天津外国语大学《线性代数》课件-第三章 矩阵的运算

1、线性代数之三天津外国语大学大学 计控学院线性代数之三矩阵的概念由 mn 个数 aijC i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n) 排成 m 行 n 列的方阵形式 用括号括起来：. . . . .a1n . . .a1 1a12a21a22. . .am1am2. . . . .a2n. . .amn称为 m 行 n 列矩阵 或 m n 矩阵 简称矩阵。数 aij 称为矩阵的元。线性代数之三矩阵的小历史矩阵是线性代数这门课的核心概念。英国十九世纪数学家 Arthur Cayley 千 1858 年首次引入矩阵。Figure : Authur Cayley (1821

2、1895)线性代数之三矩阵的符号表示和若干特殊矩阵的定义用大写字母表示矩阵：A、B。用元的一般形式表示矩阵：(aij)、(bij)。指出矩阵阶数的表示方法：(aij)mn、Bmn。方阵：行数与列数相等的矩阵。又称 n 阶矩阵C n 阶方阵) 。实C 复) 矩阵：所有元都是实C 复) 数。 n 维行向量：1 n 矩阵。元又称为分量。 n 维列向量：n 1 矩阵。元又称为分量。线性代数之三矩阵的相等两个矩阵 A = (aij)mn 和 B = (bij)pq 相等 记为 A = B 如果m = p 且 n = q。对所有的 i = 1, . . . , m 及 j = 1, . . . , n 都

3、有aij = bij,例如：142563132= 4 5 6 .0 0 0线性代数之三矩阵的相等矩阵和数谈不上相等。A = 5 必定是错误的式子。例外：当 A 是一个一阶矩阵 即 A = (a) 时 为了书写方便 可以写 A = a 这个式子。即补充定义：A = a 含义是 A 为一阶矩阵 且唯一元等千 a。线性代数之三矩阵的加法两个 m n 矩阵 A = (aij) 和 B = (bij) A 与 B相加 记为 A + B 亦即 A 与 B 的和定义为A + B = a11 + b11. . .a1n + b1n a + b. . .a + b2n2n. . . . . . . . .am1

4、 + bm1a12 + b122121a22 + b22. . .am2 + bm2amn + bmn.线性代数之三矩阵的加法类似千数的加法 矩阵的加法成立交换律：A + B = B + A。设 A = (aij)mn B = (bij)mn 则A + B =a + b1111. . . . .a + b1n1n. . . . . . .am1 + bm1amn + bmnb + a1111=. . . . .b + a1n1n. . . . . . .bm1 + am1bmn + amn线性代数之三矩阵的加法=b1 1bm1mn+. . . . . . . . . . . . bb1n a1

5、 1m1mna1n . . . . . . . . . a. . . a=B + A.这就证明了矩阵加法的交换律。矩阵的加法还成立结合律：(A + B) + C = A + (B + C).线性代数之三矩阵的加法零矩阵：每一个元都是 0 的 m n 矩阵。记为：0mn 或 0。遇到 0 要根据上下文区分数 0 或矩阵 0。对一切矩阵 A 都有：A + 0 = 0 + A = A。对任一矩阵 A = (aij)mn A 的负矩阵 记为 A 定义为 a11. . . a1n A = . . . . . . . am1. . . amn显然对任一矩阵 A 都有 A + ( A) = 0。 A B 定

6、义为 A + ( B)。线性代数之三矩阵的数量乘法a1 1am1 . . . . . . . . .amn=是一个数 A = (aij)为一m n矩阵。与矩阵A的乘积 也称为数量乘积。记为A或A。定义为 定义 1n11. . .aa. . .a1n . . . . . . . am1. . . amnmn.设A = (aij)mn 1A = 1(aij)mn = (1 aij)mn = (aij)mn = A.线性代数之三矩阵的数量乘法类似的 可以证明以下公式：1A = A.(A) = ()A. (A + B) = A + B.( + )A = A + A.注意：这些公式形式上与过去公式很象

7、但含义完全不同。线性代数之三矩阵的乘法矩阵乘法是线性代数中最核心的定义。设矩阵A = (aij)mn B = (bij)ns 则A与B的乘积 记为AB 定义为AB = (cij)ms,cij = ai1b1j + + ainbnj.左边矩阵A的列数必须等千右边矩阵B的行数。AB得到的矩阵行数等千左边矩阵A的行数, 列数等千右边矩阵B的 列数。乘法的法则是左边矩阵的第i行和右边矩阵的第j列的对应元素相 乘再相加 就得到乘积矩阵的第i行第j列元素。线性代数之三矩阵的乘法计算：010a110 0a31aa333441aa43440 1a12a13a140 1 0 0a21a22a23a240a320

8、 0 0 1aa42结果是交换了(aij)矩阵的第1行与第3行。线性代数之三矩阵的乘法考虑如下一组式子 如何利用矩阵乘法简化表示： y1 = a11x1 + a12x2 + + a1nxny2 = a21x1 + a22x2 + + a2nxn. . .ym = am1x1 + am2x2 + + amnxn附：所谓方程组 只不过上式左边的y1,., ym都取为常数。线性代数之三矩阵的乘法定义以下向量和矩阵：y1 .y2Y = ym. . .a11. . .a1n . . . . . . .am1amnx1.xna21a2nx2A = . . .X = 注意 Y是m维列向量 X是n维列向量。则

