大学物理实验基础.

1、大学物理实验基础知识（一）大学物理实验基础知识（一）教师：邹俭英教师：邹俭英中国石油大学物理实验中心中国石油大学物理实验中心 教师信息教师信息v姓名：邹俭英姓名：邹俭英v办公室：基础实验楼办公室：基础实验楼D309#D309#v电话：电话：1585327641615853276416v物理学物理学是一门实验科学。物理概念的确定、物理规是一门实验科学。物理概念的确定、物理规律的发现、建立和检验，都是通过律的发现、建立和检验，都是通过实验结果概括出实验结果概括出来来的的v物理实验是物理实验是科学实验的先驱科学实验的先驱，体现了大多数科学实，体现了大多数科学实验的验的共性共性，在实验思想、实验方法以

2、及实验手段等，在实验思想、实验方法以及实验手段等方面是方面是各学科科学实验的基础各学科科学实验的基础1905年爱因斯坦的光量子假说，年爱因斯坦的光量子假说，1916年当密立根实验证实年当密立根实验证实课程课程的主要目的和任务的主要目的和任务v对学生进行对学生进行“三基三基”训练。使学生获得物理实验的训练。使学生获得物理实验的基本基本知识知识, ,进行基本实验进行基本实验方法方法和基本实验和基本实验技能技能的训的训练练v培养学生的培养学生的阅读理解阅读理解能力、能力、动手操作动手操作能力、能力、分析判分析判断断能力、能力、书写表达书写表达能力以及初步的能力以及初步的实验设计实验设计能力能力v加深

3、对物理概念的掌握和理解加深对物理概念的掌握和理解大学物理实验大学物理实验上课须知上课须知误差与数据处理基本知识误差与数据处理基本知识v一一. 测量测量v二二. 误差误差v三三. 不确定度不确定度v四四. 有效数字有效数字v五五. 常用数据处理方法常用数据处理方法一一. 测量测量 物理实验除物理实验除定性观察定性观察（水沸腾）外，更重要的是（水沸腾）外，更重要的是定定量测量量测量（水沸腾的温度）（水沸腾的温度）1. 定义定义：所谓测量是用一定的：所谓测量是用一定的实验方法实验方法通过一定的通过一定的量量具（或仪器）具（或仪器）寻找寻找待测量真值待测量真值的操作过程的操作过程v测量值必须有测量值必

4、须有数值和单位数值和单位组成，两者缺一不可组成，两者缺一不可90.70cm2. 分类分类（1）按测量结果）按测量结果获得方法获得方法：v直接测量直接测量：用标准量与待测量：用标准量与待测量直接比较直接比较而得。而得。 例：用直尺测量长度；以表计时间；天平称质例：用直尺测量长度；以表计时间；天平称质量；安培表测电流量；安培表测电流v间接测量间接测量：经过直接测量与待测量有：经过直接测量与待测量有函数关系函数关系的物理量，再经过的物理量，再经过运算运算得到待测物理量的测量得到待测物理量的测量方法。方法。 例：用钢卷尺测量桌子的面积例：用钢卷尺测量桌子的面积S=ab=S(a,b)；钢球密度测量钢球密

5、度测量（2）按）按测量条件测量条件：等精度测量和不等精度测量：等精度测量和不等精度测量v等精度测量等精度测量：相同测量条件相同测量条件下，对同一被测量进行下，对同一被测量进行重复性重复性测量测量 相同测量条件相同测量条件： 同一测量水平的观测者同一测量水平的观测者 同一精度的仪器同一精度的仪器 同样的实验方法同样的实验方法 同样的实验环境同样的实验环境v非等精度测量非等精度测量：不相同测量条件不相同测量条件下，对同一被测量下，对同一被测量进行进行重复性测量重复性测量二二. 误差误差真值真值是一个抽象的概念，一般情况下是是一个抽象的概念，一般情况下是未知的未知的，但在但在下面几种特殊情况下可以是

