第8章相量法-1

1、第第8章章 相量法相量法 重点：重点： 相位差相位差 正弦量的相量表示正弦量的相量表示 相量图相量图1. 复数复数A表示形式：表示形式：) 1(j为为虚虚数数单单位位 AbReImaOA=a+jbAbReImaO |A|)sin(cos| jAeAj一、复数及运算一、复数及运算jba jbaA | AA |AeAAj8-1 复数复数两种表示法的关系：两种表示法的关系：A=a+jb A=|A|ej =|A| 直角坐标表示直角坐标表示极坐标表示极坐标表示 ab baAarctg| 22 或或 A b|A|asin|cos 2. 复数运算复数运算则则 A1A2=(a1a2)+j(b1b2)(1)加减

2、运算加减运算直角坐标直角坐标若若 A1=a1+jb1， A2=a2+jb2A1A2ReImO加减法可用图解法。加减法可用图解法。AbReImaO |A|(2) 乘除运算乘除运算极坐标极坐标若若 A1=|A1| 1 ，若若A2=|A2| 22121)j(212j2j1221121 |e|e|e| | |211AAAAAAAAAA 除法：模相除，角相减。除法：模相除，角相减。例例1. 乘法：模相乘，角相加。乘法：模相乘，角相加。则则:2121)(2121212121 AAeAAeAeAAAjjj?2510475 )226. 4063. 9()657. 341. 3(2510475jj 569. 0

3、47.12j 61. 248.12 解解:例例2. ?5 j20j6)(4 j9)(17 35 220 (3) 旋转因子：旋转因子：复数复数 ej =cos +jsin =1 A ej 相当于相当于A逆时针旋转一个角度逆时针旋转一个角度 ，而模不变。故，而模不变。故把把 ej 称为旋转因子。称为旋转因子。 解：上式解：上式2 .126j2 .180 04.1462.203 .56211. 79 .2724.19 16.70728. 62 .126j2 .180 329. 6j238. 22 .126j2 .180 365 .2255 .132j5 .182 jjej 2sin2cos,22jj

4、ej )2sin()2cos(,221)sin()cos(, jejej/2/2 =j , e- -j/2/2 = - -j, ej = 1 故故 +j, j, - -1 都可以看成旋转因子。都可以看成旋转因子。几种不同几种不同 值时的旋转因子：值时的旋转因子：ReIm0II j I j I 一一. 正弦量：按正弦规律变化的量。正弦量：按正弦规律变化的量。瞬时值表达式：瞬时值表达式：i(t)=Imcos(w w t+y y)i+_u波形：波形：w w tiOy yT周期周期T (period)和频率和频率f (frequency) :频率频率f ：每秒重复变化的次数。每秒重复变化的次数。周期周

5、期T ：重复变化一次所需的时间。重复变化一次所需的时间。f =1/T单位：单位：Hz，赫，赫(兹兹)单位：单位：s，秒，秒8. 2 正弦量正弦量(1) 幅值幅值 (amplitude) (振幅、振幅、 最大最大值值)Im：反映正弦量变化幅度的：反映正弦量变化幅度的大小。大小。(2) (2) 角频率角频率(angular frequency)w w ：每秒变化的角度：每秒变化的角度( (弧度弧度) )， 反映正弦量变化快慢。反映正弦量变化快慢。 二、正弦量的二、正弦量的三要素三要素：(3) 初相位初相位(initial phase angle)y y ：反映了正弦量的计时起点。：反映了正弦量的计

6、时起点。 (w w t+y y )表示正弦量随时间变化的进程表示正弦量随时间变化的进程, 称之为相位角。它的称之为相位角。它的大小决定该时刻正弦量的值。当大小决定该时刻正弦量的值。当t=0时，相位角时，相位角 (w w t+y y )=y y ，故称故称y y 为初相位角，简称初相位。它表示了正弦量的起点。为初相位角，简称初相位。它表示了正弦量的起点。Tf w w22 单位：单位： rad/s ，弧度，弧度 / 秒秒i(t)=Imcos(w w t+y y)w w tiOy yTIm2 同一个正弦量，同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同计时起点不同，初相位不同。tiOy y = -= - /