9、上式可表示为Y = AX。反之 若Y, A, X均按上面定义 则Y = AX即表示前面式子。线性代数之三矩阵的乘法又若有： z1 = b11y1 + b12y2 + + b1nymz2 = b21y1 + b22y2 + + b2nym. . .zs = bs1y1 + bs2y2 + + bsnym即Z = BY 其中Y前面已定义 Z和B类似定义。使用代入法 易知每个zi都可以写成x1,., xn的一次齐式。zi的表达式究竟是什么？线性代数之三矩阵的乘法Z = BY = B(AX).到此处仍不知道系数是多少。矩阵乘法成立结合律：设A = (aij)sn B = (bij)nm C = (ci

10、j)mr 则(AB)C = A(BC).设AB = V = (vij)sm BC = W = (wij)nr。j=1nmk=1vik = aijbjkwjl = bjkckl线性代数之三矩阵的乘法mmnik klij jk根据矩阵乘法定义 (AB)C的第i行第l列的元为： v c =a bcm n kl = a b cij jk kla wak=1k=1 j=1k=1 j=1根据矩阵乘法定义 A(BC)的第i行第l列的元为： nnmn m ij jl = = b ca b cijjk klij jk klj=1j=1k=1j=1 k=1因为双重加号可以交换次序 所以以上两式相等。即(AB)C和

11、A(BC)的每个对应元都相等 故(AB)C = A(BC)。线性代数之三矩阵的乘法所以Z = B(AX) = (BA)X 即系数是两个矩阵B与A的乘积。矩阵乘法 交换律不成立。存在A, B AB = BA。 矩阵乘法 削去律不成立：AB = AC B = C。 矩阵乘法 分配律成立：A(B + C) = AB + AC(B + C)A = BA + CA结合律：(AB) = (A)B = A(B)。线性代数之三矩阵的乘法.yY = AX mm1 1ax + + axmn n回到前一组式子：y1 a11x1 + + a1nxn =. . .a1 1 . . . . .a1n x1a11 . .

12、. . . . . axam1mnnam1 =x + +.a1n amnx.1.n最后一个式子是常用的公式。线性代数之三矩阵的乘法类似的有：（） a11x1. . . xm. . . . .a1n . . . . . . .am1amn=x1 （a11. . . a1n） + + xm （am1. . .amn）文字描述为：行向量左乘矩阵得到矩阵行向量的线性组合；列向量右乘矩阵得到矩阵列向量的线性组合。C 线性组合稍后定义)线性代数之三矩阵的乘法考虑以下矩阵乘积的第i列：a1 1am1a1n b11. . . . . . . . . . . . . .amnbn1ansb1 s. . . .

13、. . . . .该第i列写成向量形式为：a11bi1 + + a1nbni.am1bi1 + + amnbni=11a. . .a1n b1iam1. . . amnbni. . . . . . . .线性代数之三矩阵的乘法写成矩阵形式 设：B = （1. . .s）其中i(i = 1, . . . , s)为列向量。则有：AB = A （1. . . s） = （A1. . . As）这也是一个很常用的公式。线性代数之三矩阵的乘法a1 1 . . . . . . . . .a1n am1. . .amnB 的第i行为：（ai1. . .ain）B。设i = （ai1. . .ain） i

14、= 1, . . . , m。mB =11 B.m B线性代数之三矩阵的乘法n阶单位方阵 记为En 或简记为E 称单位矩阵。定义为：nE = 10 0. . .01. . .0. . . . . . . . . . . .00. . .1对任意m n矩阵Amn 都有：EmA = AEn = A.也就是说 单位矩阵E类似千数1。线性代数之三矩阵的乘法设A为n阶方阵 则有限个A连续相乘有定义。矩阵A的n次幕符号为An 定义为：A0 = E,Ak+1 = Ak A.设k, l都为自然数 则有：Ak Al = Ak+l但下式不一定成立：(Ak)l = Akl.(AB)k = AkBk.线性代数之三矩阵

15、多项式设()为如下多项式：() = amm + am 1m 1 + + a1 + a0则定义(A)为：(A) = amAm + am 1Am 1 + + a1A + a0E.称为矩阵A的多项式。线性代数之三矩阵多项式同一矩阵的两个多项式相乘可交换：(A)(A) = (A)(A).先证(A)与Ai相乘的情形。(A)如前。(A) A = amAm + + a1A + a0E Ai=amAm Ai + + a1A Ai + a0E Ai=Ai amAm + + Ai a1A + Ai a0E=Ai amAm + + a1A + a0E = Ai(A).线性代数之三矩阵多项式再证两个矩阵多项式相乘。设

16、() = bnn + + b1 + b0 (A)(A) = (A)bnAn + + b1A + b0E= (A) bnAn + + (A) b1A + (A) b0E= bnAn (A) + + b1A (A) + b0E (A)= bnAn + + b1A + b0E (A)= (A)(A).线性代数之三矩阵乘积的行列式考虑两个行列式的乘积 我们证明：a11. . . a1n b11. . . b1n11 11. . .1an11. . .ann11bn1. . . . . . . . . . . . .1 11bnn11=11a11an1. . .annbn1 a1nb11. . . .

17、. . . . . . . . . .b1n1. . . . . . .bnn11线性代数之三矩阵乘积的行列式an1左式= 1a111. . .1 111. . . a1n. . . . .0. . . . . . . . . ann0b11. . . . . . . . . . .1bn1. . .01. . .101bnnb1n1. . .111再利用行列式的性质 将上式中的a全部消为0。利用左下部分的1 将一行的适当倍数加到前n行中的某一行上。千是：线性代数之三矩阵乘积的行列式11 11. . .c1n10. . .0c11. . .1 . . . . . . . . . . . . .110. . .0cn1. . .左式= 1b11. . . . . . . 1 bn1. . .cnn1b1n1. . .1bnn1其中 cij为