第5章：系统的频率特性1

1、第五章第五章5.1 频率特性概述频率特性概述5.2 频率特性的图示方法频率特性的图示方法5.3 频率特性的特征量频率特性的特征量5.4 最小相位系统与非最小相位系统最小相位系统与非最小相位系统高阶系统的分析难以进行；高阶系统的分析难以进行；难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影难以研究系统参数和结构变化对系统性能的影响；响；当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个当系统某些元件的传递函数难以列写时，整个系统的分析工作将无法进行。系统的分析工作将无法进行。频域分析频域分析：以输入信号的频率为变以输入信号的频率为变量，在频率域，研究系统的结构参量，在频率域，研究系统的结构参数与性能的关系。数与性

2、能的关系。频域分析法特点频域分析法特点 研究稳态正弦响应的幅值和相角随研究稳态正弦响应的幅值和相角随频率的变化规律频率的变化规律 由开环频率特性研究闭环稳定性及由开环频率特性研究闭环稳定性及性能性能 图解分析法图解分析法 有一定的近似性有一定的近似性无需求解微分方程，图解无需求解微分方程，图解( (频率特性图频率特性图) )法间接揭示系统性能并指明改进性能的法间接揭示系统性能并指明改进性能的方向方向易于实验分析易于实验分析可推广应用于某些非线性系统（如含有可推广应用于某些非线性系统（如含有延延 迟环节的系统）；迟环节的系统）；可方便设计出能有效抑制噪声的系统。可方便设计出能有效抑制噪声的系统。

3、解：解：例：例：求系统的传递函数为求系统的传递函数为11)( TssG当输入信号为当输入信号为xi(t)=Asin t时，系统的时，系统的稳态响应。稳态响应。11)()()(220 TssAsGsXsXi 系统的稳态输出为系统的稳态输出为)arctansin(11)(22220 TtTAeTATtxTt )arctansin()(1)(lim)(20 TtTAtxtxt 幅值是频率的函数幅值是频率的函数相位是频率的函数相位是频率的函数输出频率不变输出频率不变系统系统xi(t)x0(t)Asin t稳态输出信号稳态输出信号)arctansin()(12 TtTA 系统的频率响应定义为系统对正弦输

4、入信号的稳态响应。系统的频率响应定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。 系统频率响应与输入正弦信号的复数比称为系统系统频率响应与输入正弦信号的复数比称为系统的频率特性，它是随输入正弦信号角频率的频率特性，它是随输入正弦信号角频率 变化而变变化而变化的复变函数化的复变函数。注意：注意： 频率特性是系统在频域的数学模型频率特性是系统在频域的数学模型幅频特性幅频特性A( )相频特性相频特性( )包括包括=输出相位输出相位-输入相位输入相位= ( )iXX)( 输入幅值输入幅值输出幅值输出幅值1、利用系统的频率响应来求利用系统的频率响应来求xo(t)(稳态响应稳态响应)频率响应频率响应Xo(s)=Xi(

5、s)G(s)Laplace变换变换xo(t)=limxo(t)t jssGjG )()( 在系统传递函数在系统传递函数G(s)中中，令令s= j ，即可得到系统的频率特性即可得到系统的频率特性。复数表示法：复数表示法：（1）代数表示法代数表示法： a+jb（2）指数表示法指数表示法： |A|ej （3）极坐标表示法极坐标表示法：|A|ImReabA 22|baA -幅值幅值abarctan -相位相位已知复数：已知复数： A=a+jb=A1 1 B=c+jd=B1 21 1）两复数相加：实部相加，虚部相加）两复数相加：实部相加，虚部相加 A+B=(a+c)+j(b+d)2 2）两复数相减：实部

6、相减，虚部相减）两复数相减：实部相减，虚部相减 A-B=(a-b)+j(b-d) AB=(A1B1) 1+ 24 4）两复数相除：幅值相除，相位相减）两复数相除：幅值相除，相位相减)(2111 BABA11)( TssG jTjG 11)( TTarctan)(1012 TTarctan)(112 2)(11)( TA 幅幅频频特特性性：相频特性：相频特性： ( )=-arctanT )2)(1(31)( jjjjjG )2arctan4)(arctan1)(90(3arctan91222 29034191111222 tgtgtg)2)(1(13)( sssssG 21903)()4)(1(

