第3章计算机控制系统设计方法

1、第三章 计算机控制系统 设计方法一数字控制器：是计算机控制系统的核心组成部分，是在被控对象数学模型或操作人员的经验基础上进行设计，并用计算机软件实现的某种控制算法。（1）连续化设计方法 先设计校正装置的传递函数D(s)，然后采用某种离散化方法，将它变成计算机算法。（2）离散化设计方法 已知被控对象的传递函数或特性G(Z)，根据所要求的性能指标，设计数字控制器。一 设计方法：设计方法：数字控制器的连续化设计是忽略控制数字控制器的连续化设计是忽略控制回路中所有的零阶保持器和采样器，在回路中所有的零阶保持器和采样器，在S S域中按连续域中按连续系统进行初步设计，求出连续控制器，然后通过某种系统进行初

2、步设计，求出连续控制器，然后通过某种近似，将连续控制器离散化为数字控制器，并由计算近似，将连续控制器离散化为数字控制器，并由计算机来实现。机来实现。3.1 数字控制器的连续化设计技术数字控制器的连续化设计：数字控制器的连续化设计：模拟（连续）控制器的离散化模拟（连续）控制器的离散化 设计假想的连续控制器设计假想的连续控制器选择采样周期选择采样周期 T T将将D(sD(s) )离散化为离散化为D(zD(z) )设计由计算机实现的控制算法设计由计算机实现的控制算法校验校验计算机控制系统的结构框图：计算机控制系统的结构框图：这是一个采样系统的框图：控制器这是一个采样系统的框图：控制器D(Z)D(Z)

3、的输入量是偏差，的输入量是偏差，U(k)U(k)是控制量是控制量H(S)H(S)是零阶保持器是零阶保持器G(S)G(S)是被控对象的传递函数是被控对象的传递函数 1()sTeH ss设计的第一步就是找一种近似的结构，来设计一种假想的连续控设计的第一步就是找一种近似的结构，来设计一种假想的连续控制器制器D(S)D(S)，这时候我们的结构图可以简化为：，这时候我们的结构图可以简化为： 已知已知G(S)G(S)来求来求D(S)D(S)的方法有很多种，比如的方法有很多种，比如频率特性法、根轨频率特性法、根轨迹法等。迹法等。 1.假想的连续控制器假想的连续控制器D(S)2.选择采样周期T 香农采样定理给

4、出了从采样信号恢复连续信号的最低采样频香农采样定理给出了从采样信号恢复连续信号的最低采样频率。在计算机控制系统中，完成信号恢复功能一般由零阶保持器率。在计算机控制系统中，完成信号恢复功能一般由零阶保持器H(S)H(S)来实现。零阶保持器的传递函数为：来实现。零阶保持器的传递函数为：sesHsT1)(222sin22sin)(1)(TTTTeTTTjeeejejHjjjjTj2T2T2T2T2222)21 (2)(111)(TssTTeTsTssTsTsesH 我们能从上式得出什么结论呢？我们能从上式得出什么结论呢？ 上式表明，当上式表明，当T T很小时，零阶保持器很小时，零阶保持器H(S)H(

5、S)可用半个采样周可用半个采样周期的时间滞后环节来近似。它使得相角滞后了。而在控制理期的时间滞后环节来近似。它使得相角滞后了。而在控制理论中，大家都知道，若有滞后的环节，每滞后一段时间，其论中，大家都知道，若有滞后的环节，每滞后一段时间，其相位裕量相位裕量就减少一部分。我们就要把相应减少的就减少一部分。我们就要把相应减少的相位裕量相位裕量补补偿回来偿回来。假定假定相位裕量相位裕量可减少可减少5 51515，则采样周期应选为：，则采样周期应选为：其中其中C是连续控制系统的是连续控制系统的剪切频率剪切频率。 按上式的经验法选择的采样周期相当短。因此，按上式的经验法选择的采样周期相当短。因此，采用连

6、续采用连续化设计方法，用数字控制器去近似连续控制器，要有相当短的化设计方法，用数字控制器去近似连续控制器，要有相当短的采样周期。采样周期。22)21 (2)(111)(TssTTeTsTssTsTsesHc).(T1501503.3.将将D(S)D(S)离散化为离散化为D(Z)D(Z)常用连续系统离散化的方法：常用连续系统离散化的方法：前向差分法前向差分法后向差分法后向差分法双线性变换法双线性变换法 零极点匹配法零极点匹配法冲击响应不变法冲击响应不变法零阶保持法零阶保持法 (1)(1)前向差分法前向差分法 利用级数展开可将利用级数展开可将Z=eZ=esTsT写成以下形式写成以下形式 Z=esT