6、已知的：下面几种特殊情况下可以是已知的： 由于仪器、环境、人员和方法等方面诸多因素的影响，测量由于仪器、环境、人员和方法等方面诸多因素的影响，测量 值与真值总会存在一定的差异值与真值总会存在一定的差异1. 定义定义：指测量值与真值之差，：指测量值与真值之差，理论真值（三角形内角和）；理论真值（三角形内角和）； 约定真值（常用基本单位）；约定真值（常用基本单位）； 相对真值（相对真值（高级高级标准器的指示值作为标准器的指示值作为低级低级的相对真值）的相对真值） 如：用一等标准水银温度计测得如：用一等标准水银温度计测得20.2，二等标准水银温度计测得，二等标准水银温度计测得 20.3，则二等标准水

7、银温度计的相对误差为，则二等标准水银温度计的相对误差为0.5%0 xx表示为： 误差是不希望出现的，但又不可避免的，要了解误差是不希望出现的，但又不可避免的，要了解误差误差出现的原因出现的原因并尽量并尽量减小或消除减小或消除它它误差的误差的性质性质：未知性（真值不可知）未知性（真值不可知）普遍性（存在于一切测量当中）普遍性（存在于一切测量当中）随机性（随机性（误差值可正或负，可大或小，难以预测）误差值可正或负，可大或小，难以预测） 按误差性质可分为按误差性质可分为系统误差、随机误差系统误差、随机误差和和粗大误差粗大误差（1）系统误差）系统误差：相同条件下多次重复测量时，误差：相同条件下多次重复

8、测量时，误差的的大小、符号大小、符号保持保持恒定恒定，具有一定的规律（如：零，具有一定的规律（如：零点不准、天平不等臂、刻度不均匀等）点不准、天平不等臂、刻度不均匀等）v分类分类：已定已定系统误差系统误差（大小和符号可以确定，如仪器零点误差大小和符号可以确定，如仪器零点误差） 未定未定系统误差系统误差（大小和符号不能确定大小和符号不能确定）v如何发现和消除如何发现和消除系统误差将在第二次课介绍系统误差将在第二次课介绍2. 分类分类（2）随机误差）随机误差：误差值误差值可正或负可正或负，也，也可大或小可大或小，难以预，难以预测，有测，有随机性随机性，但测量次数多时，又符合一定的统计规，但测量次数

9、多时，又符合一定的统计规律（正态分布）律（正态分布） v单峰性单峰性v对称性对称性v有界性有界性f()概率密度函数概率密度函数误差误差随机误差常呈随机误差常呈正态分布正态分布，服从概率密度函数，服从概率密度函数f()（如图），可见随机误差特点：（如图），可见随机误差特点： 个别个别偏离于其它数据很大偏离于其它数据很大的误差，由于人为、的误差，由于人为、仪器或环境方面引起，又称仪器或环境方面引起，又称疏失误差疏失误差或或过失误差过失误差（例如：仪器损坏，操作错误，读数错误，记录（例如：仪器损坏，操作错误，读数错误，记录错误），错误），应剔除应剔除（3）粗大误差）粗大误差 3. 3. 误差的表示形

10、式误差的表示形式（1）绝对误差绝对误差 用绝对大小给出的误差：用绝对大小给出的误差：xx0，可正可负，有单位可正可负，有单位（2）相对误差相对误差 绝对误差与被测量绝对误差与被测量真值真值的比值：的比值：E/x0，无单位，用无单位，用表示表示例：测量两个物体的长度：例：测量两个物体的长度：L1=100 m，L2=1 m； 绝对误差分别为绝对误差分别为1=0.1 m，2=0.01 m； 相对误差分别为：相对误差分别为：E1=0.1%， E2=1.0%L1测量结果好，称精度高测量结果好，称精度高4.4.测量结果的好坏的评价测量结果的好坏的评价-精度精度v也称精确度也称精确度/准确度，描述测量结果准

