第一章绪论数值分析

1、第一章 绪论1.1 现代科学计算的一般过程现代科学计算的一般过程实际实际问题问题数学数学模型模型数值数值方法方法程序程序设计设计上机上机计算计算结果结果分析分析1.1.1对实际工程问题进行建模对实际工程问题进行建模数学建模：数学建模：应用有关学科知识和数学理论，将实际工程问题，用精炼准确应用有关学科知识和数学理论，将实际工程问题，用精炼准确 的数学语言对其关键的核心部分进行描述并给出数学模型，这的数学语言对其关键的核心部分进行描述并给出数学模型，这 一过程常称为数学建模。一过程常称为数学建模。数值计算方法主要讨论能用确定的数学解析式描述的实际工程计算问题。数值计算方法主要讨论能用确定的数学解析

2、式描述的实际工程计算问题。什么样的模型是什么样的模型是好的数学模型？好的数学模型？符合以下两条：符合以下两条：1 1）反映问题本质）反映问题本质2 2）便于计算机实践）便于计算机实践按数学性质按数学性质 确定型随机型确定型随机型离散型连续型离散型连续型按表达式按表达式分类：分类：1.1.2 对数学问题给出数值计算方法对数学问题给出数值计算方法现代计算机现代计算机 简单的算术运算和逻辑运算 科学和工程计算问题 数学模型数值化数学模型数值化 计算机 数值计算方法数值计算方法不同的数学问题 不同的数值计算方法数值计算方法优劣的评价标准速度速度精度精度1.1.3 对数值计算方法进行程序设计对数值计算方

3、法进行程序设计 一个好的数值计算方法要通过程序设计，才能在计算机上实践。程序一个好的数值计算方法要通过程序设计，才能在计算机上实践。程序设计要求用最简练的计算机语言、最快的速度、最少的存储和准确的计算设计要求用最简练的计算机语言、最快的速度、最少的存储和准确的计算结果。这就要求程序设计者不仅要掌握数值计算方法，而且要熟悉并能熟结果。这就要求程序设计者不仅要掌握数值计算方法，而且要熟悉并能熟练使用计算机语言，准确无误地描述每一个算法。练使用计算机语言，准确无误地描述每一个算法。1.1.4 上机计算并分析结果上机计算并分析结果前面三个阶段工作的结果如何？前面三个阶段工作的结果如何？上机计算的结果与

4、工程实际符合？上机计算的结果与工程实际符合？所做研究是否具有推广价值？所做研究是否具有推广价值？1.2 现代科学计算的一般过程现代科学计算的一般过程1.2.1数值计算方法的研究内容数值计算方法的研究内容数值代数数值代数数值逼近数值逼近微分方程数值解法微分方程数值解法最优化理论与方法最优化理论与方法线性方程组，矩阵特征值特征向量，线性方程组，矩阵特征值特征向量，非线性方程方程组的数值解法。非线性方程方程组的数值解法。各种函数逼近问题各种函数逼近问题数值积分数值微分数值积分数值微分常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程1.2.2数值计算方法的特点数值计算方法的特点例例1 1.1 1 利用克拉姆法

5、则求解线性方程组，当方程组阶数利用克拉姆法则求解线性方程组，当方程组阶数n n很大，很大，例如例如n=20,n=20,计算机运算速度计算机运算速度1 1亿次亿次/ /秒秒, ,大约需算几十万大约需算几十万年年; ;好方法如高斯消去法不到一分钟就可以得到结果。另外，好方法如高斯消去法不到一分钟就可以得到结果。另外，有计算结果可靠性问题。有计算结果可靠性问题。 这个例子说明研究数值计算方法很有必要，而数值这个例子说明研究数值计算方法很有必要，而数值计算方法所研究的正是在计算效率上最佳的或近似最佳计算方法所研究的正是在计算效率上最佳的或近似最佳的方法，而不是象克拉姆法则这样的方法。的方法，而不是象克

6、拉姆法则这样的方法。.210110,n,dxexeIxnn 例例1.2 计算计算11 nnInI 公式一：公式一：注意此公式注意此公式精确精确成成立立632120560111100.edxeeIx 记为记为*0I80001050 .IIE则初始误差则初始误差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.

7、II ? ! !考察第考察第n步的误差步的误差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE| !01En|Enn 我们有责任改变。我们有责任改变。造成这种情况的是造成这种情况的是不稳定的算法不稳定的算法 /* unstable algorithm */迅速积累，误差呈递增势。迅速积累，误差呈递增势。可见初始的小扰动可见初始的小扰动801050| .E)1(1111nnnnInIInI 公式二：公式二：注意此公式与公式一注意此公式与公式一在理论上在理论上等价等价。方法：先估计一个方法：先估计一个IN , ,再反推要求的再反推要求的In ( n N )。11)1(1 NINeNNNI

8、NNeI 11)1(121*可取可取0* NNNIIEN, ,时时当当632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI 取取考察反推一步的误差：考察反推一步的误差：|1)1 (1)1 (1|*1NNNNENININE 以此类推，对以此类推，对 n 6 log6，即，

9、即 n 6，应取，应取 * = 3.14159。1.3.3误差的传播误差的传播/* Spread */ 误差分析的重要性（考察误差分析的重要性（考察例例1.2） 误差的传播误差的传播可用微分描述误差的变化可用微分描述误差的变化xdxdxxeedxxxerln*即即 的微分表示的微分表示 的绝对误差，的绝对误差， 的微分表示的微分表示 的相对误差。的相对误差。xxxlnxdydxyxd )(ydxdxydlnln)(lnydxdyxdlnln)(ln?1. 避免相近二数相减避免相近二数相减例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效数字。位有效数字。 而而 a2

10、 a1 = 0.00001，只剩下，只剩下1位有效数字。位有效数字。 几种经验性避免方法：几种经验性避免方法：;xxxx ;1lnlnln xxx当当 | x | 1 时：时：;2sin2cos12xx .6121112xxxex1.3.4误差的控制误差的控制2. 避免大数避免大数吃吃小数小数例：用单精度计算例：用单精度计算 的根。的根。010)110(992 xx精确解为精确解为110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在计算机内，在计算机内，109存为存为0.1 1010，1存为存为0.1 101。做加法时，做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将

11、浮点部分相加。即两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点部分相加。即1 的指数部分须变为的指数部分须变为1010，则：，则：1 = 0.0000000001 1010，取，取单精度时就成为：单精度时就成为： 109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大数大数吃吃小数小数024,102422921 aacbbxaacbbx算法算法2：先解出先解出 再利用再利用9211024)( aacbbsignbx11010991221 xacxacxx求和时求和时从小到大从小到大相加，可使和的误差减小。相加，可使和的误差减小。例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算例：按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算1 + 2 + 3 + + 40 + 1093. 先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。先化简再计算，减少步骤，避免误差积累。一般来说，计算机处理下列运算的速度为一般来说，计算机处理下列运算的速度为 exp ,参考教材中计算参考教材中计算 的算法以及秦九韶算法的应用。的算法以及秦九韶算法的应用。255x4. 绝对值太小的数不宜做除数。绝对值太小的数不宜做除数。2)(yxdyydxyxd由由 可得商的误差关系式为可得商的误差关系式为2)()()(yyxexyeyxe若若 的值非常小，则的