7、91)(111222 tgtgtgA相相频频特特性性：幅幅频频特特性性：的的稳稳态态输输出出。为为数数时时，确确定定系系统统的的传传递递函函例例：若若输输入入为为123)(3sin2 ssGt 2arctan)(413)(2A系系统统的的频频率率特特性性为为：33sin2 ，则则输输入入为为t)(3sin)(2)(0 tAtx系统的稳态输出：系统的稳态输出：)6arctan3sin(376 t正弦发生器正弦发生器被测系统被测系统改变频率改变频率图形显示器图形显示器系统系统s传递函数传递函数j 频率特性频率特性ddtsddtj sj )()()(txtxdttdxTioo 11)( TssG j

8、TjG 11)()()()(00sXsXsTsXi arctgTT 2)(11微分方程微分方程dtd 频率特性是传递函数的特例，是定义在复平频率特性是传递函数的特例，是定义在复平面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微面虚轴上的传递函数，因此频率特性与系统的微分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。分方程、传递函数一样反映了系统的固有特性。 尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全率特性与传递函数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性部动态结构参数，因此，系统动态过程的规律性也全寓于

9、其中。也全寓于其中。 一、频率特性的极坐标图一、频率特性的极坐标图1、定义、定义)()()()()()()(Im)(Re)( jjGjeAejGjQPjGjjGjG 其中，其中，P( )、Q( )分别称为系统的分别称为系统的实频特性实频特性和和虚频特性虚频特性。显然：。显然： )()()()()()(22 PQarctgQPA 极坐标图极坐标图-奈奎斯特图奈奎斯特图 （Nyquist） 系统频率特性为幅频系统频率特性为幅频- -相频形式相频形式 当当 在在0 0 变化时变化时, ,相量相量G(jG(j ) )的幅值和相角的幅值和相角随随 而变化而变化, ,与此对应的相量与此对应的相量G(jG(

10、j ) ) 的端点在复平的端点在复平面面 G(jG(j ) )上的运动轨迹就称为幅相频率特性或上的运动轨迹就称为幅相频率特性或 NyquistNyquist曲线。画有曲线。画有 NyquistNyquist曲线的坐标图称为极曲线的坐标图称为极坐标图或坐标图或NyquistNyquist图。图。ReImA( ) ( )相角相角 ( ( ) )的符号规定逆时针方向旋转为正。的符号规定逆时针方向旋转为正。【例例】绘制绘制G(s)H(s)=1/(Ts+1)G(s)H(s)=1/(Ts+1)系统的幅相频率特系统的幅相频率特性图。性图。解：写出频率特性的表达式解：写出频率特性的表达式对于本题，可以证明，对

11、于本题，可以证明，G(jG(j )H(j )H(j ) )的实部和虚的实部和虚部满足下式：部满足下式：上式表明，系统幅相频率特性曲线是上式表明，系统幅相频率特性曲线是G(jG(j )H(j )H(j ) )平面上以平面上以(1/2,0j)(1/2,0j)为圆心，为圆心， 1/21/2为半径的下半圆为半径的下半圆（因相角总小于零）。（因相角总小于零）。绘制出的幅相频率特性绘制出的幅相频率特性(nyquist)(nyquist)曲线如图所示。曲线如图所示。或者：或者：( 0)1 0G j 11()452G jT()090G j （1）比例环节）比例环节传递函数传递函数：G(s) = K频率特性频率

12、特性：G(j ) = K = Kej0 =K0幅频特性幅频特性：A( ) = K相频特性相频特性： ( ) = 0实频特性实频特性：P( ) = K虚频特性虚频特性：Q( ) = 0（K,j0）ImRe传递函数传递函数：ssG1)( 频率特性频率特性：90111)(2 jejjG幅频特性幅频特性： 1)( A相频特性相频特性： ( ) = -90虚频特性虚频特性： 1)( Q实频特性实频特性：0)( PImRe积分环节具有恒定的相位滞后。积分环节具有恒定的相位滞后。传递函数传递函数：ssG )(频率特性频率特性：0290)( jejjG实频特性实频特性：0)( P虚频特性虚频特性： )(Q幅频