11、确度，描述测量结果与真值的接近程与真值的接近程度度v定性定性概念，不能用数值大小来表示，只能讲高低概念，不能用数值大小来表示，只能讲高低 v精密度精密度（各测量值之间的接近程度各测量值之间的接近程度-随机误差随机误差）和）和 正确度正确度（测量结果与真值的偏离程度测量结果与真值的偏离程度-系统误差系统误差）的综合反映）的综合反映 三三. 不确定度不确定度1. 概念概念v表示被测量不能确定的程度，故称为表示被测量不能确定的程度，故称为“不确定度不确定度”，反应，反应误差可能出现误差可能出现的范围的范围或或真值可能处的范围真值可能处的范围v反映测量精度：反映测量精度：不确定度不确定度小小，测量，测

12、量精度高精度高，测量值接近真值；反之亦反，测量值接近真值；反之亦反通常习惯说误差越小，测量结果质量越好，即用误差评定测量结果好通常习惯说误差越小，测量结果质量越好，即用误差评定测量结果好坏；但因坏；但因真值不可知真值不可知，误差不能确定，故，误差不能确定，故用误差评定用误差评定是是不合理不合理的的如何给定如何给定待测量的大小待测量的大小？并能反映测量？并能反映测量结果好坏结果好坏（精度高低）？（精度高低）？测量结果最终表示：测量结果最终表示： x =2.70.3 （表示待测量可能处于（表示待测量可能处于2.43.0之间）之间）最佳值最佳值不确定度不确定度 不确定度是用来评定测量质量的一个重要指

13、标，国内外在计量、检测、工不确定度是用来评定测量质量的一个重要指标，国内外在计量、检测、工业、商业、外贸等领域已逐渐采用不确定度代标准差表示测量结果的质量业、商业、外贸等领域已逐渐采用不确定度代标准差表示测量结果的质量 2. 分类分类 测量不确定度通常包括几个分量，根据测量不确定度通常包括几个分量，根据评定方法评定方法可分两大类：可分两大类：（1） A类分量类分量（采用统计方法评定获得的）（采用统计方法评定获得的）v用用算术平均值的标准差算术平均值的标准差公式估算：公式估算：v 使用条件：使用条件：直接直接测量量；测量量；等精度等精度测量测量12nniSuxxxA不确定度大小可根据不确定度大小

14、可根据概率统计学概率统计学来评定来评定（贝塞尔公式）（贝塞尔公式）（2） B类分量类分量（用非统计方法评定获得的）（用非统计方法评定获得的）v约定：约定：3仪仪Bu2222仪xBAcSuuu（3）合成不确定度合成不确定度仪器极限误差仪器极限误差仪仪=等级量程等级量程 / 100 数字式数字式取末位数取末位数1个单位个单位；刻度式刻度式取最小分度一半取最小分度一半例：用电表的例：用电表的200mA量程测电流，该电表级别为量程测电流，该电表级别为0.05，则该电表的，则该电表的仪仪=0.05200/100=0.1mA 3. 测量结果的表示测量结果的表示（1）最佳值最佳值估计估计v由由随机误差随机误

15、差对称性对称性（大小相同、符号相反的误差出现机（大小相同、符号相反的误差出现机会相同）特点可知，无数次测量时，测量值的平均值会相同）特点可知，无数次测量时，测量值的平均值接近真值，接近真值，故可用故可用算术平均值算术平均值代替代替真值真值0010110100,111xxxnxnxnxnxniiniiniinii%100)(xuuuxxcrc单位（2）测量）测量结果的表示结果的表示ur为为相对不确定度相对不确定度。相对不确定度越小，表示测。相对不确定度越小，表示测量质量越好量质量越好1. 定义定义v由表征测量结果的由表征测量结果的可靠数可靠数字字与与可疑数字可疑数字组成，组成，可疑可疑数字一般只

16、有一位数字一般只有一位v由由仪器仪器和和待测量待测量的大小的大小共同决定共同决定四四. 有效数字有效数字由于误差存在的普遍性，实验中某物理量的测量值及由于误差存在的普遍性，实验中某物理量的测量值及运算结果都是近似的。合理的近似，既能充分反映测运算结果都是近似的。合理的近似，既能充分反映测量精度，又简单明了。量精度，又简单明了。这种这种近似的数据近似的数据是有效的，被称为有效数字是有效的，被称为有效数字2. 有效数字的位数有效数字的位数由左边第一个由左边第一个非零数字非零数字起至起至最后一位最后一位数字止数字止例如例如: 用最小分度值用最小分度值为为1mm的尺，测量一物的尺，测量一物体长度得到体