7、=1+sT+1+sT =1+sT+1+sT 可得可得Tzs1TzssDzD1)()(即给定模拟控制器传递函数即给定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散，其等效离散传递函数传递函数D(z)为：为：法法2(2(数值微分数值微分):):dttdetu)()(ssEsUsD)()()(Tkekeku)() 1()(TzssDTzzEzUzD1)(1)()()(设微分控制规律为设微分控制规律为因为因为s s平面上的虚轴是稳定与不稳定区域的分界线，平面上的虚轴是稳定与不稳定区域的分界线，所以应着重研究虚轴在所以应着重研究虚轴在z平面内的映象。平面内的映象。 1zsT由：即：s平面上虚轴映射在z平面上将右

8、移1个单位。sj 令：s平面和z平面之间的映射关系知：知：Z=1+TS 注意：采用前向差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定（超过单位圆）。 1、直接代换，具有串联性，变换方便；2、整个s左半平面映射到z平面z=1以左的区域，故D(s)与D(z)不具有相同的稳定性；3、因为D(s)|s=0=D(z)|z=1，故稳态增益维持不变；4、当采样周期T较小时，等效精度较好。前向差分法的特点：(2)(2)后向差分法后向差分法 利用级数展开还可将利用级数展开还可将Z=eZ=esTsT写成以下形式写成以下形式sTeeZsTsT1111zsTz即：TzzssDzD1)()(则给定模拟控制器传递函数则给

9、定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散，其等效离散传递函数传递函数D(z)为：为：s平面和z平面之间的映射关系、后向差分法的特点？！(3)(3)双线性变换法双线性变换法 2121212122sTsTsTsTeeezsTsTsT112zzTs112)()(zzTssDzD双线性变换或塔斯廷（双线性变换或塔斯廷（TustinTustin）近似）近似双线性变换也可从数值积分的梯形法对应得到。设积分控制规双线性变换也可从数值积分的梯形法对应得到。设积分控制规律为律为 两边求拉氏变换后可推导得出控制器为两边求拉氏变换后可推导得出控制器为当用梯形法求积分运算可得算式如下当用梯形法求积分运算可得算式如下上

10、式两边求上式两边求Z Z变换后可推导得出数字控制器为变换后可推导得出数字控制器为 tdttetu0)()(ssEsUsD1)()()( )()()()(121 kekeTkuku1z1zT2s) s (D1z1zT21)z(E)z(U)z(D令 Z=esT，将D(s)离散化为D(z)11()( )()miinjjKszD sspkzezezzDmnnjTPmiTZii) 1()()()(11(4) (4) 零极点匹配法零极点匹配法1、转换规则(1)n mnmzs当时，对应 平面的无穷零点；k比例因子 由增益相等确定：10)()(zszDsD例1 已知连续传递函数为21( )115D sss试采

11、用零极点匹配法离散化，设采样周期T=1s。解：先将分解为零极点形式因T=1s，则1( )( 0.10.995)( 0.10.995)D ssjsj ( 0.10.995)10.4930.759jTzej( 0.10.995)20.4930.759jTzej22(1)( )0.9850.819k zD zzz故： 可得 01( )( )szD sD z由：0.209k 2、特点（1）D(z)和D(s)有相同稳定性；（2）D(s)的零、极点均按照Z=esT的关系与平面的零、极点一一对应；（3）稳态增益匹配，一般按 关系匹配。220.209(1)( )0.9850.819zD zzz所以：10)()

12、(zszDsD几种离散化公式的比较几种离散化公式的比较 4.设计由计算机实现的控制算法 11101( )=-( )() ( )nmnmU za za zU zbb zb zE z即：（） 数字控制器数字控制器D(Z)D(Z)的一般形式为下式，其中的一般形式为下式，其中nm,nm,各各系数系数a ai i,b,bi i为实数，且有为实数，且有n n个极点和个极点和m m个零点。个零点。nnmmzazazbzbbzEzUzD111101)()()(上式用时域表示为上式用时域表示为101( )=-(1)-() ( )(1)()nmu kau ka u knb e kbe kb e km5.5.校验校