13、特性幅频特性： )(A相频特性相频特性： ( ) = 909000 ImRe微分环节具有恒定的相位超前。微分环节具有恒定的相位超前。传递函数传递函数：11)( TssG频率特性频率特性： arctgTTTjjG 221111)(相频特性相频特性： ( ) = - arctgT 幅频特性幅频特性：2211)(TA 实频特性实频特性：2211)(TP 虚频特性虚频特性：221)(TTQ 即惯性环节的奈氏图为圆心在即惯性环节的奈氏图为圆心在(1/2, 0)(1/2, 0)处，半径为处，半径为1/21/2的一个圆。的一个圆。 22221)(21)( QP0ReIm传递函数传递函数：1)( ssG 频率

14、特性频率特性： jarctgejjG2211)( 幅频特性幅频特性：221)( A相频特性相频特性： ( ) = arctan实频特性实频特性：Re( )=1相频特性相频特性： ( )=arctan 0ReIm =0 = 221 arctan122222222arctan)2()()( nnnnnjG频频率率特特性性：传递函数传递函数：10,2121)(22222 nnnssTssTsG222211)( nnA 幅频特性幅频特性：相频特性相频特性：212arctan)( nn 实频特性实频特性：2222211)( nnnP 虚频特性虚频特性：222212)( nnnQ 1)0( A 0)0(

15、= 0 21)( nA 90)(n = n 0)( A 180)( = 22222222arctan)2()( nnnnn频频率率特特性性： =0 = =0.1 =0.2 =0.5 =1 =0.7ReIm-3-2-10123-6-5-4-3-2-10 21 =0.3 = n00.2 0.4 0.6 0.8 11.2 1.4 1.6 1.8 201234 = 0.05 = 0.15 = 0.20 = 0.25 = 0.30 = 0.40 = 0.50 = 0.707 = 1.00 / / nA( )由于：由于：222211)( nnA r 0，221 nr707. 022 2121)( rrAM

16、0 0.10.2 0.30.4 0.50.60.7 0.80.9 10123456789100102030405060708090100 Mr Mp ()MrMp1)0()( AA 0)0()( 2)( A 90)( )( A 180)( 2222)2()1()( A2212)( arctg当当 = 0时时 当当 = 1/ 时时 当当 = = 时时G(j ) =010 = ReIm = 1/ 2 ，传递函数：传递函数：sesG )(频率特性：频率特性： 1)(jejG幅频特性：幅频特性：1)( A相频特性：相频特性：)(3 .57)()( rad01 =0ReIm （1） Nyquist图的绘

17、制步骤图的绘制步骤图图的的画画出出传传函函为为例例NyquistsssG)2)(1(1)(: 2arctanarctan)4)(1(1)(22 jG1 1）求出系统对应的频率特性）求出系统对应的频率特性|G(j0)|=0.5 G(j0)=0|G(j )|=0 G(j )=-180o2arctanarctan)()4)(1(1)(22 相相频频特特性性：幅幅频频特特性性：A0(0.5,j0)ImRe902arctanarctan)( 2arctanarctan90 )2(arctan)arctan90( tgtg 21 2 )4)(1(1)(22 A)24)(21(1 288. 0 0(0,-j

18、0.288)(0.5,j0)ImRe解：系统的频率特性为：解：系统的频率特性为：图图。制制其其，试试绘绘已已知知系系统统的的传传递递函函数数NquistTssKsG)1()( )1(1)arctan90(1)(222222 TKjTKTTTKjG 则有：则有：|G(j0)|= G(j0)=-900 |G(j )|=0 G(j )=-180o当当 =0时：时：实频特性：实频特性：u( )=-KT虚频特性：虚频特性：v( )=- )1(1)(2222 TKjTKTjG ReIm0(-KT,j0) 1）一般形状一般形状).1)(1()().1)(1()(2121 jTjTjjjKjG 系统传函：系统

