流体力学第八章8--2讲.

1、 流体力学教案流体力学教案(第八章第八章 湍湍 流流 ) 第8-2 湍流平均运动方程和雷诺方程推导湍流平均运动方程和雷诺方程的基本思路是：(1)利用第二章确立的非定常粘性可压流体或不可压流体的基 本方程；(2)将湍流运动分解平均运动和脉动运动；(3)根据平均运算的法则，获得湍流平均运动方程，即雷诺方程。为方便起见，这里仅讨论不可压流体的情况，具体步骤如下：一、连续性方程0zwyvxu(8-6) 以 wwwvvvuuu,代入上式，有 0)()(zwyvxuzwyvxu(8-7) 对上式求平均，则有0zwyvxu(8-8) 将(8-7)式减去(8-8)式，得0zwyvxu(8-9) 上式各式表明，

2、不可压流体作湍流运动时，其平均速度、脉动速的散度均各自为零，又可写成:0 V(8-8-1) 0 V(8-9-1) 二、平均运动方程雷诺方程 这里仅讨论均匀不可压流体在没有质量力作用时的情况，N-S方程为： wzpzwwywvxwutwvypzvwyvvxvutvuxpzuwyuvxuutu222111(8-10) 利用连续性方程，则方程组(8-10)式的第一方程可改写为:uxpzuwyuvxuutu21(8-10-1) 将 wwwvvvuuu,代入式(8-10-1)取平均，并考虑到连续性方程得:zwuyvuxuuuxpzuwyuvxuutu21(8-11) 类同推导式(8-10)的第二、三式。

3、最后得到:zwwyvwxuwwzpzwwywvxwutwzwvyvvxuvvypzvwyvvxvutvzwuyvuxuuuxpzuwyuvxuutu )()()(1)()()(1)()()(1222(8-12) 式(8-12)就是平均流动所满足的运动方程。该方程首先有雷诺推导的，故称雷诺方程。 三、雷诺应力 从式(8-12)的右边，除了平均运动的粘性应力外，还出现了由于流动中存在脉动而产生的附加应，称之为湍流应力，也可用对称的二阶张量表示，具体表达式如下：222wwvwuvwuwvuvvuuppppppppppzzzyzxyzyyyxxzxyxx(8-13)式(8-13)所示的湍流应力也称雷诺

4、应力。 四、雷诺应力的物理意义 理解的基本思路是单位时间内通过单位面积之动量流，可看做作用在该面元上的应力。根据上述原理，可清楚地解释 yxp的物理意义。如图8.5所示， 图8.5 雷诺应力的解释考虑厚度为1其面积为ABCD的流体元量，由于湍流脉动，单位时间内从面元AB流进入体元的质量为 dxv，它所带入的x方向的动量流为 dxuv ，其时间平均值为 dxuv，这就是下部流体 (在y负方向一侧)通过AB面元对上部流体(在y正方向一侧)在x方向的作用力，即 uvpyx 上式中左端第一个下标仍表示面元的外法向。根据牛顿第三定律 yxyxpp，故有 uvpyx这就是说，雷诺应力实质上是由于湍流脉动所

5、引起的单位时间单位面积上的动量流的平均值，也就是脉动运动所产生的附加应力。 第8-3 湍流半经验理论 湍流半经验理论，在导出描写湍流运动宏观平均规律的时均方程后，依靠经验理论和相似理论等来闭合方程。1.普朗特湍流动量输送理论(混合长度理论)混合长度的基本思想是应用气体分子运动自由程的概念,把液体质点的运动比拟为气体分子的运动。 混合长度(l)的定义: 流体质点在横向流速作用下,与周围流体混合并交换动量以前所移动的距离 。 普朗特的混合长度理论认为,脉动运动过程中,流体微团在移动距离l之前,它还能保持原有的一切流动特性,而在此后,它便与其它流体微团混合而改变了原有的流动特性。 根据上述理论可得如