13、验 控制器控制器D(z)D(z)设计完并求出控制算法后，须按下设计完并求出控制算法后，须按下图所示的计算机控制系统检验其闭环特性是否符合图所示的计算机控制系统检验其闭环特性是否符合设计要求，这一步可由计算机控制系统的数字仿真设计要求，这一步可由计算机控制系统的数字仿真计算来验证，如果满足设计要求设计结束，否则应计算来验证，如果满足设计要求设计结束，否则应修改设计。修改设计。 例：数字PID控制器的设计 根据偏差的比例根据偏差的比例(P)(P)、积分、积分(I)(I)、微分、微分(D)(D)进行控制进行控制( (简称简称PIDPID控制控制) )，是控制系统中应用最为广泛的一种控，是控制系统中应

14、用最为广泛的一种控制规律。制规律。 PIDPID调节器之所以经久不衰，主要有以下优点：调节器之所以经久不衰，主要有以下优点： 1.1.技术成熟，通用性强技术成熟，通用性强 2.2.原理简单，易被人们熟悉和掌握原理简单，易被人们熟悉和掌握 3.3.不需要建立数学模型不需要建立数学模型 4.4.控制效果好控制效果好 1模拟PID调节器对应的模拟对应的模拟PIDPID调节器的传递函数为调节器的传递函数为 PIDPID控制规律为控制规律为 K KP P为比例增益，为比例增益，T TI I为积分时间，为积分时间，T TD D为微分时间为微分时间u(t)u(t)为控制量，为控制量，e(t)e(t)为偏差为

15、偏差tDIPdttdeTdtteTteKtu0)()(1)()()11()()()(sTsTKsEsUsDDIP2.数字PID控制器 由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采由于计算机控制是一种采样控制，它只能根据采样时刻的偏差值计算控制量。样时刻的偏差值计算控制量。 在计算机控制系统中，在计算机控制系统中，PIDPID控制规律的实现必须用控制规律的实现必须用数值逼近的方法。当采样周期相当短时，用求和代替数值逼近的方法。当采样周期相当短时，用求和代替积分、用后向差分代替微分，使模拟积分、用后向差分代替微分，使模拟PIDPID离散化变为差离散化变为差分方程。分方程。数字PID位置型控制算法怎么

16、得来的呢？T1kekeTieTTkeKkuDk0iIP)()()()()(T1)e(ke(k)dtde(t)kitiTedtte0)()(0直接通过传递函数能达到吗？ 后向差分！4.2 最少拍数字控制系统的设计离散化设计方法：离散化设计方法：从被控对象的特性出发，直接根据从被控对象的特性出发，直接根据计算机控制理论计算机控制理论( (采样控制理论采样控制理论) )来设计数字控制器。来设计数字控制器。连续化设计技术的弊端：连续化设计技术的弊端：要求相当短的采样周期！因此只能实现较简单要求相当短的采样周期！因此只能实现较简单的控制算法。的控制算法。 连续化设计技术的优点：连续化设计技术的优点：有现

17、成的算法和设计方法；有现成的算法和设计方法； )(1)()()()()(sGSeZsGsHZzAzBzGCTsC1 1 数字控制器的离散化设计步骤数字控制器的离散化设计步骤1.1.根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所根据控制系统的性能指标要求和其它约束条件，确定所需的闭环脉冲传递函数需的闭环脉冲传递函数(z)(z)2.2.求广义对象的脉冲传递函数求广义对象的脉冲传递函数G(z)G(z)。3.3.求取数字控制器的脉冲传递函数求取数字控制器的脉冲传递函数D(z)D(z)。4.4.根据根据D(z)D(z)求取控制算法的递推计算公式求取控制算法的递推计算公式D(z)G(z)1D(z)G(z

18、)(z)(1)()(1)(zzzGzD)(,1)()()(10mnzazbzEzUzDniiimiii由数字控制器由数字控制器D(z)D(z)的一般形式：的一般形式： )mn(,za1zb)z(E)z(U)z(Dn1iiim0iiiniiimiiizUzazEzbzU10)()()(niimiiikuaikebku10)()()(则：数字控制器的输出则：数字控制器的输出U(z)U(z)为为因此，数字控制器因此，数字控制器D(z)D(z)的计算机控制算法为的计算机控制算法为按照上式，就可编写出控制算法程序。按照上式，就可编写出控制算法程序。2 2 最少拍控制器的设计最少拍控制器的设计最少拍控制的