19、传函： )()0(,0.jKjGa 时时当当0型系统型系统：G(j0)=K0I型系统型系统： G(j0)=-90oII型系统型系统： G(j0)=-180o由于系统的分母的阶次由于系统的分母的阶次n分子的阶次分子的阶次m G(j)=0(n-m) (-90o).1)(1()().1)(1()(2121 jTjTjjjKjG 系统传函：系统传函：系统类型系统类型起点（起点（ =0)终点终点( =)0正实轴上一个有限正实轴上一个有限值值按顺时针方向越按顺时针方向越过若干象限与坐过若干象限与坐标轴相切而趋于标轴相切而趋于原点原点I曲线渐进于与负虚曲线渐进于与负虚轴平行的直线轴平行的直线II第二象限的无

20、穷大第二象限的无穷大0型型I型型ImReII型型G(j0)=-90oG(j)=0 -90oReIm =0 = )10016()1)(12 . 0(5 . 7)(:2 ssssssG例如例如1、组成、组成1 1）由幅频对数坐标图和相频对数坐标图组成）由幅频对数坐标图和相频对数坐标图组成( )L( ) 1 2 3 4 lg L( ) lg 10 100 1000 10000 10倍频倍频dec20lg|G(j )|dB10 100 1000 10000 10 100 1000 10000 2040L( )dB904500( ) G(j)=K0 L()=20lgA()=20lgKL( ) ( 20l

21、gK=0 1=-20dB 10=-40dB 100 ( -901 10 100L( ) 20-20-20dB/decL( )=-20lg 0901)( jejG lg2015lg2015lg20)( L lg205 .23 L( )20401 10 23.5-20dB/dec当当 =1时，时，L( )=20lgK ( -90图图的的例例：求求传传函函为为BodessG15)( 与积分环节互为镜像与积分环节互为镜像90o+20dB/decL( ) ( 201 10 100-20-90o-20dB/dec低频段低频段( 1/T )01lg20)(22 TL即低频段可近似为即低频段可近似为0dB0d

22、B的水平线，称为低频渐近线。的水平线，称为低频渐近线。对数相频特性对数相频特性： ( ) = - arctgT 对数幅频特性对数幅频特性：221log20)(TL 即高频段可近似为斜率为即高频段可近似为斜率为-20dB/dec -20dB/dec 的直线，的直线，称为高频渐近线。称为高频渐近线。 lg20lg20 T TTLlg201lg20)(22 -30-20-10010-90-4501/TL( )/ (dB) ( ) (rad/sec)实际幅频特性实际幅频特性渐近线渐近线-20dB/dec 低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率低频渐近线和高频渐近线的相交处的频率点点 1/T1/T，称为，

23、称为转折频率（截止频率）转折频率（截止频率）。在转折频率处在转折频率处，L( ) -3dB， ( )-45 。惯性环节具有低通滤波特性惯性环节具有低通滤波特性。渐近线误差渐近线误差 TTTTTL/1,lg201lg20/1,1lg20)(2222 -4-3-2-100.1110 T转折频率转折频率惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线惯性环节对数幅频特性渐近线误差曲线L( ) -20dB/dec1T00-45o-90o (T0.1T10与惯性环节互为镜像与惯性环节互为镜像0 10 2030904501/TL( )/ (dB) ( ) (rad/sec)0.1/T10/T转折频率转折频率实际幅频特性

24、实际幅频特性渐近线渐近线20dB/dec一阶微分环节相当于高通滤波器一阶微分环节相当于高通滤波器因此，一阶微分环节对高频信号有较大的放大因此，一阶微分环节对高频信号有较大的放大作用，这意味着系统抑制噪声能力的下降。作用，这意味着系统抑制噪声能力的下降。22221lg20)( nnL 对数幅频特性对数幅频特性 低频段低频段( T2L()L()T111T2T111T2 180相位差：相位差：0 0相位差：相位差：180180o o：20(n-m)dB/dec：90o(n-m)20dB/dec。20lgK=20dBK=10-20dB/dec一个积分环节一个积分环节 L( )-20dB/dec-40d

