大学物理-角动量守恒定律

1、4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律1 角动量变化定理和角动量守恒角动量变化定理和角动量守恒 1. 质点的角动量质点的角动量 2. 质点角动量变化定理质点角动量变化定理 3. 质点系角动量变化定理和角动量质点系角动量变化定理和角动量守恒定律守恒定律4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律1 质点的角动量质点的角动量质点对质点对O点的角动量：点的角动量：vrprlm 角动量的大小：角动量的大小： sinsinmrvrpl 右手螺旋定则：右手螺旋定则：右手四指由右手四指由r经小于经小于180 角角转向转向p，伸直的拇指的指向就是角动量的指向。，伸直的拇指的指向就是角动量的指

2、向。 必须指明是对哪个点而言的必须指明是对哪个点而言的 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律3 (2) 的大小在的大小在0 之间变化，如果把动量分解之间变化，如果把动量分解为径向分量为径向分量 和横向分量和横向分量 ，则仅横，则仅横向分量才对角动量有贡献。向分量才对角动量有贡献。Lrpcosp sinp 一般情形下，一般情形下， 和和 都是变化的，所以都是变化的，所以 没没有确定的方向，但任一时刻，有确定的方向，但任一时刻， 总垂直于总垂直于 和和 所确定的平面。在直角坐标系下，所确定的平面。在直角坐标系下， 的三个分量的三个分量为：为：rpLLrpL注意两点：注意两点：L(1)

3、 质点的角动量是相对某一参考点而言的，因此质点的角动量是相对某一参考点而言的，因此对不同的参考点，角动量对不同的参考点，角动量 不同不同;4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律 作圆周运动质点对作圆周运动质点对O点的点的角动量的方向垂直于圆周平角动量的方向垂直于圆周平面，大小为面，大小为2mrmrvl 把过把过O点并垂直于圆周平面的直线当成点并垂直于圆周平面的直线当成转轴，上式表示质点绕该轴转动的角动量。转轴，上式表示质点绕该轴转动的角动量。 xzyyxzzyxLypzpLzpxpLxpyp 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律5直线运动的角动直线运动的角动量量 若质

4、点若质点m沿直线运动，任一时刻相对于参考沿直线运动，任一时刻相对于参考点点o的矢径为的矢径为 ，动量为，动量为 ，如下图。在计算其，如下图。在计算其角动量时，注意有两个特点：角动量时，注意有两个特点：(1) o点到点到 方向的垂直距离方向的垂直距离 不变不变;(2) 方向不变方向不变;rppsinr L1p2p1r2r1 2 sinr o 假如假如 的大小也不变，的大小也不变，显然显然 的大小不变。这表的大小不变。这表明，自由质点对任意参考明，自由质点对任意参考点的角动量保持不变。点的角动量保持不变。Lp4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律61.5.2 质点角动量定理质点角动量定

5、理 质点对惯性系中任一固定点的角动量对时间质点对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点所受合力对该固定点的变化率，等于这个质点所受合力对该固定点的力矩的力矩 t ddlM sinrfM 力矩：力矩： frM 方向用右手螺旋方向用右手螺旋定则判断，大小为定则判断，大小为 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律7证明：证明：牛顿定律牛顿定律 角动量定理角动量定理t ddpf 因因 ，则有，则有0 pvpvprfrt ddt ddprfrttddd)d(lprprprttddddt ddlM 即即4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律8质点角动量守恒定律：质点

6、角动量守恒定律：当质点不受力，或所受合力矩当质点不受力，或所受合力矩M= =0时时， 常矢量常矢量l0ddtl质点角动量的大小和方向都保持不变。质点角动量的大小和方向都保持不变。 【例【例1.20】开普勒第二定律：开普勒第二定律：行星相对太阳行星相对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 在微观物理现象中，角动量守恒起到十分重在微观物理现象中，角动量守恒起到十分重要的作用。要的作用。4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律9rrdr 2p1pdssinr 设设 t 时刻，行星在时刻，行星在 点，点， 时刻在时刻在 点，点，矢径矢径 扫过的面积为扫