19、定义：最少拍控制的定义： 所谓最少所谓最少拍拍控制，就是要求闭环系统对于某种控制，就是要求闭环系统对于某种典典型的输入型的输入在最少个采样周期内达到无静差的稳态。在最少个采样周期内达到无静差的稳态。工程应用背景：随动系统，伺服系统，运动控制，工程应用背景：随动系统，伺服系统，运动控制，一个周期最少拍系统的设计原则是：最少拍系统的设计原则是：若系统广义被控对象若系统广义被控对象G(z)G(z)无延迟且在无延迟且在z z平面单位圆上及单位圆外无零极点平面单位圆上及单位圆外无零极点，要，要求选择闭环脉冲传递函数求选择闭环脉冲传递函数(z)(z)，使系统在典型输入，使系统在典型输入作用下，经最少采样周

20、期后能使输出序列在各采样时作用下，经最少采样周期后能使输出序列在各采样时刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定刻的稳态误差为零，达到完全跟踪的目的，从而确定所需要的数字控制器的脉冲传递函数所需要的数字控制器的脉冲传递函数D(z)D(z)。2.1 2.1 闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数(z)(z)的确定的确定 由图可知，误差由图可知，误差E(z)E(z)的脉冲传递函数为的脉冲传递函数为 )(1)()()()()()(zzRzYzRzRzEze(z)R(z) E(z)e典型输入函数典型输入函数 对应的对应的z z变换变换 B(z) B(z)是不包含是不包含(1-z(1-z-1-1) )因

21、子的关于因子的关于z z-1-1的多项式。的多项式。1)!1(1)(qtqtrqzzBzR)1 ()()(1111)(zzR21-1)1 (Tz)(zzR31-1-12)1 (2)z1 (zT)(zzR 典型输入类型典型输入类型 对应的对应的z z变换变换 q=1 q=1 单位阶跃函数单位阶跃函数 q=2 q=2 单位速度函数单位速度函数 q=3 q=3 单位加速度函数单位加速度函数 根据根据z z变换的终值定理，系统的稳态误差为变换的终值定理，系统的稳态误差为 由于由于B(z)B(z)没有没有(1-z(1-z-1-1) )因子，因此要使稳态误差因子，因此要使稳态误差e()e()为零，必须有为

22、零，必须有 e e(z(z)=1-(z)=(1-z)=1-(z)=(1-z-1-1) )q qF(z)F(z) (z)=1- (z)=1-e e(z)=1-(1-z(z)=1-(1-z-1-1) )q qF(z)F(z) 这里这里F(z)F(z)是关于是关于z z-1-1的待定系数多项式。为了使的待定系数多项式。为了使(z)(z)能够实现，能够实现， F(z)F(z)中的首项应取为中的首项应取为1 1，即，即 F(zF(z)=1+f)=1+fz z-1-1+f+f2 2z z-2-2+f+fp pz z-p-p )()1 ()()1 (lim)()()1 (lim)()1 (lim)(1111

23、111zzzBzzzRzzEzeeqzezz 可以看出可以看出，(z(z) )具有具有z z-1-1的最高幂次为的最高幂次为N=p+qN=p+q，这表明，这表明系统闭环响应在采样点的值经系统闭环响应在采样点的值经N N拍可达到稳态。拍可达到稳态。特别：特别：当当P=0P=0时，即时，即F(z)=1F(z)=1时，系统在采样点的输出时，系统在采样点的输出可在最少拍可在最少拍 (N(Nminmin=q=q拍拍) )内达到稳态，即为最少拍控制。内达到稳态，即为最少拍控制。因此最少拍控制器设计时选择因此最少拍控制器设计时选择(z)(z)为为 (z)=1-(1-z(z)=1-(1-z-1-1) )q q

24、 最少拍控制器最少拍控制器D(z)D(z)为为 qqzzGzzzzGzD)1)()1 (1)(1)()(1)(112.2 2.2 典型输入下的最少拍控制系统分析典型输入下的最少拍控制系统分析 (1)(1)单位阶跃输入单位阶跃输入(q=1)(q=1) 输入函数输入函数r(t)=1(t),r(t)=1(t),其其z z变换为变换为 由最少拍控制器设计时选择的由最少拍控制器设计时选择的(z) =1-(1-z(z) =1-(1-z-1-1) )q q=z=z-1-1 可以得到可以得到进一步求得进一步求得 以上两式说明，只需一拍以上两式说明，只需一拍( (一个采样周期一个采样周期) )输出就能输出就能跟