17、长度得到1.65cm。 “5”是在是在6和和7两个整毫米刻两个整毫米刻度内估读的，是不可靠度内估读的，是不可靠的，的，可疑数字可疑数字；1.6是由是由尺子刻度直接读出的，尺子刻度直接读出的，是是可靠数字可靠数字15.86，四位有效数字，四位有效数字5.32，三位有效数字，三位有效数字5.320，四位有效数字，四位有效数字0.0532，三位有效数字，三位有效数字注注: 末尾的末尾的“0”是有效数字，是有效数字，不能去掉不能去掉此长度如果在此长度如果在1cm以内，则有以内，则有1位位可靠数字；可靠数字；若该物体用若该物体用千分尺千分尺量则有量则有4位可靠位可靠数字数字3. 获取原则获取原则（1）直

18、接直接测量：测量：v有有指针或刻度指针或刻度的仪器：最小刻度以下再估读一位的仪器：最小刻度以下再估读一位v数字数字显示仪表：显示值均为有效数字，不再估读显示仪表：显示值均为有效数字，不再估读（2）间接间接测量：末位数必须与不确定度末位对齐测量：末位数必须与不确定度末位对齐v在本课程中在本课程中绝对不确定度绝对不确定度的有效数字只要求取的有效数字只要求取1位位v相对不确定度相对不确定度的有效数字，一般取的有效数字，一般取12位位4. 修约规则修约规则当实验结果的有效数字位数较多当实验结果的有效数字位数较多时，进行取舍一般采用时，进行取舍一般采用1/21/2修约规则。修约规则。（1） 需舍去部分的

19、需舍去部分的总数值总数值大于大于保留部分保留部分末位半个单位末位半个单位，末位，末位加加1（2） 需舍去部分的总数值需舍去部分的总数值小于小于保留部分保留部分末位半个单位末位半个单位，末位，末位不变不变（3） 需舍去部分的总数值需舍去部分的总数值等于等于保留部分保留部分末位半个单位末位半个单位，末位，末位凑偶凑偶3.14161 2.71729 4.51050 5.62350 6.3785013.1422.7174.5105.6246.3798.927513 8.928修约成修约成4位位有效数字：有效数字：（四舍六入五凑偶）（四舍六入五凑偶）v单位换算单位换算时有效数字的位数时有效数字的位数不变

20、不变 1.3m1.3103mm 1300mm 1300mm1.300m 1.3m 用用科学记数法科学记数法表示表示u= 0.112 u= 0.5350 ur = 12.52 % ur= 1.232 % v不确定度不确定度有效数字取舍一般采用有效数字取舍一般采用1/3修约规则修约规则u= 0.1；u= 0.6;ur = 13%; ur =1.2% ；5. 运算规则运算规则v加减加减运算运算尾数（数量级最大的）尾数（数量级最大的）取齐；取齐；乘除乘除运算运算位数（最少位数（最少的）的）取齐；取齐；v乘方、开方乘方、开方的有效位数与其底的有效数字相同；的有效位数与其底的有效数字相同；函数的有效数字根

21、据函数的有效数字根据不同的情况有不同的规定不同的情况有不同的规定，如：如：v指数函数：与指数的有效数字位数相同指数函数：与指数的有效数字位数相同v自然对数：其尾数的位数与该数的有效数字位数相同自然对数：其尾数的位数与该数的有效数字位数相同v三角函数：根据角度的不确定度来确定最后的有效位数三角函数：根据角度的不确定度来确定最后的有效位数中间过程多取中间过程多取1位位1. 对对直接测量直接测量列数据处理（列数据处理（等精度测量等精度测量）： 数据处理时，可数据处理时，可忽略忽略已定系统误差已定系统误差和和粗大误差粗大误差（实验过程中（实验过程中已尽量消除）已尽量消除）（1）求算术平均值，作为测量结

