层流边界层积分近似解

1、 报告人：慈超 学 号：2013110806背景1921年，冯卡门提出了边界层动量积分方程。1936年，克鲁齐林求解了边界层能量积分方程所得的结果称为边界层问题的近似解。边界层积分方程一般可由两种方法获得：一是将动量守恒定律和能量守恒定律应用于控制体：二是对边界层微分方程直接进行积分。前一种方法物理意义清晰，有助于对流动和换热机理的理解；后一种推倒方法比较简捷。 1) 建立边界层积分方程。2) 对边界层内的速度和温度分布做出假 设，常用的函数形式为多项式。3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程，解出4) 根据求得的速度分布和温度分布计算边界上的tfx

2、cxNu能量积分方程：00()tydtu tt dyadxy对控制体应用质量，动量和能量守恒关系，导出动量积分方程和能量积分方程。动量积分方程：000)()(yyudyuudxdudyuuudxd 动量积分方程式推导中没有附加紊流或层流的条件，故它不仅适用于层流也适用于紊流。但求解时，必须先给出边界层速度分布函数以及粘滞应力的表达式。给出的这两个函数是否精确将影响到积分结果，这是积分方程解的特点，因此其解是近似的。 作为实例，把 作为常数，此时动量积分方程左边第二项为0，且 。同时为积分方程，补充的边界层速度函数一般选用多项式较好，也可选用其他形式函数，选择哪一种，主要看它能否更好表达边界层内

3、的速度分布。uwwdudy边界层动量积分方程解：230123uaa yayay000)()(yyudyuudxdudyuuudxd22uuuuvvxyy假定速度分布函数：0y0u：y uu0yu022yu200(1)yduuuudydxuuy平板层流边界层微分方程组中的速度场方程230123uaa ya ya y代入动量积分方程后求解得：0y0u：y uu0yu022yu00a13/2ua02a332ua 331( )22uyyu0014013xddxu 1/22804.64Re13xxu x1/22804.64Re13xxu x31/21/231()2 4.64Re2 4.64Rexxuyy

4、uxx代入速度分布方程：xuyuxyw2/10Re64. 423xu3/20.3231/220.646Re12wxfxxcu由能量积分方程配合动量积分方程可分析求解边界层温度场、厚度、及壁面温度梯度，从而求出表面传热系数。 为简化方程推导，设定换热条件是：1）壁温为 ，主流温度为 ，主流速度为 2）流体为常物性，且 3）流体无内热源也不考虑耗散热。根据热边界层的特点，x方向上导热很小故不考虑，只考虑y方向的导热。 wtwttu1rp 以外掠平板层流作为实例，为求解能量积分方程，必须先给出边界层速度分布函数u和边界层温度分布函数t，速度分布函数u已确定了，尚须补充温度分布函数，仍选用多项式函数。

5、边界层能量积分方程解：230123bb yb yb y22yTayTvxTu假定速度分布函数：0y0：y0y022y引入过余温度：=T-Tw00)1 (yyadyuudxdut平板层流边界层微分方程组中的温度场方程230123bb yb yb y令：0y0：ty0y022y00b3/21b02b1/23b331()22ttyy/t1代入能量积分方程：1230yytaudxd23)283203(4224略去高次项audxd232032adxdudxdu1022adxdudxdu1022adxdx10131401328022dxud131403xu130282Pr1413232dxdxPr1413432dxdxPr14133433dxdx令：Pr1563943xxdxd一阶线性常微分方程Pr1563943xxdxdPQ)(cdxQeePdxPdx通解：通解：4/3Pr11413cx4/33Pr11413cx0,0tx00c 313 114 Pr3