25、B/dec-20dB/dec1 5 12 30201.5ssG10)(1 振荡环节：振荡环节：r=12221 nr得：得： n=142121 rM=1.5得：得：=0.35822232)(nnnsssG 196101962 ss一阶微分环节：一阶微分环节：1)(4 TssG1301 s1511)(2 sTssG一一阶阶微微分分环环节节G(s)=G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)1301(19610196)151(102 sssss)19610()30)(5(132 sssss一一 幅角原理幅角原理其中：其中：zi-零点零点 pi-极点极点).()().()()(2121nmpspspsz

26、szszsKsF 复变函数复变函数ziijzieAzs piijpieAps pnppzmzzjpnjpjpjzmjzjzeAeAeAeAeAeAsF .)(21212121 )(111 nipimiziiijpznieAA 设设F(s)在在s平面上（除有限个奇点外）为平面上（除有限个奇点外）为单值的连续正则函数，并设单值的连续正则函数，并设s平面上解析点平面上解析点s s映映射到射到F(s)平面上为点平面上为点F(s)，或为从原点指向此或为从原点指向此映射点的向量映射点的向量F(s). 若在若在s平面上任意选定一封闭曲线平面上任意选定一封闭曲线Ls，只要只要此曲线不经过此曲线不经过F(s)的

27、奇点的奇点，则在则在F(s)平面上必平面上必有一对应的映射曲线有一对应的映射曲线LF，也是一封闭曲线也是一封闭曲线。 当解析点当解析点s按顺时针沿按顺时针沿Ls变化一周时变化一周时，向量向量F(s)将按顺时针方向旋转将按顺时针方向旋转N周，即周，即F(s)以原点为中心顺以原点为中心顺时针旋转时针旋转N周周，这就等于曲线这就等于曲线LFLF顺时针包围原点顺时针包围原点N N次。次。Lsj sReImF(s)s1F(s1)LFs2F(s2) Z为包围于为包围于Ls内的零点数，内的零点数，P P为包围于为包围于LsLs的的极点数，则：极点数，则：N=Z-P假设假设Ls内只包含了一个零点内只包含了一个

28、零点 zi，其他零极点其他零极点均位于均位于Ls之外之外。 njjmiipszssF11)()()(jziz2p1p2s-zis-p1sLs向量向量(s-zi)的相位角变化了的相位角变化了-2 ，而其他各向量的相位而其他各向量的相位角变化为角变化为0 0。即向量即向量F(s)的相位角总的变化量为的相位角总的变化量为-2 .jziz2p1p2s-z1s-p1ImReF(si)sF(s)LsLF 若若s平面上的封闭曲线包围着平面上的封闭曲线包围着F(s)的的Z个零个零点点，则在，则在F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线LF将将绕原点顺绕原点顺时针转时针转Z圈圈。 若若s平面上的封闭曲线包围着平

29、面上的封闭曲线包围着F(s)的的P个极点个极点，则在则在F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线LF将将绕原点逆时针绕原点逆时针转转P圈圈。 若若Ls包围了包围了F(s)的的Z个零点和个零点和P个极点个极点，则在，则在F(s)平面上的映射曲线平面上的映射曲线LF将将绕原点顺时针转绕原点顺时针转N=Z-P圈。圈。1、开环、闭环传函零、极点与、开环、闭环传函零、极点与F(s)函数之间关系函数之间关系G(s)H(s)-Xi(s)X0(s)()()()()()(sHsHsHsGsGsGDNDN 令：令：闭环传函为闭环传函为)()()()()(sHsGsHsGsGDDNNK )()()()()()()(

30、)(1)()(sHsGsHsGsHsGsHsGsGsGDDNNNNB 令辅助函数令辅助函数 F(s)=1+GK(s)GB(s) F(s) GK(s) 零点零点 极点极点 零点零点 极点极点 零点零点 极点极点相同相同相同相同)()()()()()(sHsGsHsGsHsGDDHHDD )()()()()(sHsGsHsGsGDDNNK )()()()()()()(sHsGsHsGsHsGsGDDNNNNB j s+j0-jL1 L2R= 系统稳定的条件：系统稳定的条件：Z=0 N=-P 即系统稳定时，即系统稳定时，F平面上的曲线逆时针包围平面上的曲线逆时针包围原点原点P圈圈ReIm F F(s

