第06章 梁的复杂问题(2015-1版).

1、材料力学材料力学第六章第六章 梁的复杂问题梁的复杂问题6. .2 平面曲杆中的应力平面曲杆中的应力* *6. .1 其它平面弯曲构件的内力与变形其它平面弯曲构件的内力与变形6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心6. .5 连续梁连续梁* *6. .6 复合梁复合梁第六章第六章 梁的复杂问题梁的复杂问题6. .1 其它平面弯曲构件的内力与变形其它平面弯曲构件的内力与变形一、多跨静定梁一、多跨静定梁二、平面刚架二、平面刚架三、平面曲杆三、平面曲杆6. .1 其它平面弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和

2、变形一、多跨静定梁一、多跨静定梁多跨静定梁多跨静定梁跨数大于跨数大于 1 且所有支座反力均可由且所有支座反力均可由静力平衡方程求出的梁静力平衡方程求出的梁6. .1 其它平面弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和变形解：解：1. .求支反力求支反力取取AB段为研究对象段为研究对象2. .画剪力图和弯矩图画剪力图和弯矩图lllqql2ABCFAyFQBql2BqCBAFQB根据平衡条件，可求得根据平衡条件，可求得2QqlFFBAy FQM例例1 试试画图示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。画图示多跨静定梁的剪力图和弯矩图。ql/23ql/2ql2ql /22ql /22FAy6. .1 其它平面

3、弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和变形二、平面刚架二、平面刚架刚刚 架架由两根及以上杆件由两根及以上杆件刚性联接刚性联接起来的结构起来的结构平面刚架平面刚架各杆件的轴线在同一平面内的刚架各杆件的轴线在同一平面内的刚架刚刚 节节 点点受力后受力后杆件之间杆件之间夹角不变夹角不变的联接点的联接点6. .1 其它平面弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和变形刚节点刚节点6. .1 其它平面弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和变形铰节点铰节点6. .1 其它平面弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和变形二、平面刚架二、平面刚架刚刚 架架由两根及以上杆件刚性联接起来的结构由

4、两根及以上杆件刚性联接起来的结构平面刚架平面刚架各杆件的轴线在同一平面内的刚架各杆件的轴线在同一平面内的刚架刚刚 节节 点点受力后受力后杆件之间杆件之间夹角不变夹角不变的联接点的联接点6. .1 其它平面弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和变形二、平面刚架二、平面刚架内力及其符号规定：内力及其符号规定： 轴力轴力FN ：拉拉为为+ +，压压为为- - 剪力剪力FQ ：绕研究体绕研究体顺时针顺时针转为转为+ +，逆时针逆时针转为转为- - 弯矩弯矩 M ：不规定不规定+ +、- -内力图的画法：内力图的画法： 轴力和剪力轴力和剪力图图：画在刚架的任一侧，标明正负号：画在刚架的任一侧，标明

5、正负号 弯弯 矩矩 图：图：画在刚架的画在刚架的受压侧受压侧，不标正负号，不标正负号 ( (通常正值画在刚架的外侧通常正值画在刚架的外侧) ) ( (即即：人站在刚架内，按梁的方法画人站在刚架内，按梁的方法画) )6. .1 其它平面弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和变形解：解：1. .求支反力求支反力2. .画内力图画内力图qaaABCFCyFAyFAx2qaFFCyAy qaFAx qaqa /2M例例2 试画出图示刚架的内力图。试画出图示刚架的内力图。FNFQqa /2qa /22qa /226. .1 其它平面弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和变形三、平面曲杆三、平

6、面曲杆平面曲杆平面曲杆轴线为平面曲线的杆件轴线为平面曲线的杆件( (平面曲梁平面曲梁) )内力及其符号规定：内力及其符号规定： 轴力轴力FN ：拉拉为为+ +，压压为为- - 剪力剪力FQ ：绕研究体绕研究体顺时针顺时针转为转为+ +，逆时针逆时针转为转为- - 弯矩弯矩 M ：不规定不规定+ +、- -内力图的画法：内力图的画法：画在曲杆轴线的法线方向画在曲杆轴线的法线方向 轴力和剪力轴力和剪力图图：画在曲杆的任一侧，标明正负号：画在曲杆的任一侧，标明正负号 弯弯 矩矩 图：图：画在曲杆的画在曲杆的受压侧受压侧，不标正负号，不标正负号 ( (即即：人站在曲杆内，按梁的方法画人站在曲杆内，按梁