22、果的）求算术平均值，作为测量结果的最佳值最佳值。（2）计算算术平均值的标准差，作为标准）计算算术平均值的标准差，作为标准不确定度的不确定度的A类分量类分量。（3）根据仪器的极限误差，计算标准）根据仪器的极限误差，计算标准不确定度的不确定度的B类分量类分量。（4）计算）计算合成不确定度合成不确定度和和相对不确定度相对不确定度。（5）完整表示测量结果完整表示测量结果数据处理步骤归纳数据处理步骤归纳 物理实验中，一般只有一个物理实验中，一般只有一个A类分量和一个类分量和一个B类分量，类分量，且假定两个分量相互独立：且假定两个分量相互独立：31:2仪；其中BAUnniUxx2B2AUUUc a）. 多

23、次测量：多次测量：b）. 单次测量：单次测量：单次测量时不确定度单次测量时不确定度A类分量，无法考虑，合成不类分量，无法考虑，合成不确定度只考虑确定度只考虑B类分量类分量。即：。即：BBcUUU2用用025mm的一级千分尺测钢球的直径的一级千分尺测钢球的直径D，6次数据为：次数据为：D1=3.121mm， D2=3.128mm， D3=3.125mm， D4=3.123mm， D5=3.126mm， D6=3.124mm写出完整的实验结果。写出完整的实验结果。解：解： 求算术平均值求算术平均值 mmDDDDDDD1245.361654321 注：按数据处理的规则，在计算过程中平均值可以暂注：按

24、数据处理的规则，在计算过程中平均值可以暂时时多取一位多取一位有效数字，目的是防止计算误差扩大化。有效数字，目的是防止计算误差扩大化。例：例： 求求A类不确定度分量类不确定度分量DAu mmnnDDSuniiDA00099.0112 求求B类不确定度分量类不确定度分量 u查得该千分尺查得该千分尺mm004.0 仪仪所以：所以：mmuB0023.03004.03仪合成不确定度合成不确定度mmuuuBDAc002. 00023. 000099. 02222（有效数字（有效数字保留保留1位）位）（有效数字（有效数字多取多取1位）位）（有效数字（有效数字多取多取1位）位）完整结果表示：完整结果表示：%0

25、64.0%100124.3002.0ruD=（3.1240.002）mmP=68.3%注：注：测量测量结果结果的有效数字的有效数字与不确定度的末位对齐与不确定度的末位对齐2. 间接测量间接测量的数据处理：的数据处理：v间接测量量：间接测量量：yv直接测量量：直接测量量：x1, x2, , xk（1）最佳值最佳值：)x,x,x(fyk 21（2）不确定度）不确定度传播公式传播公式间接测量量间接测量量 y 的不确定度与各直接测量量的不确定度之间的关的不确定度与各直接测量量的不确定度之间的关系为：系为：称为传播系数。其中偏导数ixkiiyxfuxfui221%100)(yuuuyyyry单位附：偏导

26、数求法（附：偏导数求法（多元多元函数的微分学函数的微分学 ） 函数函数y=f(x1,x2,x3,-)，y为因变量，为因变量，xi(i=1,2,3,-)为自为自变量变量v当只有一个自变量时，即当只有一个自变量时，即y=f(x1)，称，称一元函数一元函数v当有两个（或两个以上）自变量时，即当有两个（或两个以上）自变量时，即y=f(x1,x2)，称，称多多元函数元函数 对于多元函数，对某一自变量求导，称为函数对于多元函数，对某一自变量求导，称为函数对该自变对该自变量的量的偏导数偏导数，记为，记为 ixf求多元函数关于某个自变量的偏导数，并不需要新的求多元函数关于某个自变量的偏导数，并不需要新的方法，