6、下关系：dzudlwuvpzx(8-19)上式中具体推导省略，详情见p210的过程。另外，普朗特又假定 u和 w 同量级，即 wu ，并考虑到输送量 u，则有 dzudlwu或 dzudlcw(c为一比例常数) (8-20) 将上式代入式(8-19)，可得dzuddzudlpzx2(8-21) 其中 22lcl。上式为混合长度表示的湍流应力公式。 二、卡曼(卡门)湍流相似理论 卡曼(卡门)湍流相似理论和普朗特的混合长度理论的主要区别在于前者采用了欧拉观点和量纲分析来研究湍流场，而后者则是用的拉格朗日观点。卡曼理论给予混合长度l以完全不同的物理含义，但给出的混合长度l与平均速度之间的关系，其结果

7、与普朗特理论相当接近。卡曼假设： (1)除了贴近固体壁的流体质点以外，脉动场的结构与分子 粘性无关； (2)各空间点邻域内，脉动场的结构是相似的，它们只以特 征尺度和特征速度来区别。且假设特征尺度 l度U只与平均速度的一阶(空间)导数和二阶导数有关。和特征速 根据量纲分析，有22/zuzul(8-22) 考虑到特征长度为正值，而平均速度的导数可正可负，故取其绝对值，并引入比例系数k，则上式为:22/zuzukl(8-23) 式中k无量纲常数，称卡曼常数。实验结果k=0.4(在大气中取0.35)，又特征速度U有下列关系: zulzuzuU/222(8-24)又因为 Uwu ,则有 2zuluwp

8、zx(8-25) 式中 22l cl，c为比例常数。考虑到雷诺应力与速度梯度符号相同，则有 dzuddzudlpzx2(8-26) 比较式(8-26)和(8-21)完全相同，但卡曼进一步给出了特征长度与平均速度场之间关系，则有: 22242/zuzukpzx(8-27) 第8-4 湍流能量方程 推导湍流能量方程是从雷诺方程出发来讨论湍流能方程。为方便起见，假设流体是不可压缩的，且在笛卡儿坐标系中讨论。 于是，雷诺方程可写成： jijjiiijijixuuxpFxuutu11(8-28)3 , 2 , 1; 3 , 2 , 1ji 一、湍流平均运动能量方程1.将平均运动方程式(8-28)乘以 i

9、u，得到jijjiiiiiijijixuuuxpuuFxuutu11) 2/() 2/(22(8-29) 2.利用不可压流体湍流的平均运动连续性方程0iixu0jjxu； (8-30) 3. 式(8-29)右端第二项可以把 iu放入微分号内，则相当于加了一项 0iixup,则有 iixup)(1 4. 式(8-29)右端第三项则可改写成 jijijijiijiijjijjiixuuuuuuuxxuuu5.这样，式(8-29)就可改写成如下形式:22ijjuxutjijijijijiijiijiiiixuuuxuuuuuxpuxuF)(111(8-31) 式(8-31)就是湍流平均运动动能方程的

10、微分形式。 6.为了便明每一项的物理意义，用一些简明符号来表示式(8-31)的各项，则 :2,222ijjmimuxutDtDEuE(1)(2)(3)iiuFDtDW(4),该项是平均运动在质量力作用下的做功率。jiijiijiiuuuuxpuxDtWD11 该项是平均运动在平均表面力(包括平均正压力、平均分子粘 性力和湍流应力)作用下单位质量流体团的做功率。利用牛顿粘性律，假设分子粘性应力与形变率成线性关系，以及湍流半经验理论假设雷诺应力与平均速度形变率的线性关系推广到普遍的三维情况，则有: ijjiijjijiijijjijiijxuxuKuuppxuxu(8-32) (5) 221121

11、1ijjiijijjijijijimxuxuxuxuxuD(8-32-1)和 tijjiijijjijijiijjiExuxuKxuuuxuuuxuuu2)(21)(121)(1(8-33) 式中 mD就是单位质量流体团，在单位时间内，由于分子粘性而引起的动能耗散。式中 tE项为湍流运动所持有。 tmmEDDtWDDtDWDtDE(8-31-0) 二、脉动动量方程和脉动动能方程a. 脉动动量方程 1.脉动动量方程的推导十分简单。在式(8-5)式启发下，将从 N-S方程中每个物理量表示成平均值与脉动值之和，当作 是描写湍流真实运动的动量方程。 2.将上述湍流真实运动的动量方程减去湍流平均运动的动