7、2/2y y =0=0y y = = 一般规定一般规定：| | 。三、同频率正弦量的相位差三、同频率正弦量的相位差 (phase difference)。设设 u(t)=Umcos(w w t+y y u), i(t)=Imcos(w w t+y y i)则则 相位差相位差 即相位角之差：即相位角之差：j j = (w w t+y y u)- - (w w t+y y i)= y y u- -y y i j j 0， u 领先领先(超前超前)I j j 角，或角，或i 落后落后(滞后滞后) u j j 角角(u 比比 i 先先到达最大值到达最大值)； j j 0， i 领先领先(超前超前) u

8、 j j 角，或角，或u 落后落后(滞后滞后) i j j 角角(i 比比 u 先到达最大值先到达最大值)。w w tu, iu iy yuy yij j恰好等于初相位之差恰好等于初相位之差j j =0， 同相：同相：j j = ( 180o ) ，反相：，反相：规定：规定： |y y | (180)。特殊相位关系：特殊相位关系：w w tu, iu iOw w tu, iu iOj j = /2/2：u 领先领先 i /2/2 i 落后落后 u /2/2w w tu, iu iO同样可比较两个电压或两个电流的相位差。同样可比较两个电压或两个电流的相位差。四四 周期性电流、电压的有效值周期性电

9、流、电压的有效值 周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小周期性电流、电压的瞬时值随时间而变，为了衡量其大小工程上采用有效值来表示。工程上采用有效值来表示。电流有效值电流有效值定义为：定义为：瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根。物理意义物理意义：周期性电流：周期性电流 i 流过电阻流过电阻 R，在一周期，在一周期T 内吸收的内吸收的电能，等于一直流电流电能，等于一直流电流I 流过流过R , 在时间在时间T 内吸内吸收的电能，则称电流收的电能，则称电流 I 为周期性电流为周期性电流 i 的有效值。的有效值。有效值也称均方根值有

10、效值也称均方根值(root-meen-square，简记为，简记为 rms。)1. 周期电流、电压有效值周期电流、电压有效值(effective value)定义定义W2=I 2RTRi(t)RI同样，可定义同样，可定义电压有效值电压有效值： TtRtiW021d)( TtRtiRTI022d)( TttiTI02d)(12. 正弦电流、电压的有效值正弦电流、电压的有效值设设 i(t)=Imcos(w w t+ )ttITITd ) (cos1022mwTtttttTTT2121d2) ( 2cos1d ) (cos 0002wwIIIITITI2 707. 0221 mmm2m ) cos(

11、2) cos()(mtItItiww同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：同理，可得正弦电压有效值与最大值的关系：UUUU2 21mm 或或若一交流电压有效值为若一交流电压有效值为U=220V，则其最大值为，则其最大值为Um 311V；U=380V， Um 537V。工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌工程上说的正弦电压、电流一般指有效值，如设备铭牌额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是额定值、电网的电压等级等。但绝缘水平、耐压值指的是最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值最大值。因此，在考虑电器设备的耐压水平时应按最大值考虑。考虑。测量中，电磁式交流电压

12、、电流表读数均为有效值。测量中，电磁式交流电压、电流表读数均为有效值。*注意注意 区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。区分电压、电流的瞬时值、最大值、有效值的符号。I,I, im两个正弦量两个正弦量i1+i2 i3w ww ww wI1I2I3 1 2 3无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁无论是波形图逐点相加，或用三角函数做都很繁。因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只要确定初相位和有效值要确定初相位和有效值(或最大值或最大值)就行了。于是想到复数，就行了。于是想到复数，复数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正复

13、数向量也包含一个模和一个幅角，因此，我们可以把正弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，弦量与复数对应起来，以复数计算来代替正弦量的计算，使计算变得较简单。使计算变得较简单。角频率：角频率：有效值：有效值：初相位：初相位：)cos(2111ywtIi)cos(2222ywtIii1i2 w w tu, ii1 i2Oi38. 3 相量法的基础相量法的基础1. 正弦量的相量表示正弦量的相量表示造一个复函数造一个复函数)j(e2)( w w tItA没有物理意义没有物理意义 若对若对A(t)取实部：取实部： 是一个正弦量，是一个正弦量，有物理意义。有物理意义。) cos(2)(RettA

