函数单调性与最值(最值)

1、第2课时函数的最大(小)值第一章 1.3.1单调性与最大(小)值1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.会借助单调性求最值；3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学 新知探究 点点落实知识点一函数的最大(小)值思考在下图表示的函数中，最大的函数值和最小的函数值分别是多少？1为什么不是最小值？答案答案最大的函数值为4，最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应，不是函数值.存在实数M，定义域内任意x，都有f(x) M,且定义域内存在 ，使得0()fxM0 x一般地，设函数yf(x)的定义域为I.如果存在实数M满足：(1)对于任意xI，都有f(x)M.

2、(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值.如果存在实数M满足：(1)对于任意xI，都有f(x)M.(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值.2223yxx 最大值最小值2223yxx 知识点二函数的最大(小)值的几何意义思考函数yx2，x1,1的图象如右：答案试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.答案x1时，y有最大值1，对应的点是图象中的最高点最高点，x0时，y有最小值0，对应的点为图象中的最低点最低点.一般地，函数最大值对应图象中的最高点最高点，最小值对应图象中的最低最低点点，它们不一定只有一个它们不一定只有一个.返回答案1.

3、函数f(x)在2,2上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别是()A.f(2)，0 B.0,2C.f(2)，2 D.f(2)，2C题型探究 重点难点 个个击破类型一借助单调性求最值解析答案反思与感悟解析答案解设x1，x2是区间2,6上的任意两个实数，且x1x2，由2x10，(x11)(x21)0，于是f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).反思与感悟即在x2时取得最大值，最大值是2，反思与感悟反思与感悟1.若函数yf(x)在区间a，b上单调递增，则f(x)的最大值为f(b)，最小值为f(a).2.若函数yf(x)在区间a，b上单调递减，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b

4、).3.若函数yf(x)有多个单调区间，那就先决出各区间上的最值，再从各区间的最大值中决出总冠军，函数的最大(小)值是整个值域范围内最大或最小的.解析答案当x10，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在(0,1上单调递增；当1x10，x1x210，f(x1)f(x2)0，f(x1)f(x2)，f(x)在1，)上单调递减.类型二求二次函数在给定区间上的最值例2(1)已知函数f(x)x22x3，若x(0,4，求函数f(x)的最值；解析答案解析答案由(1)知yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增.当t1即x1时，f(x)min4，无最大值.( )2

5、3f xxx（2)已知函数 , 求函数 的最值( )f x解析答案(3)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)反思与感悟解作出函数h(t)4.9t214.7t18的图象(如图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数h(t)4.9t214.7t18，于是，烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的

6、高度约为29 m.反思与感悟反思与感悟1.二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.2.图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.解析答案跟踪训练2(1)已知函数f(x)x42x23，求函数f(x)的最值；解设x2t(t0)，则x42x23t22t3.yt22t3(t0)在0,1上单调递减，在1，)上单调递增.当t1即x1时，f(x)min4，无最大值.解析答案解析答案解析答案例例3（1）、）、已已知函数知函数f(x)x2+2ax3, (1)若a=1, x-2，2，则f(x)的最大值 最小值 。（2）若函数f(x)在区间 上单调递减，则实

7、数a的取值范围是 ；, 3 （3）若函数f(x)在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，则实数a的值是 。, 3 3, 解析答案例3（2）、已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最小值。思考： 已知函数f(x)x22x3，若xt，t2，求函数f(x)的最大值。解对称轴x1，当1t2即t1时，f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(t2)t22t3.f(x)maxf(t)t22t3，f(x)minf(1)4.解析答案f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(1)4.当11时，f(x)maxf(t2)t22t3，f(x)minf(t)t22t3.跟踪训练

8、3、求二次函数f(x)x22ax2在2,4上的最小值；解函数图象的对称轴是xa，当a4时，f(x)在2,4上是减函数，f(x)minf(4)188a.当2a4时，f(x)minf(a)2a2.解析答案5.函函数数 f(x)x22xa 在在区区间间3， 5上上的的最最大大值值是是最最小小值值的的 3 倍倍，求求 a 的的值值 解析答案类型三分段函数的最值问题例3、求函数 的最大值，最小值。 解析答案反思与感悟222 ,30( )2 ,02xxxf xxxx 类型四函数最值的应用例4、已知ax2xa0对任意x(0，)恒成立，求实数a的取值范围.解析答案反思与感悟解析答案解方法一若a0，抛物线yax2xa开口向下，y不可能恒大于0.若a0，ax2xax0，yax2xa开口向上，反思与感悟反思与感悟反思与感悟恒成立的不等式问题一般转化为最值问题来解决.解析答案跟踪训练3已知ax2x1对任意x(0,1恒成立，求实数a的取值范围.a0.返回规律与方法(2)若函数f(x)在闭区间a，b上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)