27、只需方法，只需将其它自变量看做常数将其它自变量看做常数即可，仍是利用一即可，仍是利用一元函数的求导法则和求导公式，元函数的求导法则和求导公式， 例如：对二元函数例如：对二元函数 z=x2sin2y 求偏导数：求偏导数：v对对x求偏导：求偏导： (将将y视为常数视为常数)v对对y求偏导：求偏导： (将将x视为常数视为常数)2xsin2yyf=xf= 2x2cos2y 试求体积试求体积V并表示多取一位实验结果。并表示多取一位实验结果。cmhcmd001.0316.5002.0421.3；32286.484316.5421.31416.34cmhdV求求V的不确定度：的不确定度：cmucmucmhc

28、mdhd001.0002.0001.0316.5002.0421.3；例：例：用千分尺测量圆柱体的体积用千分尺测量圆柱体的体积V ，已求得直径为：，已求得直径为：解：解：求求V：注：注：A A、 常数常数的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，目的是让的有效数字应比测量值的有效数字多取一位，目的是让常数取值的误差忽略不计。常数取值的误差忽略不计。B B：体积：体积V V的有效数字应符合有效数字运算法则。的有效数字应符合有效数字运算法则。根据不确定度传播公式：根据不确定度传播公式：3222222222222222206. 0001. 0)4421. 31416. 3(002. 0)4316. 5

29、421. 31416. 32(442cmududhuhVudVuuxfuhdhdVnixiyi实验结果表示：实验结果表示：%12.0%10086.4806.0)06.086.48(rucmVv人类从事科学实验的一个重要目的是：人类从事科学实验的一个重要目的是：由测量数据由测量数据总结出规律，提取相关的参数和信息总结出规律，提取相关的参数和信息，这就需要对，这就需要对实验数据进行处理实验数据进行处理v在基础物理实验中，常用到的有在基础物理实验中，常用到的有列表法列表法、作图法作图法、逐差法逐差法和和最小二乘法最小二乘法等等五五. .常用数据处理方法常用数据处理方法1、列表列表法（将测量数据按一定

30、形式和顺序列成表格）法（将测量数据按一定形式和顺序列成表格）常用于原始数据的记录或其它数据处理方法的基础常用于原始数据的记录或其它数据处理方法的基础要求要求：（：（1）简明简明，便于表示对应关系，处理数据方便。，便于表示对应关系，处理数据方便。 （2）写明表的写明表的序号序号和和名称名称，标明，标明物理量物理量、单位单位及及数量级数量级。 （3）表中所列数据应是正确反映结果的表中所列数据应是正确反映结果的有效数字有效数字。 （4）测量日期、说明和必要的实验条件记在表外。测量日期、说明和必要的实验条件记在表外。举例举例： 表表1 伏安法测伏安法测100 电阻对应数值表电阻对应数值表 2002/9

31、/5注：电压表量程注：电压表量程 7.5V 精度等级精度等级 1.0 ，电流表量程，电流表量程 50mA 精度等级精度等级 1.0A、要求（先给出实验数据表格）要求（先给出实验数据表格） (1)、根据各变量之间的变化规律，选择相应类型的根据各变量之间的变化规律，选择相应类型的坐标纸坐标纸。 (2)、正确选择正确选择坐标比例（以让曲线充满图纸为原则，不必通过零点）坐标比例（以让曲线充满图纸为原则，不必通过零点）。 (3)、写明写明图名图名、各坐标轴所代表的、各坐标轴所代表的物理量物理量、单位单位、数值的、数值的数量级数量级等。等。 (4)、数据描点要用数据描点要用“ ”等比较等比较明显的标识符号

32、明显的标识符号。不能用。不能用“.” (5)、对变化规律容易判断的曲线以对变化规律容易判断的曲线以平滑线平滑线连接，曲线不必通过每个实验点，连接，曲线不必通过每个实验点，各实验点应均匀分布在曲线两边各实验点应均匀分布在曲线两边；难以确定规律的实验可以用；难以确定规律的实验可以用折线折线连接。连接。图1 测 量1 0 0 欧 电 阻 的伏安特性曲线012345601020304050I/mAU/V图例：伏安特性曲线图例：伏安特性曲线2 2、作图作图法法（将实验数据依照自变量和因变量的关系做成曲线，（将实验数据依照自变量和因变量的关系做成曲线，以便反映两者的函数关系，寻找经验规律）以便反映两者的函