7、的方法画) ) ( (通常正值画在曲杆的外侧通常正值画在曲杆的外侧) )6. .1 其它平面弯曲构件的内力和变形其它平面弯曲构件的内力和变形解：解：1. .求横截面上的内力求横截面上的内力由截面法，取右段为研究对象由截面法，取右段为研究对象RFOABFmm Ont B: 0 nF0cosN FF: 0 tF0sinQ FF:0 CM0cos1 )( FRMmm cosNFF sinQFF )( cos1 FRM2. .画内力图画内力图FFF2FRC例例3 试求图示曲杆的内力，并画出曲杆的内力图。试求图示曲杆的内力，并画出曲杆的内力图。FNFQMFNFQM第六章第六章 梁的复杂问题梁的复杂问题6

8、. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲一、非对称弯曲的概念一、非对称弯曲的概念二、斜弯曲二、斜弯曲6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲一、非对称弯曲的概念一、非对称弯曲的概念FF纵向对称面纵向对称面F轴线轴线平面弯曲平面弯曲对称弯曲对称弯曲6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲一、非对称弯曲的概念一、非对称弯曲的概念非对称弯曲非对称弯曲的的两种情况两种情况：1. .梁梁虽有纵向对称面，但载荷不作用在该平面内；虽有纵向对称面，但载荷不作用在该平面内；2. .梁没有纵向对称面。梁没有纵向对称面。FFF纵向对称面纵向对称面F轴线轴线6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯

9、曲与斜弯曲yzxlFK.xyzFyz 二、斜弯曲二、斜弯曲1. .内力内力 将将F分解分解为为： 求矩形截面悬求矩形截面悬臂梁臂梁 x 截面上截面上 K点的应力和挠度点的应力和挠度Fz = Fsin 产生产生 xz 平面平面内的内的平面弯曲平面弯曲 Fy = Fcos 产生产生 xy 平面平面内的内的平面弯曲平面弯曲 FyFzFyFzx 截面上的弯矩截面上的弯矩： )(xlFM x 截面上的截面上的总弯矩总弯矩)(xlFMyz cos)(xlF cosM )(xlFMzy sin)(xlF sinM 6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲yzx.xyzMKMyMz 求矩形截面悬求矩形

10、截面悬二、斜弯曲二、斜弯曲1. .内力内力 将将F分解分解为为：臂梁臂梁 x 截面上截面上 K点的应力和挠度点的应力和挠度Fz = Fsin 产生产生 xz 平面平面内的内的平面弯曲平面弯曲 Fy = Fcos 产生产生 xy 平面平面内的内的平面弯曲平面弯曲 x 截面上的弯矩截面上的弯矩： )(xlFM x 截面上的截面上的总弯矩总弯矩)(xlFMyz cos)(xlF cosM )(xlFMzy sin)(xlF sinM 6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲2. .应力应力 ( (1) ) Fy单独作用单独作用时时 ( (2) ) Fz单独作用单独作用时时 zzIyM yIM

11、z cos yyIzM zIMy sin ( (3) ) Fy和和Fz同时作用同时作用时时 平面方程平面方程 zIyIMyz sincos 求矩形截面悬求矩形截面悬二、斜弯曲二、斜弯曲臂梁臂梁 x 截面上截面上 K点的应力和挠度点的应力和挠度yzx.xyzMKMyMz cosMMz sinMMy 6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲2. .应力应力 ( (1) ) Fy单独作用单独作用时时 ( (2) ) Fz单独作用单独作用时时 zzIyM yIMz cos yyIzM zIMy sin ( (3) ) Fy和和Fz同时作用同时作用时时平面方程平面方程 zIyIMyz sinco

12、sy zy zy zba c max t max中性轴中性轴 zIyIMyz sincos6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲y zy zy zba c max t max中性轴中性轴3. .中性轴位置中性轴位置 0sincos00 zIyIyz 结论结论1：中性轴通过横截面的形心中性轴通过横截面的形心 Fyz (y , z )00ba中性轴中性轴中性轴与中性轴与 z 轴的夹角轴的夹角： 00tanzy 当当Iy Iz 时时， ， 中性轴与载荷作用面不垂直中性轴与载荷作用面不垂直 ：0 tanyzII zIyIMyz sincos当当Iy = Iz 时时， = ， 中性轴与载荷作用

13、面垂直中性轴与载荷作用面垂直 6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲y zy zy zba c max t max中性轴中性轴4. .危险点位置危险点位置 Fyz 中性轴中性轴(y , z )00ab在离中性轴距离最远处在离中性轴距离最远处 zIyIMyz sincosFyz (y , z )00ba中性轴中性轴6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲 zIyIMyz sincosy zy zy zba c max t max中性轴中性轴5. .强度条件强度条件 max maxmaxmax|sin|cos|zIyIMyz yzWWM sincos| max Fyz (y ,

