 ， 2R2=d解得 B2=2mv/de因此，电子不从板间穿出，磁感强度 B 的范围是mv/13deB2mv/de六、关键物理量六、关键物理量“厚度厚度 d”【例例 7】如图 71 所示、宽为 a 的平行光束从空气斜向射入到两个面平行的玻璃板表面，入射角为450，光束中包含两种波长的波，玻璃对这两种波长的光的折射率分别为 n1=1.5,n2=3 。（1）求每种波长

13、的光入射玻璃板上表面后的折射角；（2）为了使光束从玻璃板下表面出射时能分成不交叠的两束，玻璃板的厚度 d 至少为多少？【解析】 两种波长的光射到玻璃板表面后，如果玻璃板的厚度 d 较小，光束从下表面出射时，仍相互交叠，如图 72；如果玻璃板的厚度 d 较大，光束从下表面出射时，将分成不交叠的两束，如图 73，临界厚度如图 74。 （1）设入射角为 i，经玻璃板折射后，折射率为 n1的光的折射角为 r1，折射率为 n2的光的折射角为r2，根据折射定律：n1=sini/sinr1 ，n2=sini/sinr2 代入数据解得：r1=arcsin2/3 ，r2=arcsin6/6（2）如图 93，由几

14、何关系有：dtanr1 dtanr2 = 2 a又 tanr1=14/7 ，tanr2 =5/5代入数据解得：d= 70a/（107 710）七、关键物理量七、关键物理量“电源的电动势电源的电动势”【例例 8】图中电源电动势为，内阻为 r，两电阻 R1=10，R2=8。当电键 S接 1 时，电压表示数为 2V；则当 S 接 2 时，电压表示数可能值的变化范围为 。【解析】根据闭合电路的欧姆定律 U=R/（R+r）当电键 S 接 1 时，电压表示数U=10/（10+r）=2V当电键 S 接 2 时，电压表示数U=8（8+r）=1.6（10+r）/（8+r） 。分析电压 U的表达式可知：图 63图

15、 71r1r2图 73图 72图 745 / 101.6V U2V(分别讨论 r0 和 r两种极端情况).点评点评求解本题要正确运用闭合电路欧姆定律的表达式,并根据题述条件进行合理推理,再巧用比例式求出电流的变化范围。极限法分析临界问题在解题中的应用远不止这些，只要我们用心体会，定会收益匪浅，深感其妙。【专题训练】1、用细绳将球体悬挂在竖直光滑的墙壁上如图 1 所示，当绳变长时下列说法正确的是（ ）A.绳子的拉力变小，墙对球的弹力变大B.绳子的拉力变大，墙对球的弹力变大C.绳子的拉力变大，墙对球的弹力变小D.绳子的拉力变小，墙对球的弹力变小 2、在光滑水平面上，放着两个长度相同，质量分别为 M

16、1和 M2的木板，在两个木板的左端各放一个相同质量为m的物块，如图 2、图 3 所示。今在两物块上分别用一水平恒力 F1和 F2拉两个物块。当物块和木板分离时，两个木板的速度分别是 V1和 V2，物块和木板之间的动摩擦因数相同，下列说法正确是（ ）A.若 F1F2，M1M2，则 v1v2 B.若 F1F2，M1M2，则 v1v23、如图 3 所示，在水平面上放着 A、B 两个物体，质量分别为 M、m（Mm） ，它们与地面之间的动摩擦因数分别为A、B，用一细线连结 A、B，线与水平方向成角，在 A 物体上加一水平拉力 F，使它们做匀速直线运动，则下列正确的是（ ）A.AB时，越小，F 越大B.A

17、B时，越小，F 越小C.AB时，越大，F 越大D.AB时，越大，F 越小4、甲、乙两人都从跑道的一端前往另一端，甲在一半时间内跑，在另一半时间内走；而乙在一半路程上跑，在另一半路程上走，他们跑和走的速度分别相同，问谁先到达终点？（ ）6 / 10A.甲先到终点 B.乙先到终点 C甲、乙同时到达终点 D无法判断5、一只小船在静水中的速度是1v，水流的速度是2v。若小船从上游 A 点到下游 B 点，又从 B 点到上游 A点的时间是1t；若水是静止的，小船从 A 点到 B 点，又从 B 点到 A 点所用的时间是2t。则1t和2t大小是（ ）A.1t2t B.1t2t C.1t2t D. 无法判断6、

18、在地面上以初速度0v竖直上抛一质量为m的小球，设上升和下降过程中，球所受到的空气阻力阻F大小不变。则上升和下降过程中，合外力对小球的冲量上I和下I的关系正确的是（ ）A.上I下I，方向相反 B.上I下I，方向相同C.上I下I，方向相同 D.上I下I，方向相同7、 如图所示，一根轻质弹簧上端固定，下端挂一质量为 M 的平盘，盘中有物体质量为 m ，当盘静止时，弹簧伸长了 L ，今向下拉盘使弹簧再伸长L 后停止，然后松手放开，设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时盘对物体的支持力等于( )A.mgLLL B. gMmLLL)( C. mgLL D. gMmLL)(8、一物体被竖直上抛，已知抛起的初速

19、度与回到抛出点时的速度的大小之比为 k，物体在运动过程中所受的空气阻力大小不变，则空气阻力与重力之比为( )A.k B.k1 C.1122kk D. 1122kk9、如图所示，在静止的电梯里放一桶水，将一个用弹簧固连在桶底的软木塞浸没在水中，当电梯以加速度 a 下降时（agA.弹簧伸长量将比静止时减小B.弹簧伸长量将比静止时增大C.弹簧伸长量将和静止时相等D.弹簧伸长量为零。10、物体从粗糙斜面的底端，以平行于斜面的初速度v0沿着斜面向上运动，则下面说法正确的是（ ）A.斜面的倾角越小，上升的高度越大B.斜面的倾角越大，上升的高度越大C.物体的质量越小，上升的高度越大D.物体的质量越大，上升的