33、数关系，寻找经验规律） 通过作图可以判断各量的相互关系，特别是在还没有完全掌通过作图可以判断各量的相互关系，特别是在还没有完全掌握科学实验的规律和结果的情况下，或还没有找出适合的函数握科学实验的规律和结果的情况下，或还没有找出适合的函数表达式时，作图法是找出表达式时，作图法是找出函数关系式函数关系式并求得并求得经验公式经验公式的最常用的最常用的方法之一。如二极管的伏安特性曲线、弹簧振子振幅衰减规的方法之一。如二极管的伏安特性曲线、弹簧振子振幅衰减规律曲线等，都可从图上清楚地表示出来律曲线等，都可从图上清楚地表示出来 B. B. 应用应用 作图法的应用主要表现在以下两方面：作图法的应用主要表现在

34、以下两方面： (1) 判断各量的相互关系判断各量的相互关系 (2) 图上图上求未知量求未知量 图解法图解法或通过第三点求得求截距求斜率直线求解bxxyyk1212 线性函数线性函数未知量求法未知量求法 非线性非线性函数未知量求法函数未知量求法曲线改直曲线改直问题问题 y=axb形式，形式，a、b为常数为常数，将方程，将方程两边取对数两边取对数得到：得到：1gy=b1gx1ga在直角坐标纸上取在直角坐标纸上取lgy为纵坐标为纵坐标, ,1gx为横坐标为横坐标, ,得到一条直线得到一条直线, ,从而可以从而可以求出系数求出系数a和和b注：在拟合的直线注：在拟合的直线两端两端取点，取点，不取实验点不

35、取实验点yx11, yx 22, yxb 应用条件：应用条件： (1)、函数可以写成函数可以写成x的多项式形式的多项式形式，即：，即： y=a0+a1x+a2x2+a3x3实际上，由于测量精度的限制，实际上，由于测量精度的限制，3次以上逐差已很少应用次以上逐差已很少应用 (2)、自变量自变量x是是等间距变化等间距变化，即：，即： xi-xi-1 =c （式中式中c为一常数）为一常数） 3.3.逐差逐差法（略）法（略） 逐差法：将逐差法：将因变量因变量逐项相减或按顺序分两组对应项相减，至逐项相减或按顺序分两组对应项相减，至逐差值趋于某一常数逐差值趋于某一常数，然后将差值作为，然后将差值作为因变量

36、的多次测量值因变量的多次测量值进行数据处理（进行数据处理（求算术平均值求算术平均值）的方法）的方法 例：对例：对 y = f(x)，测得测量列，测得测量列xi（i=1,2,n）、yi（i=1,2,n）逐差法的作用和应用：逐差法的作用和应用：（1）逐项逐项逐差逐差 - 判断函数关系判断函数关系1iiiyyyxaay10若一次逐差：若一次逐差：基本相等，则基本相等，则 （线性关系）（线性关系） 2210 xaxaay yyyiiii1()若二次逐差：若二次逐差： 基本相等，则基本相等，则可依次类推，进行其它判断可依次类推，进行其它判断（二次多项式）（二次多项式）例例: 求弹簧的倔强系数，根据虎克定

37、律求弹簧的倔强系数，根据虎克定律F=kx，等间距改变外力等间距改变外力Fi，可以相，可以相应地得到不同的弹簧的伸长量应地得到不同的弹簧的伸长量xi，测量测量6次数据次数据。555165645342312xxxxxxxxxxxxxxi 隔隔3 3项（项（n/2n/2）逐差：逐差：每一个数据都能用上每一个数据都能用上，可取，可取3)()()(33625143xxxxxxxxk)3(33FFFFiiixFk33 （2） 隔项隔项逐差逐差求物理量求物理量 最后，根据最后，根据 可求得倔强系数可求得倔强系数逐项逐项逐差：逐差：没有充分利用数据没有充分利用数据，不可取，不可取逐差法优点：逐差法优点：v能能