12、量 方程，则有脉动动量方程。 jijjiijijjijjxuuxpxuuxuuutu)(11(8-34) b. 脉动动能方程1.从脉动动量方程出发，推导过程及步骤与平均运动的动能方程 相同，经过一系列整理得微分形式的脉动动能方程:22ijjuxutjijijijiiijijijiixuuuxuuuuuxpux)(11211(8-35) 2.为了便明每一项的物理意义，用一些简明符号来表示式(8-35) 的各项，则:22ifuE(1)(2)(3)(4)22ijjfuxutDtDEiijijijiiuuuuxpuxDtWD211该项是脉动表面力(包括脉动压力、脉动分子粘性力和湍流应力)在脉动运动中对

13、单位质量流体的做功率之平均。类似于(8-32)式的讨论，并把分子粘性力的牛顿粘性定律应用于脉动运动，则有: 2ijjijixuxu 2211211ijjiijjijiijjiijfxuxuxuxuxuD(8-36) 上式被称作脉动动能耗散项，表示在湍流运动中，由于分子粘性力的涨落，将部分脉动动能转化为热能的耗散。 (5) tffEDDtWDDtDE(8-35-0) 式中 fE代表单位质量流体的脉动动能。在该式中清楚地说明 了不可压缩流体微团作湍流运动时，其脉动动能的改变，是由于脉动表面力(包括脉动压力、脉动分子粘性力和湍流应力)做功，脉动分子粘性力引起的脉动动能的耗散，以及附加项 tE项所引起

14、的。 的作用 三、变性能量 tE由上述可知， tE在平均运动动能(平动动能)变化中所占的部分与在脉动动能变化中所占的部分，数值相同而符号相反，因此它是平动动能和脉动动能这两种机械能相互转换时的桥梁。则 0tE时，平动动能减少，而脉动动能增加；即平动动能中有 tE部分转化为脉动动能，所以， tE就称为变性能量，是单位质量流体微团，在单位时间内由平动动能转化为脉动动能的部分。 四、雷诺数作为湍流判据的力学意义 湍流是否发展？可以通过分析湍流动能增加与否来判断。由脉动动能方程(8-35-0)： tffEDDtWDDtDE 从上可知造成湍流动能变化的原因有三种： (1) 变性能量 ;(2)湍能耗散;

15、(3)表面力做功率。 现分析表面力做功率，这一项可正可负。假如各脉动量乘积之平均值在空间分布是比较均匀的，即它的空间导数为零，或者流体的周界为静止的固体壁所包围，则这时对表面力做功率项进行体积分，根据奥高公式化为面积分，因其周界的法向分速为零，故表面力做功率为零。则(8-35-0)式可改写为： tffEDDtDE(8-37) 从式(8-37)可知， fD湍能耗散始终是负值， tE能量增加。所以，要使湍流动能增加,则必须有 变性能量总使tE大于 fD。反之，若 tE小于 fD，则湍能哀减。 若对有限体积内湍能变化的情况，就需对上式进行体积分，只有当比值大于1时，有限体积内的湍能才会增加。1dDd

16、Eft(8-38) 根据 tE和 fD的表达式: 221,ijjifijjitxuxuDxuuuE可以得到如下结论： (1)假设只有脉动速度 iu内皆有脉动速度的二次项，故值不变。 改变符号(i=1,2,3)，因的分子及分母(2) 假使将脉动速度 iu同乘以常数因子，则值也不变。 (3) 如只有平均速度 增大m倍，而脉动速度场不变，则由 tE和 fD表达式看来，这时 tE将增大m倍，而 fD不变，因此值也将增大m倍。也就是说，能量比与平均速度 3 ,2, 1iui3 , 2 , 1iui增大的倍数相同。所以平均速度能使湍流增强。 引入平均速度的特征值 0U，脉动速度的特征值 0u，特征长度L，则变性能量 tE和湍流能耗散项 fD02200020ffttDLuDELUuE(8-39) 式中 0tE和 0fD分