7、过的面积为dA，由于，由于dt很小，该面积近似很小，该面积近似为一三角形面积，即为一三角形面积，即1ptdt 2pr12( sin )dArds 式中，式中， 就是三角形的高，就是三角形的高，ds是三角形底边长是三角形底边长度，也就是行星在度，也就是行星在dt时间内运动的距离，这样时间内运动的距离，这样sinr 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律10112211 22( sin )sinsindAdsrrvdtdtrmvrpmm 而行星的角动量而行星的角动量 大小恒定，所以大小恒定，所以rp dAdt 常量常量 如果一个力的方向始终指向某一点，这力称如果一个力的方向始终指向某一

8、点，这力称为为有心力有心力，这点，称为，这点，称为力心力心。有心力对力心的力。有心力对力心的力矩恒为矩恒为0，因此，因此，在有心力作用下的质点对力心在有心力作用下的质点对力心的角动量守恒。的角动量守恒。这就是开普勒第二定律。这就是开普勒第二定律。4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律11 质点系角动量变化定理和角动量守恒定律质点系角动量变化定理和角动量守恒定律1. 质点系角动量质点系角动量iiimiiivrlL2. 质点系角动量变化定理质点系角动量变化定理 质点系对惯性系中任一固定点的角动量对时质点系对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点系所受对该固定点间的变化率

9、，等于这个质点系所受对该固定点的合外力矩的合外力矩t ddLM外iifrMi外合外力矩：合外力矩：4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律12证明：证明：对第对第i 个质点应用角动量定理个质点应用角动量定理 tijjijiijjijidd)()(iiiilfrfrffr对对i 求和求和 ttiijjiijiidddd)(,Llfrfriiiijjiijfrrfrfrjiji)(0任意一对内力的力矩之和为零：任意一对内力的力矩之和为零： 内力总成对出现，则质点内力总成对出现，则质点系所受合内力矩等于零，系所受合内力矩等于零，对总角动量没有影响。对总角动量没有影响。4- -3角动量角动量

10、守恒定律角动量角动量守恒定律133. 角动量守恒定律角动量守恒定律0外M如果质点系所受合外力矩如果质点系所受合外力矩 ，则，则 0ddtL， 常矢量常矢量 L 实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所实验表明，对于不受外界影响的粒子系统所经历的任意过程，包括不能用牛顿力学描述的经历的任意过程，包括不能用牛顿力学描述的过程，都遵守角动量守恒定律。过程，都遵守角动量守恒定律。 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律14【例【例1.21】光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球，光滑水平面上轻弹簧两端各系一小球，开始弹簧处于自然长度，两小球静止。今同时开始弹簧处于自然长度，两小球静止。今同时打击两

11、个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向打击两个小球，让它们沿垂直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速度获得等值反向的初速度v0。如果在以后的运动过。如果在以后的运动过程中弹簧的最大长度为程中弹簧的最大长度为2l0，求初速度，求初速度v0。k解解质心质心C点固定不动，相对点固定不动，相对C点系统的角动量守恒。点系统的角动量守恒。 系统：系统：弹簧和小球弹簧和小球初始时刻角动量：初始时刻角动量： 000000022mvlmvlmvlL4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律15 弹簧达到最大长度时，小球只能沿垂直于弹弹簧达到最大长度时，小球只能沿垂直于弹簧轴线方向运动，则系统的角动量簧轴线方向运

12、动，则系统的角动量mvlmvlmvlL00022222LL 020vv 机械能守恒：机械能守恒： 200222020)2(2121212121llkmvmvmvmv0032lmkv 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律16 例例1 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平的光滑圆环置于竖直平面内面内. 一质量为一质量为 m 的小的小球穿在圆环上球穿在圆环上, 并可在并可在圆环上滑动圆环上滑动. 小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的的水平面上水平面上)，然后从，然后从 A点开始下滑设小球与圆环间的摩擦力略点开始下滑设小球

13、与圆环间的摩擦力略去不计求小球滑到点去不计求小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角的角动量和角速度动量和角速度4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律17 解解 小球受力小球受力 、 作用作用, 的力矩为的力矩为零，重力矩垂直纸面向里零，重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理cosmgRM tLmgRddcostmgRLdcosdNFPNFtLMdd得：得：4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律18考虑到考虑到tmRLdd,2dmgRmRcosd2得得21)sin2(RgtmgRLdcosddgRcosd00cosddgR2123)sin2(gmRL