25、踪输入，误差为零，过渡过程结束。跟踪输入，误差为零，过渡过程结束。 111)(zzR210110011)1 (11)(1)()()()(zzzzzzzRzzRzEe3211111)()()(zzzzzzzRzY(2)(2)单位速度输入单位速度输入(q=2)(q=2) 输入函数输入函数r(t)=tr(t)=t的的z z变换为变换为 由最少拍控制器设计时选择的由最少拍控制器设计时选择的 (z)=1-(1-z(z)=1-(1-z-1-1) )q q=1-(1-z=1-(1-z-1-1) )2 2=2z=2z-1-1-z-z-2-2 可以得到可以得到 进一步求得进一步求得 以上两式说明，只需两拍以上两

26、式说明，只需两拍( (两个采样周期两个采样周期) )输出就输出就能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。能跟踪输入，达到稳态，过渡过程结束。 211)1 ()(zTzzR121211)21 ()1 ()(1)()()()(TzzzzTzzzRzzRzEe432432)()()(TzTzTzzzRzY( (3) 3) 单位加速度输入单位加速度输入(q=3)(q=3) 单位加速度输入单位加速度输入r(t)=r(t)=（1/21/2）t t 的的Z Z变换为变换为 由最少拍控制器设计时选择的由最少拍控制器设计时选择的 (z)=1-(1-z(z)=1-(1-z-1-1) )3 3=3z=3z-1-1-3z

27、-3z-2-2+z+z-3-3 可以得到可以得到上式说明，只需三拍上式说明，只需三拍( (三个采样周期三个采样周期) )输出就能跟踪输出就能跟踪输入，达到稳态。输入，达到稳态。 31112)1 (2)1 ()(zzzTzR22122121)(zTzTzE432)()()(zTzTzTzzRzY2222162923三种典型输入时的最少拍系统三种典型输入时的最少拍系统 例 设单位速度反馈线性离散系统如图所示，设被控对象的传递函数如下，采样周期T=0.1s，试设计单位速度输入时的最少拍系统的数字控制器D(z)。) 11 . 0(10)(0sssG解: 系统广义被控对象的脉冲传递函数为01( )( )

28、TseG zZG ss210(1)(0.11)TseZss) 11 . 0(1)1 (1021sszz)1)(1 (10)1 ()1 ()1 (1011011102111zezzezTzzTT将T=0.1s代入上式，经过整理后得 )368. 01)(1 ()717. 01 (368. 0)(1111zzzzzG因为是单位速度输入，所以选择21212)1 (1)(zzzz)717. 01)(1 ()368. 01)(5 . 01 (435. 5)(1)()()(1111zzzzzzGzzD则数字控制器的传递函数D(z)为2.3 最少拍控制器的局限性 最少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响最

29、少拍控制器的设计是使系统对某一典型输入的响应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚应为最少拍，但对于其它典型输入不一定为最少拍，甚至会引起大的超调和静差。至会引起大的超调和静差。 即即适应性差。适应性差。 例 如 ， 当例 如 ， 当 ( z ) ( z ) 是 按 等 速 输 入 设 计 时 ， 有是 按 等 速 输 入 设 计 时 ， 有(z)=2z(z)=2z-1-1-z-z-2-2，则三种不同输入时对应的输出如下：，则三种不同输入时对应的输出如下： 阶跃输入时阶跃输入时 r(tr(t)=1(t)=1(t)；R(z)=1/R(z)=1/（1-z1-z-1-1）则）则等速输入时等速

30、输入时 r(t)=t r(t)=t 321121212)()()(zzzzzzzzRzY211)1 ()(zTzzR43221211432)2()1 ()(TzTzTzzzzTzzY(1) 适应性问题 等加速输入时等加速输入时 r(t)=r(t)=（1/21/2）t t 31112)1(2)1()(zzzTzR5242322221311125 .1175 . 3)2()1 (2)1 ()()()(zTzTzTzTzzzzzTzzRzY画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较画出三种输入下的输出图形，与输入进行比较012345600.511.520246012345602460246810121

31、4 从图形可以看出，对于阶跃输入，直到从图形可以看出，对于阶跃输入，直到2拍后，拍后，输出才达到稳定，而在上面单独设计控制器，只需要输出才达到稳定，而在上面单独设计控制器，只需要一拍；这样，过渡时间延长了，而且存在很大的超调一拍；这样，过渡时间延长了，而且存在很大的超调量，在量，在1拍处！拍处！ 对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重对于加速度输入，输出永远都不会与输入曲线重合，也就是说按等速输入设计的控制器用于加速度输合，也就是说按等速输入设计的控制器用于加速度输入会产生误差。入会产生误差。 一般来说，针对一种典型的输入函数一般来说，针对一种典型的输入函数R(z)R(z)设计，设计，得到