20、高度越大11、如图所示,一质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上,在其右端放一质量为m的小木块A,mM.现以地面为参照系,给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图),使A开始向左运动、B开始向右运动,但最后A刚好没有滑离L板.以地面为参照系.(1)若已知A和B的初速度大小为v0,求它们最后的速度的大小和方向.(2)若初速度的大小未知,求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离.7 / 1012、一大木箱，放在平板车的后部，到驾驶室的距离 L=1.6m，如所示，木箱与车板之间的动摩擦因数=0.484，平板车以恒定的速度 v0=22.0m/s 匀速行驶，突然驾驶员刹车

21、，使车均匀减速，为不让木箱撞击驾驶室，从开始刹车到车完全停定，至少要经过多少时间？（g 取 10m/s2） 。13、如图所示同一竖直平面内固定着两水平绝缘细杆 AB、CD,长均为 L,两杆间竖直距离为 h,BD 两端以光滑绝缘的半圆形细杆相连,半圆形细杆AB、CD 在同一竖直面内,且 AB、CD 恰为半圆形圆弧在 B、D 两处的切线,O为 AD、BC 连线的交点,在 O 点固定一电量为 Q 的正点电荷.质量为 m 的小球P 带正电荷,电量为 q,穿在细杆上,从 A 以一定初速度出发,沿杆滑动,最后可到达 C 点.已知小球与两水平杆之间的动摩擦因数为 ,小球所受库仑力始终小于重力.在水平细杆上滑

22、动时受摩擦力的极大值和极小值;P 从 A 点出发时初速度的最小值.14、如图是静电分选的原理示意图。将磷酸盐和石英的混合颗粒由传送带送至两个带电平行板上方中部，经电场区域下，电场强度为 5105V/m，磷酸盐颗粒带正电，石英颗粒带负电，颗粒带电率（即颗粒所带电量与颗粒质量之比）均为 10-5C/kg，如果要求两种颗粒经电场区域后至少分离 10cm，粒子在电场中通过的竖直距离至少应多长？15、如图所示，小车 A 的质量 M=2kg，置于光滑水平面上，初速度为 V0=14m/s。带正电荷 q=0.2C 的可视为质点的物体 B,质量 m=0.1kg，轻放在小车 A 的右端，在 A、B 所在的空间存在

23、着匀强磁场，方向垂直纸面向里，磁感应强度 B=0.5T，物体与小车之间有摩擦力作用，设小车足够长，求：B 物体在小车上的最大速度？小车 A 的最小速度？在此过程中系统增加的内能2(10/)gm s ？16、如下图（a）所示，在坐标 x0y 平面的第一象限内，有一个匀强磁场，磁感应强度大小恒为 B0，方向垂直于 x0y 平面，且随时间做周期性变化，如图（b）所示，规定垂直 x0y 平面向里的磁场方向为正。一个质量为 m，电量为 q 的正粒子，在 t=0 时刻从坐标原点以初速度 V0沿 x 轴正方向射入，在匀强磁场中运动，经过一个磁场变化周期 T（未确定）的时间，粒子到达第一象限内的某一点 P，且

24、速度方向沿 x 轴正方向（不考虑重力作用） 。8 / 10（1）若点 O、P 连线与 x 轴之间的夹角为 450，则磁场变化的周期 T 为多大？（2）因点 P 的位置随着磁场周期的变化而变化，试求点 P 纵坐标的最大值为多少？此时磁场变化的周期又为多大？ 17某三棱镜的横截面是一直角三角形，如图所示，A=900，B=300，C=600，棱镜材料的折射率为 n，底面 BC 涂黑，入射光平行于底面 BC 的方向射向 AB 面，经 AB 面和 AC 面折射后射出。求出入 1射光线与出射光线延长线间的夹角；为使上述入射光线能从 AC 面出射， 2折射率 n 的最大值为多少？18、如图所示，位于竖直平面

25、上的1/4光滑轨道，半径为R，OB沿竖直方向，圆弧轨道上端A点距地面高度为H，质量为m的小球从A点静止释放，最后落在地面C点处，不计空气阻力求： (1) 小球刚运动到B点时，对轨道的压力多大? (2) 小球落地点C与B的水平距离S为多少?(3) 比值R/H为多少时，小球落地点C与B水平距离S最远?该水平距离的最大值是多少?【专题训练答案】1、D2、BD3、AC4、A5、C6、C7、A8、C9、A10、B11、(1)A刚好没有滑离B板,表示当A滑到B板的最左端时,A、B具有相同的速度.设此速度为V,A和B的初速度的大小为v0,则由动量守恒可得: Mv0-mvo=(M+m)v解得0vmMmMv(2)A在B板的右端时初速度向左,而到达B板左端时的末速度向右,可见A在运动过程中必经历向左作减速运动直到速度为零,再向右作加速运动直到速度为V的两个阶段.设l 1为A开始运动到速度变为零过程中向左运动的路程, l 2为A从速度为零增加到速度为V的过程中向右运动的路程,L为A从开始运动到刚到达B的最左端的过程中B运动的路程,如图所示.设A与B之间的滑动摩擦力为f,则由功能关系可知:对于B2202121MvMvfL对于A20121mvfl 2221mvfl由几何关系9 / 10lllL