14、4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律19sinLrmvLrp右手螺旋2LrmvmrJ质点：质点：园周运动：园周运动：22()iiiiii ii iiiLLrpLm rm rJ质点系：质点系：园周运动：园周运动：角动量定理：角动量定理：dLMdt合外力矩为合外力矩为0，角动量守恒。，角动量守恒。4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律20二二 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律和角动量守恒定律 1刚体定轴转动刚体定轴转动的角动量的角动量2iiirmLOirimivJL ziiirm)(24- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律21

15、2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理tLMddJL 由于刚体转动惯量为一常量由于刚体转动惯量为一常量dtdJdtLd所以所以即即称刚体定轴转动称刚体定轴转动的角动量定理的角动量定理4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律22非刚体非刚体定轴转动的角动量定理定轴转动的角动量定理112221dJJtMtt1221dJJtMtt3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的角动量守恒定律角动量守恒定律0MJL ，则，则若若=常量常量 对定轴转的刚体，受合外力矩对定轴转的刚体，受合外力矩M，从，从 到到 内，角速度从内，角速度从 变为变为 ，积分可得：，积分可得：212t1t4- -3角动

16、量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律23 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守恒条件守恒条件0M若若 不变，不变， 不变；不变；若若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.JJLJ讨论讨论exinMM 在在冲击冲击等问题中等问题中 L常量常量4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律24 许多现象都可许多现象都可以用角动量守恒来以用角动量守恒来说明说明.花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水点击图片播放4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律25 刚体对转轴的角动量守恒是经常可

17、以见到的刚体对转轴的角动量守恒是经常可以见到的 ，如人手持哑铃的转动如人手持哑铃的转动 ,芭蕾舞演员和花样滑冰运动芭蕾舞演员和花样滑冰运动员作各种快速旋转动作员作各种快速旋转动作, 都利用了对转轴的角动量都利用了对转轴的角动量守恒定律。守恒定律。 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律26 常量tJ tJ tJ 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律274- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律28自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守

18、恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律29例例1 一均质棒，长度为一均质棒，长度为 L，质量为，质量为M，现有一子弹，现有一子弹在距轴为在距轴为 y 处水平射入细棒，子弹的质量为处水平射入细棒，子弹的质量为 m ,速度为速度为 v0 。求求 子弹细棒共同的角速度子弹细棒共同的角速度 。其中其中xNy0vm2231myMLJJJ子棒22031myMLymvr讨论讨论解解子弹、细棒系统的动量矩守恒子弹、细棒系统的动量矩守恒 ym0vJ水平方向动量守恒水平方向动量守恒4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律30 例例2：在光滑水平

19、桌面上放置一个静止的在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为质量为M、长为、长为2l、可绕中心转动的细杆，有、可绕中心转动的细杆，有一质量为一质量为m的小球以速度的小球以速度v0与杆的一端发生完与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度全弹性碰撞，求小球的反弹速度v及杆的转动及杆的转动角速度角速度。mo解：在水平面上，碰解：在水平面上，碰撞过程中系统角动量撞过程中系统角动量守恒，守恒，LL0Jvv mlml0（1）0v4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律31mo弹性碰撞动能守恒，弹性碰撞动能守恒，222212121Jmmvv0（2）2231)2(121MllMJ其中其中0v联立联立

20、(1)、(2)式求解式求解3mMM)v-(3mv03m)l(M6mv04- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律32 例例3 摩擦离合器摩擦离合器 飞轮飞轮1：J1、 w1 摩擦轮摩擦轮2： J2 静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到静止，两轮沿轴向结合，结合后两轮达到的共同角速度。的共同角速度。两轮对共同转轴的角动量守恒两轮对共同转轴的角动量守恒2111JJJ2111JJJ解：解：试与下例的齿轮试与下例的齿轮啮合过程比较。啮合过程比较。214- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律33两轮绕不同轴转动，故对两轮绕不同轴转动，故对两轴分别用角动量定理：两轴分别用角动量定理：01