32、系统的闭环脉冲传递函数得到系统的闭环脉冲传递函数(z)(z)，用于次数较低的，用于次数较低的输入函数输入函数R(z)R(z)时，系统将出现较大的超调，响应时间时，系统将出现较大的超调，响应时间也会增，但在采样时刻的误差为零。也会增，但在采样时刻的误差为零。 反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的反之，当一种典型的最少拍特性用于次数较高的输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态输入函数时，输出将不能完全跟踪输入以致产生稳态误差。误差。 由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数由此可见，一种典型的最少拍闭环脉冲传递函数(z)(z)只适应一种特定的输入而不能适应于各种输入。只适应一种特定

33、的输入而不能适应于各种输入。 结论：结论：(2) 最少拍控制器的可实现性问题 设数字控制器设数字控制器D(z)D(z)为为 要使要使D(z)D(z)物理上是可实现的，则必须要求物理上是可实现的，则必须要求 degP(z)degQ(zdegP(z)degQ(z) ) 最少拍系统设计的物理可实现性指将来时刻的误最少拍系统设计的物理可实现性指将来时刻的误差值，是还未得到的值，不能用来计算现在时刻的控差值，是还未得到的值，不能用来计算现在时刻的控制量。要求数字控制器的脉冲传递函数中，不能有制量。要求数字控制器的脉冲传递函数中，不能有z z的正幂项，即不能含有超前环节。的正幂项，即不能含有超前环节。 结

34、论：结论： 为使为使D(z)D(z)物理上可实现，物理上可实现，(z)(z)应满足的应满足的条件是：若广义脉冲传递函数条件是：若广义脉冲传递函数G(z)G(z)的分母比分子高的分母比分子高N N阶，则确定阶，则确定(z)(z)时必须至少分母比分子高时必须至少分母比分子高N N阶。阶。)()()(zPzQzD 若被控对象有纯滞后特性（假设给定连续被控对若被控对象有纯滞后特性（假设给定连续被控对象有象有d d个采样周期的纯滞后）个采样周期的纯滞后）dzzAzBzG)()()(结论：结论：闭环脉冲传递函数闭环脉冲传递函数(z)(z)中必须含有纯滞后，中必须含有纯滞后，且滞后时间至少要等于被控对象的滞

35、后时间，即且滞后时间至少要等于被控对象的滞后时间，即(z(z) ) 必须含必须含z z-d-d。否则系统的响应超前于被控对象的输入。否则系统的响应超前于被控对象的输入。 (3) (3) 最少拍控制的零极点问题最少拍控制的零极点问题(z(z)=1-(1-z)=1-(1-z-1-1) )q q才成立才成立D(zD(z) )和和G(zG(z) )总是成对出现的，允许它们总是成对出现的，允许它们的零点、极点互相对消。的零点、极点互相对消。问题：问题：简单地利用简单地利用D(z)D(z)的零点去对消的零点去对消G(z)G(z)中的不稳定中的不稳定极点，虽然从理论上可以得到一个稳定的闭环系统，极点，虽然从

36、理论上可以得到一个稳定的闭环系统，但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。但是这种稳定是建立在零极点完全对消的基础上的。当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这当系统的参数产生漂移，或辩识的参数有误差时，这种零极点对消不可能准确实现，从而将引起闭环系统种零极点对消不可能准确实现，从而将引起闭环系统不稳定。不稳定。 解决方法解决方法2：在选择在选择(z)(z)时加一个约束条件，这个时加一个约束条件，这个约束条件称为稳定性条件。约束条件称为稳定性条件。 G(zG(z) )是稳定的是稳定的( (即在即在z z平面单位圆上和圆外没有极平面单位圆上和圆外没有极点点) )，且不含有滞后环节，且

37、不含有滞后环节解决方法解决方法1：总结：选择闭环脉冲传递函数(z)的限制条件： 数字控制器在物理上应是可实现的有理多项 式，即nnmmzazazazbzbzbbzD2211221101)()(mn 选择(z)时，应包含G(z)中的滞后因子，G(z)的单位圆上或单位圆外的零点应保留，并作为(z)的零点。 G(z)的单位圆上或单位圆外的极点，应作为e(z)=1- (z)的零点。 第三节 最少拍无纹波控制器的设计 3.1 3.1 前言前言（1 1）在最少拍控制中，我们主要研究三种类型的设计方法：）在最少拍控制中，我们主要研究三种类型的设计方法： 最少拍无差控制器的设计最少拍无差控制器的设计 ；简单，