38、充分充分并均匀地并均匀地利用数据利用数据v能能消除一些定值系统误差消除一些定值系统误差（如：（如：拉伸法测量拉伸法测量钢丝钢丝的倔的倔强系数强系数k，其中包含了钢丝由弯曲变直造成的伸长，其中包含了钢丝由弯曲变直造成的伸长，必然存在系统误差必然存在系统误差-仪器零点误差）仪器零点误差）v与作图法相比，与作图法相比，没有没有人为拟合的人为拟合的随意性随意性v与最小二乘法相比，计算与最小二乘法相比，计算简单简单一些，但结果相近一些，但结果相近4. 4. 最小二乘最小二乘法法 作图法作图法的优点是形的优点是形象直观，但在定量关系象直观，但在定量关系的而研究上不够严谨，的而研究上不够严谨，拟合出来的曲线

39、带有某拟合出来的曲线带有某种人为的种人为的随机性随机性，同样，同样的实验数据可能拟合出的实验数据可能拟合出不同的参数值；不同的参数值； “最小二乘法最小二乘法”是一种从实验数据中提取经验规律是一种从实验数据中提取经验规律比较严格比较严格的方法；的方法；建立在建立在数理统计理论基础上数理统计理论基础上的一个数学原理，它被的一个数学原理，它被广泛地应用在数据处理过程中广泛地应用在数据处理过程中(如实验如实验曲线的拟合曲线的拟合、经验公式经验公式的确定的确定) 一般情况下，最小二乘法可以用于一般情况下，最小二乘法可以用于线性函数线性函数，也可以，也可以用于用于非线性函数非线性函数，由于在测量技术中，

40、大量的问题是属于，由于在测量技术中，大量的问题是属于线性的或线性的或可以转换可以转换成线性函数，而非线性也可以在某一区成线性函数，而非线性也可以在某一区域内展成线性函数来处理，因此，我们主要讨论域内展成线性函数来处理，因此，我们主要讨论线性函数线性函数的最小二乘法的最小二乘法如何用最小二乘法进行如何用最小二乘法进行线性拟合线性拟合：bxay 在在等精度等精度条件下条件下测得测得 x1，x2xn和对应的和对应的 y1，y2yn ，根据测，根据测量数据可以得到一组观测方程：量数据可以得到一组观测方程：设已知函数形式为：设已知函数形式为：11bxay 22bxay nnbxay 观测方程个数大于未知

41、量的数目时，如何观测方程个数大于未知量的数目时，如何确定确定a和和b的最佳值的最佳值？(xi,yi)y=a0+b0 x应使各测量点离最佳曲线上相应点的应使各测量点离最佳曲线上相应点的y向距离向距离（白线白线）的残差平方和最小）的残差平方和最小（忽略（忽略x方向差异）。方向差异）。假定假定最佳方程最佳方程y=a0+b0 x，则残差，则残差00iiiiivyyyab x得：得：2002)(iiixbayv 2002iiixbay 再对其进行两边求和，得到：再对其进行两边求和，得到：依据依据最小二乘原理最小二乘原理（有极（有极值），值），一阶偏导数为一阶偏导数为0： 000202bavii 由此得出方程：由此得出方程： iiiiiiyxbnayxxbxa00200解方程组可得：解方程组可得： 2202220iiiiiiiiiiiiixnxyxnyxbxnxyxyxxa最小二乘原理最小二乘原理 是在满足各测量是在满足各测量残差平方和残差平方和 最小最小的条件的条件下下(残差残差 ，即测量值，即测量值-最佳值最佳值)，求求解出解出方程中的未知量为方程中的未知量为最佳值最佳值。 用这一原理处理数据的方法称为用这一原理处理数据的方法称为最小二乘法最小二乘法0iiiyy 2i 应用举例应用举例tbaR00Cba/2873. 079.7000解解得得：为确定电阻随温度变化的关系式，