21、111dJJtFr222dJtFr2211rr解：解：0122F1 例例4 两圆盘形齿轮半径两圆盘形齿轮半径r1 、 r2 ，对通过盘心，对通过盘心垂直于盘面转轴的垂直于盘面转轴的转动惯量为转动惯量为J1 、 J2，开始，开始 1轮以轮以 转动，然后两轮正交啮合，求啮合后转动，然后两轮正交啮合，求啮合后两轮的角速度。两轮的角速度。04- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律34得：得：22121222011rJrJrJ22121221012rJrJrrJ0122F101111dJJtFr222dJtFr2211rr4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律35 例例5 质量很小

22、长度为质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过的均匀细杆，可绕过其中心其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动动当细杆静止于水平位置时，有一只小虫当细杆静止于水平位置时，有一只小虫以速率以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处，并背离点处，并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行设小虫与细杆的质爬行设小虫与细杆的质量均为量均为m问：欲使细杆以恒定的角速度转问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行?0vl/4O4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律36220)4(1214lmmllmvl0

23、712 v解解虫与杆的虫与杆的碰撞前后，系统角碰撞前后，系统角动量守恒动量守恒4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律37l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22考虑到考虑到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律38 例例6一杂技演员一杂技演员M由距水平跷板高为由距水平跷板高为h 处处自由下落到跷板的一端自由下落到跷板的一端A，并把跷板另一端，并把跷板另一端的演员的演员N弹了起来问演员弹了起来问演员N可弹起多高可弹起多高? ?ll/

24、2CABMNh4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律39设跷板是匀质的，长度为设跷板是匀质的，长度为l，质量为质量为 ，跷板可绕中部支撑点跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，在竖直平面内转动，演员的质量均为演员的质量均为m假定演员假定演员M落在跷板上，落在跷板上，与跷板的碰撞是与跷板的碰撞是完全非弹性完全非弹性碰撞碰撞m解解碰撞前碰撞前M落在落在 A点的速度点的速度21M)2( ghv碰撞后的瞬间，碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度具有相同的线速度2lu 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律40M、N和跷板组成的系统，角动量守恒和跷板组成的系统，角动量守恒22M

25、21121222mllmlmuJlmvll/2CABMNh4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律41lmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演员演员N以以u起跳，达到的高度：起跳，达到的高度：hmmmglguh2222)63(8222M21121222mllmlmuJlmv4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律420v解：碰撞前的瞬间解：碰撞前的瞬间杆对杆对 点的角动量为点的角动量为.求：杆在碰撞前后的瞬时绕求：杆在碰撞前后的瞬时绕点转动的角速度。点转动的角速度。( (细杆绕通过其端点且与其垂直的轴转动时转动惯量为细杆绕通过其端点且与其垂直的轴

26、转动时转动惯量为 ) )例例7 7：一匀质细杆长为一匀质细杆长为 质量为质量为 ，以与杆长垂直的速度，以与杆长垂直的速度 在光滑在光滑水水平面内平动时与前方一固定光滑支点平面内平动时与前方一固定光滑支点 发生完全非弹性碰撞，发生完全非弹性碰撞，碰撞点位于杆中心的一方碰撞点位于杆中心的一方 处如图所示处如图所示2Lm0vo/ 2L213mloL21L21LBAo0v式式中中 为杆的线密度为杆的线密度 3122000020012LLv xdxv xdxv Lmv L 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律43碰撞后瞬间碰撞后瞬间杆对杆对 点的角动量为点的角动量为o2221 331 13

27、7()() 3 423 4212JmLmLmL因碰撞前后角动量守恒，所以因碰撞前后角动量守恒，所以 =22007/12/ 267mLmv LvL 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律44Rv/ 2R 例例8 8：在半径为：在半径为R R的具有光滑竖直轴的水平园盘上，有一的具有光滑竖直轴的水平园盘上，有一人静止站立人静止站立在距转轴在距转轴 处，人的质量是园盘质量的处，人的质量是园盘质量的 ，开始时盘载人相对地以角速度，开始时盘载人相对地以角速度 匀速转动，如果匀速转动，如果此人垂直园盘半径相对于盘以速率此人垂直园盘半径相对于盘以速率 沿与盘转动相反方沿与盘转动相反方向作园周运动如