38、但是本身缺陷多；简单，但是本身缺陷多 最少拍有纹波控制器的设计；考虑了系统稳定性，但输出不稳定最少拍有纹波控制器的设计；考虑了系统稳定性，但输出不稳定 最少拍无纹波控制器的设计；这节课我们来学习最少拍无纹波控制器的设计；这节课我们来学习（2 2）纹波产生的原因，引起的后果）纹波产生的原因，引起的后果 原因：控制量原因：控制量 u(tu(t) )波动不稳定波动不稳定 后果：输出有波动，造成机械机构的摩擦后果：输出有波动，造成机械机构的摩擦（3 3）最少拍无纹波设计的要求）最少拍无纹波设计的要求 要求在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳要求在典型输入信号的作用下，经过有限拍，系统达到稳定

39、，定，输出误差为零输出误差为零,并且在采样点之间没有振荡，也就是不仅在并且在采样点之间没有振荡，也就是不仅在采样时刻上输出可以完全跟踪输入，在采样时刻之间也没有纹采样时刻上输出可以完全跟踪输入，在采样时刻之间也没有纹波。波。3.2 3.2 最少拍无纹波控制系统设计最少拍无纹波控制系统设计由由可以得到控制信号可以得到控制信号U(zU(z) )对输入对输入R(zR(z) )的脉冲传递函数为：的脉冲传递函数为：设广义对象脉冲传递函数为设广义对象脉冲传递函数为 )()()()(zGzzRzU)()()(zQzPzG( )( ) ( )C zz R z ( )( )( )C zG z U z则：则：)(

40、)()()()(zPzQzzRzU1111(1)( )(1)miiniiz zG zp z事实：事实：1）P(z)的零点即是的零点即是G(z)的零点。的零点。 2 2）由于）由于R(zR(z) )到到U(zU(z) )的脉冲传递函数是一个有理的脉冲传递函数是一个有理分式，从而它的单位脉冲响应为无限长。分式，从而它的单位脉冲响应为无限长。 )(z)(z)(z结论：结论： 在选择在选择 时，令时，令 包含包含G(z)的所有零点，的所有零点，则则P(z)与与中相应因子产生相消，使得由中相应因子产生相消，使得由R(z)到到U(z)的脉冲传递函数为一阶次有限的的脉冲传递函数为一阶次有限的z-1多项多项式

41、，这就表示它的脉冲响应时间为有限长了。式，这就表示它的脉冲响应时间为有限长了。这样，经过有限拍之后，控制变量这样，经过有限拍之后，控制变量u(k)或者为或者为零，或者为常数，不会再产生振荡，从而避免零，或者为常数，不会再产生振荡，从而避免了连续被控对象的输出了连续被控对象的输出c(t)在采样时刻之间的纹在采样时刻之间的纹波。波。 即：为消除纹波，对闭环系统传递函数的附即：为消除纹波，对闭环系统传递函数的附加要求是：加要求是：必须包含广义对象必须包含广义对象G(zG(z) )的所的所有零点。有零点。 )(z)(z 例例4 设计算机控制系统的结构及参数均与例设计算机控制系统的结构及参数均与例3相同

42、，相同，试针对斜坡输入信号，设计最少拍无纹波控制系试针对斜坡输入信号，设计最少拍无纹波控制系统。统。 )368. 01)(1 ()718. 01 (092. 0)(1111zzzzzG由例由例3 3知广义对象脉冲传递函数知广义对象脉冲传递函数 分析可知，分析可知，G(zG(z) )有一个位于单位圆内零点，有一个位于单位圆内零点，G(zG(z) )有一有一个位于单位圆上的极点个位于单位圆上的极点1 1。对于斜坡信号，考虑到对稳。对于斜坡信号，考虑到对稳态误差的要求所对应的因子态误差的要求所对应的因子(1-z(1-z-1-1) )2 2，包含了对稳定性，包含了对稳定性要求所对应的因子要求所对应的因

43、子(1-z(1-z-1-1) )，故将两者合并。，故将两者合并。 第四节第四节 达林达林(Dahlin(Dahlin) )算法算法 达林算法的设计目标达林算法的设计目标: :使整个闭环系统所期望的传使整个闭环系统所期望的传递函数递函数(s)(s)相当于一个延迟环节和一个惯性环节相串相当于一个延迟环节和一个惯性环节相串联，即联，即 sesTs11)( 整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象整个闭环系统的纯滞后时间和被控对象G Gc c(s(s) )的纯滞的纯滞后时间后时间相同。相同。 闭环系统的时间常数为闭环系统的时间常数为 ， 纯滞后时间纯滞后时间与采样周期与采样周期T T有整数倍关系，有整数倍关