31、)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)ImRe GH (-1,j0)GK(s) 当当 由由-到到+时，若时，若GH平面平面上的开环频率特性上的开环频率特性GK(j )逆时针方向逆时针方向包围（包围（-1，j0)点点P圈，则闭环系统稳圈，则闭环系统稳定。定。P为为GK(s)在右半平面的极点数。在右半平面的极点数。 （若（若 由由0到到+时，则为时，则为P/2圈）圈） 由由-到到从从0的的Nyquist轨迹与轨迹与 由由0到到+的的Nyquist轨迹互为以实轴轨迹互为以实轴为对称轴的对称曲线为对称轴的对称曲线表述表述1： 开环稳定的系统，闭环稳定的充要条件是：系统的开环Ny

32、quist轨迹不包围（-1.j0)点。P=0开环稳定开环稳定由由N=Z-P得：得：N=0Nyquist曲线不包围（曲线不包围（-1,j0)点点闭环系统稳定闭环系统稳定(-1,j0)0ImRe-(-1,j0) 闭环系统不稳定闭环系统不稳定-Nyquist曲线顺时针包围（曲线顺时针包围（-1，j0)点点2圈圈例例2：0ImReP=0闭环稳定的条件是：Z=0由 N=Z-P，得到闭环稳定的条件： N=-P 开环不稳定时，系统稳定的充要条件是：开环Nyquist曲线逆时针包围(-1,j0)点P圈（P为开环正极点个数）开环不稳，有一个正极点（开环不稳，有一个正极点（P=1） Nyquist曲线逆时针包围曲

33、线逆时针包围(-1,j0)点点1圈圈 闭环系统稳定闭环系统稳定0(-2,j0) -ImRe(-1,j0)判判断断闭闭环环系系统统的的稳稳定定性性，：开开环环传传函函例例5.01)(3 TssG开环不稳，有一个正极点（开环不稳，有一个正极点（P=1） - Nyquist曲线顺时针包围曲线顺时针包围(-1,j0)点点1圈圈 闭环系统不稳定闭环系统不稳定0(-2,j0)ImRe(-1,j0)系系统统的的稳稳定定性性，判判断断闭闭环环：开开环环传传函函例例5 . 01)(4 TssG - Nyquist曲线逆时针包围曲线逆时针包围(-1,j0)点点1圈圈(N=1)闭环系统稳定闭环系统稳定P=1 =NR

34、eIm(-1,j0) =0P=1例例0ImRe开环传函开环传函：)1()1()(11 sTssKsGinimjjK 当当 =0时，时，|Gk(s)|= =0+ (0+) jrres0lim: 令令 jrresKerKsGjr 0limlim| )(:0则则G(j0-)= 90oG(j0)=0oG(j0+)= (-90o)0-0+ReIm 在在GH平面上的平面上的Nyquist轨迹将沿无穷大半轨迹将沿无穷大半径从径从 =0-(或或 =0) 按按顺时针顺时针方向方向转转180o(或或90o）到到 =0+。 - 0-=1Nyquist轨迹顺时针包围轨迹顺时针包围（-1，j0)点点2圈圈闭环系统不稳定

35、闭环系统不稳定0+ImRe(-1,j0)例例: 系统的开环传函为系统的开环传函为试确定闭环系统的稳定性。试确定闭环系统的稳定性。)2)(1(10)( ssssGK =0- =-P=1开环开环Nyquist曲曲 线逆时针包围线逆时针包围 (-1,j0)点点1圈圈闭环系统稳定闭环系统稳定(-1,j0)ReIm =0+ =例：开环传函例：开环传函的的Nyquist图如下图图如下图所示，试确定闭环系统的稳定性。所示，试确定闭环系统的稳定性。)1()3()( sssKsGP=0=1 =0- =- N=-2P ( )= -180 +(arctan4 -arctan -arctan2 )-180o (0+)