14、w对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数：的复指数函数：) j(2)( ) (c2tIetAtosIiwwA(t)还可以写成还可以写成tteIItAj j2ee2)(j 复常数复常数) sin(2j) cos(2tItI w w w w 加一个小圆点是用来和普通的复数相区别加一个小圆点是用来和普通的复数相区别(强调它与正强调它与正弦量的联系弦量的联系)，同时也改用，同时也改用“相量相量”，而不用，而不用“向量向量”，是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦是因为它表示的不是一般意义的向量，而是表示一个正弦量。量。

15、) cos(2)(IItItiw ) cos(2)(UUtUtuw称称 为正弦量为正弦量 i(t) 对应的相量。对应的相量。 II 正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：比较相位必须把正弦量化为标准正弦量的形式比较相位必须把正弦量化为标准正弦量的形式:)30400cos(21)180150400cos(21)( tttij j = u i=-3030= 60)30400cos()180150400cos(10)906

16、0400-10cos(V )60400sin(10)(tttttu已知已知例例1 1. .试用相量表示试用相量表示i, u .)V6014t311.1cos(3A)30314cos(4 .141oouti解解：V60220A30100oo UI 相量图相量图(相量和复数一样可以在平面上用向量表示相量和复数一样可以在平面上用向量表示)：IItosIti) (c2)(UUtosUtu)(c2)(w U I例例2.试写出电流的瞬时值表达式。试写出电流的瞬时值表达式。解解：A )15314cos(250ti. 50Hz A,1550 fI已已知知我们用向量和一个正弦时间函数对应看看它的我们用向量和一个

17、正弦时间函数对应看看它的几何意义几何意义：。电流投影即为正弦其旋转一周在实轴上的的旋转相量为初始角度是模为)cos(2 . ,22ee2e2) j(jjj ywwwwtIiIIeIIttt()jwtIim cosjt w+jj+12. 相量运算相量运算(1) 同频率正弦量相加减同频率正弦量相加减故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。故同频的正弦量相加减运算就变成对应的相量相加减运算。)2(R) cos(2)()2(R) cos(2)(j2222j1111tteUetUtueUetUtuwwww)(2(R)22(R )2(R)2(R)()( )( j21j2j1j2j121tttt

18、teUUeeUeUeeUeeUetututuwwwwwU21UUU 可得其相量关系为：可得其相量关系为：例例同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量同频正弦量的加、减运算可借助相量图进行。相量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析。ReIm301U9 .41UReIm9 .41301U602UU首尾相接首尾相接60430621 UUUV )60314cos(24)(V )30314cos(26)(o21ttuttuV604 V 306o2o1 UUV )9 .41314cos(264. 9)()()(o21ttututu46. 32

19、319. 5jj 46. 619. 7j V 9 .4164. 9o 602U (2) 正弦量的微分，积分运算正弦量的微分，积分运算 )cos(2iiIItIiyyw)2cos( 2 )sin( 2 )cos(2ywwwywwiiitItItIdtddtdiIjIdtdiiwyw)2(微分运算微分运算:)2cos(2 )sin(2 )dcos(2dywywywiiitItIttItiwywjIIidti)2(积分运算积分运算:电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系电阻、电感和电容元件上电压和电流的相量关系一一. 电阻电阻时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：iRiRIUII 相量模型相量

20、模型)cos(2)( itItiw已知)cos(2)()( iRtRItRituw则uR(t)i(t)R+- -有效值关系：有效值关系：UR=RI相位关系相位关系 u= i (u,i同相同相)R+- -RU IUR u相量关系相量关系：IRUR UR=RI u= i8.4 电路定律的相量形式电路定律的相量形式波形图及相量图：波形图及相量图： iw w tOuRRUI u= i二二 . 电感电感时域形式：时域形式：i(t)uL(t)L+- -相量形式：相量形式：)2(iLiILUII)cos(2)( itItiw已知)2cos(2d)(d)( iLtILttiLtuww则相量模型相量模型jw w L+- -LU ILUI i相量关系：相量关系：ILjULw w 有效值关系：有效值关系： U=w w L I相位关系：相位关系： u= i +90 (u 超前超前 i 90)1. 相量关系：相量关系：三、三、 电容电容时域形式：时域形式：相量形式：相量形式：)2( uCuCUIUUw)cos(2)( utUtuw已知)2cos(2 )sin(2d)(d)( uu