28、图所示。巳知园盘对中心轴的转动惯向作园周运动如图所示。巳知园盘对中心轴的转动惯量为量为 ，求：，求： (1)(1)园盘对地角速度园盘对地角速度;(2);(2)欲使园盘欲使园盘对地静止对地静止, , 人沿着园周对园盘的速度的大小及方向？人沿着园周对园盘的速度的大小及方向？1/10,R /2 02/ 2MRv4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律45解解(1)(1)设当人以速度设当人以速度 沿相对园盘转动相反的方向走动沿相对园盘转动相反的方向走动时，园盘对地转动的角速度为时，园盘对地转动的角速度为 ，则人对与地固联的，则人对与地固联的转轴的角速度为转轴的角速度为v 人与盘视为一个系统，

29、人与盘视为一个系统，对转轴合外力矩为零，系统对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒的角动量守恒。设盘的质量为设盘的质量为 ，则人的质量为，则人的质量为,M10/M22/vvRR(1)222201121022102() ()M RM RMRMR(2)将将(1)(1)式代入式代入(2)式得：式得：0221vR(3)4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律46(2 )(2 )欲使盘对地静止则欲使盘对地静止则(3)(3)式必为零即式必为零即, .得：得：2/210Rv( (式中式中负号表示人的走动方向与上一问中人的走动负号表示人的走动方向与上一问中人的走动方向相反方向相反, 即与盘的转动方向一

30、致即与盘的转动方向一致)。02021vR 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律47ORMm0v例例:一质量均匀分布的园盘，质量为一质量均匀分布的园盘，质量为M ,半径为半径为 R,放在一粗糙水放在一粗糙水平面上平面上,园盘可绕过其中心园盘可绕过其中心O的的竖直固定光滑轴转动竖直固定光滑轴转动.开始时开始时,园盘园盘静止静止,一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度垂直于园盘半径打入园盘垂直于园盘半径打入园盘边缘并嵌在盘边上边缘并嵌在盘边上,求求(1)子弹击中园盘后子弹击中园盘后,园盘获得的角速度；园盘获得的角速度；(2)经过多少时间后经过多少时间后,园盘停止转动？园盘停

31、止转动？(忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩)0v4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律48(1)(1)以子弹和园盘为系统，在子弹击中园盘的过程中对轴以子弹和园盘为系统，在子弹击中园盘的过程中对轴 的的角动量守恒角动量守恒O(2)(2)设设 为园盘单位面积的质量，可求出园盘所受水平面的摩为园盘单位面积的质量，可求出园盘所受水平面的摩擦力矩的大小为擦力矩的大小为s s22012()mv RMRmR 012()mvMm R 03222 33RfMgrrdrgRMgR ssss4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律4922001 2()fMtJMRmRm

32、v R 根椐角动量定理，有根椐角动量定理，有0003223fmv Rmv RmvtMMgMgR 解得解得,设经过设经过时间园盘停止转动时间园盘停止转动, ,t 4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律例例3.2.3 重力有一特点，地球上任一物体受到的重力有一特点，地球上任一物体受到的重力都指向地心重力都指向地心; 同样，在点电荷产生的静电场中，同样，在点电荷产生的静电场中，其他点电荷受到的作用力都指向场源电荷。人们把其他点电荷受到的作用力都指向场源电荷。人们把物体所受的指向一固定点的力称为物体所受的指向一固定点的力称为有心力有心力，把对应，把对应的力场称为有心力场。证明：的力场称为有

33、心力场。证明：(1)在有心力作用下在有心力作用下运动的物体，角动量守恒运动的物体，角动量守恒; (2)所有有心力都是保所有有心力都是保守力，因而有心力场中运动质点机械能守恒守力，因而有心力场中运动质点机械能守恒; (3)在与距离成平方反比的有心力场中，龙格在与距离成平方反比的有心力场中，龙格-楞次楞次矢量矢量 守恒守恒; (4)平方反比力场中质平方反比力场中质点点的运动一定满足开普勒运动。的运动一定满足开普勒运动。rBvLkr4- -3角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律51 r0rnxyo证明：证明：(1)在有心力场中，质点只受到有心力作用，有心在有心力场中，质点只受到有心力作用，有心力对力心的力矩始终为力对力心的力矩始终