14、z )00ba中性轴中性轴6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲6. .变形变形( (挠度挠度) ) ( (1) ) Fy单独作用单独作用时时zyyEIxlxF632)( ( (2) ) Fz单独作用单独作用时时yzzEIxlxF632)( zIExlFx cos632)( yIExlFx sin632)( yzxlFK.xyzFyz FyFzFyFz6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲6. .变形变形( (挠度挠度) ) ( (1) ) Fy单独作用单独作用时时zyyEIxlxF632)( ( (2) ) Fz单独作用单独作用时时yzzEIxlxF632)( ( (3)

15、 ) Fy和和Fz同时作用同时作用时时 zIExlFx cos632)( yIExlFx sin632)( 22222sincos63yzIIExlFx )(22zy Fyz z yFyFz中性轴中性轴6. .3 非对称弯曲与斜弯曲非对称弯曲与斜弯曲总挠度总挠度 与与 y 轴的夹角轴的夹角： tan结论结论2：挠曲线为挠曲线为平面曲线平面曲线 结论结论3：挠曲线所在的平面垂直于挠曲线所在的平面垂直于中性轴中性轴当当 Iy = Iz 时时， = 当当 Iy Iz 时，时， yz tanyzII tantanyzII6. .变形变形( (挠度挠度) ) ( (1) ) Fy单独作用单独作用时时zy

16、yEIxlxF632)( ( (2) ) Fz单独作用单独作用时时yzzEIxlxF632)( zIExlFx cos632)( yIExlFx sin632)( Fyz z yFyFz中性轴中性轴平面弯曲平面弯曲； 斜弯曲斜弯曲。 第六章第六章 梁的复杂问题梁的复杂问题6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力开口薄壁杆件的弯曲切应力 与弯曲中心与弯曲中心一、开口薄壁杆件弯曲的概念一、开口薄壁杆件弯曲的概念二、开口薄壁杆件的弯曲切应力二、开口薄壁杆件的弯曲切应力三、开口薄壁杆件的弯曲中心三、开口薄壁杆件的弯曲中心6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心且且载

17、荷作用在载荷作用在纵向对称面纵向对称面内内 杆件只发生杆件只发生弯曲变形弯曲变形 yzF纵向对称面纵向对称面轴线轴线且且载荷作用在载荷作用在形心主惯性平面形心主惯性平面内内 杆件既发生杆件既发生弯曲变形弯曲变形 yzFO一、一、开口薄壁杆件弯曲的概念开口薄壁杆件弯曲的概念 又发生又发生扭转变形扭转变形 不发生不发生扭转变形扭转变形 载荷作用线通过横截面形心载荷作用线通过横截面形心 载荷作用线通过横截面形心载荷作用线通过横截面形心 有纵向对称面的杆件有纵向对称面的杆件 开口薄壁杆件开口薄壁杆件 6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心yzFAO载荷作用在某

18、一载荷作用在某一特定特定的的 A点点杆件将杆件将只发生只发生弯曲变形弯曲变形 弯曲中心弯曲中心横向力作用在开口薄壁杆件的横截面内横向力作用在开口薄壁杆件的横截面内 使得杆件使得杆件只发生只发生弯曲变形、弯曲变形、不发生不发生扭转扭转 弯曲中心是形心主惯性平面弯曲中心是形心主惯性平面 ( (形心主惯轴形心主惯轴) )上的点上的点一、一、开口薄壁杆件弯曲的概念开口薄壁杆件弯曲的概念 不发生不发生扭转变形扭转变形且与且与形心主惯性平面形心主惯性平面平行时平行时变形的变形的特定点特定点 6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心yzFAO载荷作用在某一载荷作用在某

19、一特定特定的的 A点点杆件将杆件将只发生只发生弯曲变形弯曲变形 弯曲中心弯曲中心横向力作用在开口薄壁杆件的横截面内横向力作用在开口薄壁杆件的横截面内 使得杆件使得杆件只发生只发生弯曲变形、弯曲变形、不发生不发生扭转扭转 开口薄壁杆件抗扭刚度较小开口薄壁杆件抗扭刚度较小 ，应避免发生扭转变形，应避免发生扭转变形一、一、开口薄壁杆件弯曲的概念开口薄壁杆件弯曲的概念 不发生不发生扭转变形扭转变形且与且与形心主惯性平面形心主惯性平面平行时平行时变形的变形的特定点特定点 6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心弯曲正应力：弯曲正应力： zIMy 设：设：横向力横向