36、(-1,j0)Re =0+ =例：开环传函例：开环传函图如图所示，试确定闭环系统的稳定性。图如图所示，试确定闭环系统的稳定性。Im)12)(1(14)(2 sssssGK的的Nyquist闭环系统不稳定闭环系统不稳定 开环开环Nyquist轨迹在（轨迹在（-1,j0)点以左穿过负实轴点以左穿过负实轴的称为穿越的称为穿越正穿越正穿越-相位增加相位增加负穿越负穿越-相位减小相位减小相位大相位大相位小相位小ReIm(-1,j0)+1-1+0.5-0.5 闭环系统稳定的充要条件是，闭环系统稳定的充要条件是，Nyquist曲线曲线（ 由由- 到到+ ）在负实轴上的正、负穿越次数在负实轴上的正、负穿越次数

37、之差等于开环正极点个数。之差等于开环正极点个数。即：当即：当P=N+-N-时时( 由由- 到到+ ）,系统稳定系统稳定或当或当0.5P=N+-N-时时（ 由由0到到+ ）,系统稳定系统稳定N+=2N-=4 N+-N-=-2 P=1 系统不稳定系统不稳定-1+1-1-1,j0)P=1ImRe=1 =0+ = =0- =-1-1+11.Nyquist判据是在判据是在GH平面内判别系统的稳定平面内判别系统的稳定性性2.Nyquist判据应用简单判据应用简单3.开环开环不稳定时，闭环系统仍然可稳定不稳定时，闭环系统仍然可稳定1、开环增益、开环增益KK=1 K=10稳定稳定不稳定不稳定K系统稳定性系统稳

38、定性G(s)=Ks(s+1)(s+2)0+ReIm0+系统的型次系统的型次系统稳定性系统稳定性)1()( ssKsG)1()(2 ssKsG稳定稳定不稳定不稳定 =0- =- =0+ =+ImRe =0+ =+ImRe =0- =- 阶次的增大阶次的增大系统稳定性系统稳定性 当开环为最小相位系统时，在三阶或三阶以当开环为最小相位系统时，在三阶或三阶以上时，闭环系统才可能不稳定上时，闭环系统才可能不稳定) 1)(1)(1()() 1)(1()(32121 sTsTsTKsGsTsTKsG稳定稳定不稳定不稳定ReIm =0 =+ =-ReIm =0 =+ =-(-1,j0)不稳定不稳定临界稳定临界

39、稳定稳定稳定T1T2 ( )=arctanT1 -arctanT2 -180ReIm =0+ =0- =+(0+)-180o =- =0ImRe =0+ =+ =0-(0+)0的部分；单位圆内的部分；单位圆内部的部的Nyquist曲线对应曲线对应L( )0的所有频率范围内的对数相频特性曲的所有频率范围内的对数相频特性曲线与线与180线的穿越点。线的穿越点。 1-1 2 3 4 = =0+ReIm-180-90L( ) ( ) 1 2 3 400 Nyquist图中的正穿越对应于对数相频特性曲线图中的正穿越对应于对数相频特性曲线当当 增大时从下向上穿越增大时从下向上穿越180线线( (相角滞后减

40、相角滞后减小小 ) )； 负穿越对应于对数相频特性曲线当负穿越对应于对数相频特性曲线当 增大增大时时，从上向下穿越从上向下穿越180线线 ( ( 相角滞后增大相角滞后增大) )。 1-1 2 3 4 = =0+ReIm-180-90L( ) ( ) 1 2 3 400 Nyquist 曲线的辅助线反映在对数相频特性曲线曲线的辅助线反映在对数相频特性曲线上。上。 即将对数相频特性曲线的起始点即将对数相频特性曲线的起始点 (0+) 与与 (0+) +v 90线相连线相连(v 为开环积分环节的数目为开环积分环节的数目)。 1-1 2 3 4 = =0+ReIm-180-90L( ) ( ) 1 2 3 400 C-剪切频率（幅值交界频率）剪切频率（幅值交界频率） g-相位交界频率相位交界频率ReImL( ) 0 c g c g ( )不稳定系统，不稳定系统， C gP=0 =1ImRe（-1,j0) =0+ =0- C gImRe（-1,j0)P=0 =1 =0+ g C =0- C g 系统不稳定系统不稳定L( ) ( ) g C-0 当开环稳定时，若在当开环稳定时，若在L( )0的所有频率下，的所有频率下，其相频曲线都在其相频曲线都在- 线以上的，闭环系统稳定。线以上的，闭环系统稳定。系统稳定系统稳定L( ) ( ) C