44、系，=NT =NT 。 T 对于具有纯滞后的控制系统，比如热工或化工对于具有纯滞后的控制系统，比如热工或化工过程，由于滞后的存在，容易引起系统超调和持续震荡。过程，由于滞后的存在，容易引起系统超调和持续震荡。对这些系统的调节，对这些系统的调节，快速性快速性是次要的，而对是次要的，而对稳定性、不稳定性、不产生超调的要求产生超调的要求却是主要的。却是主要的。 用脉冲传递函数近似法求得与用脉冲传递函数近似法求得与(s)(s)对应的闭环对应的闭环脉冲传递函数脉冲传递函数(z) (z) 11)()()(sTeseZzRzYzsTs11(1)( )1T TNT Tezzez 即：111(1)(1)(1)(

45、1)sNezZzzZs T ss T s 若已知广义被控对象的脉冲传递函数若已知广义被控对象的脉冲传递函数G(z)，则可，则可根据下式求出：根据下式求出：)()()()(zzzGzD11达林算法数字控制器的适用对象一阶惯性环节带纯滞后环节：二阶惯性环节带纯滞后环节：K为对象增益， 为对象时间常数； 为对象纯滞后时间。4.1 4.1 数字控制器数字控制器D(z)D(z)的形式的形式 被控对象被控对象G Gc c(s(s) )是带有纯滞后的一阶惯性环节是带有纯滞后的一阶惯性环节scesTKsG11)(纯滞后时间；纯滞后时间；T T1 1时间常数；时间常数；K K为放大系数。为放大系数。 求得数字控

46、制器求得数字控制器D(z)D(z)为：为： 111)1 (1)1 ()1)(1 ()(11NTTTTTTTTTTzezeeKzeezD其脉冲传递函数为其脉冲传递函数为111111111)(zeeKzsTKeseZzGTTTTNsTsscesTsTKsG)1)(1 ()(21二阶惯性二阶惯性纯滞后纯滞后环节环节1112111)1 (1)()1)(1)(1 ()(21NTTTTTTTTTTzezezCCKzezeezD)1)(1 ()() 1)(1(1)(1111212121zezezzCCKsTsTKeseZzGTTTTNsTs)(1)(111221212112)11(221121TTTTTTT

47、TTTTeTeTTTeCeTeTTTC4.2 4.2 振铃现象及其消除振铃现象及其消除 振铃振铃(Ringing)(Ringing)现象：现象：是指数字控制器的输出以二分是指数字控制器的输出以二分之一采样频率大幅度衰减振荡的现象。之一采样频率大幅度衰减振荡的现象。 例：含有纯滞后为例：含有纯滞后为1.46s1.46s，时间常数为，时间常数为3.34s3.34s的连续一阶滞的连续一阶滞后对象后对象 ，经过，经过T=1sT=1s的采样保持后，其广义对的采样保持后，其广义对象的象的脉冲传递函数为脉冲传递函数为选取（z），时间常数为T=2s,纯滞后时间为1s。则：sessG46. 1134. 31)(

48、1127413. 01)733. 01 (1493. 0)(zzzzG126065. 0 . 013935. 0)(zzz)3935. 01)(1)(733. 01 ()7431. 01 (6356. 2)(1)()(1)(1111zzzzzzzGzD 利用这一算法，当输入为单位阶跃时，则输出为：利用这一算法，当输入为单位阶跃时，则输出为：.8674. 07769. 06322. 03935. 0)1)(6065. 01 (3935. 0)()()(5432112zzzzzzzzzRzY 控制量为：控制量为：.4093. 16078. 08096. 13484. 06356. 2)6065.

49、01)(1)(733. 01 ()7413. 01 (6356. 2)()()(43211111zzzzzzzzzGzYzU1234500.511.522.5312345600.20.40.60.81 从图中，系统输出的采样值可按期望指数形式变化，但从图中，系统输出的采样值可按期望指数形式变化，但控制量有大幅度的振荡，而且是衰减的振荡。控制量有大幅度的振荡，而且是衰减的振荡。纹波是由于控制器输出一直是振荡的，影响到系统的输出一直有纹波。而振铃现象中的振荡是衰减的。由于被控对象中惯性环节的低通特性，使得这种振荡对系统的输出几乎无任何影响。但是振铃现象却会增加执行机构的磨损，在有交互作用的多参数控制系统中，振铃现象还有可能影响到系统