20、力F 通过弯曲中心，通过弯曲中心， 且且平行于平行于形心主惯性平面。形心主惯性平面。1. .假设假设: ( (1) ) 切应力沿壁厚均匀分布切应力沿壁厚均匀分布( (2) ) 切应力方向与截面周边相切切应力方向与截面周边相切 二、二、开口薄壁杆件的弯曲切应力开口薄壁杆件的弯曲切应力yFzxt6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心2. .公式推导公式推导 abcd FN1FN2取微元体取微元体abcd 为研究对象为研究对象 :0 xF0d2N1N xtFF yFzxtdxxabcd *d11NAAF *dAzAIMyzzIMS* 二、二、开口薄壁杆件的弯

21、曲切应力开口薄壁杆件的弯曲切应力yFcb zA* Q *dAzAyIM6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心由由切应力互等定理切应力互等定理: tISFzz*Q tISxMzz*dd tISFzz*Q zzIMSF*1N zzISMMF*2Nd)( 代入上式，得到代入上式，得到 abcd FN1FN2yFzxtyFcb zA* Qdxxabcd 2. .公式推导公式推导 取微元体取微元体abcd 为研究对象为研究对象 二、二、开口薄壁杆件的弯曲切应力开口薄壁杆件的弯曲切应力:0 xF0d2N1N xtFF 6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心

22、开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心设：设： y 轴和轴和 z 轴为轴为形心主惯性轴形心主惯性轴 FQ 平行于平行于 y 轴轴三、三、开口薄壁杆件的弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲中心yFz dAeCrQ 对于对于 z 轴上任意一点轴上任意一点C 由由合力矩定理合力矩定理：eFArA Qd 故故 AArFed 1Q 6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心tyzbh2h2dO 1tISFzz*1Q1 tIhtFz 2 Q zIhF2Q 解：解：1. .翼缘中的切应力翼缘中的切应力例例4 试求图示槽形截面的弯曲中心。试求图示槽形截面的弯曲中心。6. .4 开口薄壁

23、杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心解：解：1. .翼缘中的切应力翼缘中的切应力例例4 试求图示槽形截面的弯曲中心。试求图示槽形截面的弯曲中心。2. .翼缘和腹板中的合力翼缘和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 1d11QAAF bztIhF 0 Qd2 zIhtbF42Q yzO 1 2 1tyzbh2h2dO 1y 26. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心yzOF Q2FQ1FQ1解：解：1. .翼缘中的切应力翼缘中的切应力2. .翼缘和腹板中的合力翼缘和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 3. .弯

24、曲中心弯曲中心例例4 试求图示槽形截面的弯曲中心。试求图示槽形截面的弯曲中心。yzO 1 2 1 1d11QAAF zIhtbF42Q Q2QFF 6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心yzOFM=F hQ1QyzOF Q2FQ1FQ1解：解：1. .翼缘中的切应力翼缘中的切应力2. .翼缘和腹板中的合力翼缘和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 3. .弯曲中心弯曲中心例例4 试求图示槽形截面的弯曲中心。试求图示槽形截面的弯曲中心。 1d11QAAF zIhtbF42Q Q2QFF 6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件

25、的弯曲切应力与弯曲中心yzOFeQMeF Q例例4 试求图示槽形截面的弯曲中心。试求图示槽形截面的弯曲中心。解：解：1. .翼缘中的切应力翼缘中的切应力2. .翼缘和腹板中的合力翼缘和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 3. .弯曲中心弯曲中心yzOFM=F hQ1Q 1d11QAAF zIhtbF42Q Q2QFF hF1Q 6. .4 开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心开口薄壁杆件的弯曲切应力与弯曲中心yzOFeQQ1QFhFe zIthb422 结论结论：弯曲中心的位置仅与截面的弯曲中心的位置仅与截面的形状形状和和尺寸尺寸有关，有关，弯曲中心是截面的几何性质之一弯曲中心是截面

26、的几何性质之一 而与外力以及材料性能无关。而与外力以及材料性能无关。例例4 试求图示槽形截面的弯曲中心。试求图示槽形截面的弯曲中心。解：解：1. .翼缘中的切应力翼缘中的切应力2. .翼缘和腹板中的合力翼缘和腹板中的合力tISFzz*1Q1 zIhF2Q 3. .弯曲中心弯曲中心yzOFM=F hQ1Q 1d11QAAF zIhtbF42Q Q2QFF 第六章第六章 梁的复杂问题梁的复杂问题6. .6 复合梁复合梁一、直接分析法一、直接分析法二、转换截面法二、转换截面法6. .6 复合梁复合梁复合梁复合梁由由两种两种或或两种以上两种以上材料粘合而成的梁材料粘合而成的梁 6. .6 复合梁复合梁

27、一、直接分析法一、直接分析法FFaa实验表明：实验表明：复合梁在纯弯曲变形时，复合梁在纯弯曲变形时，平截面假设平截面假设和和单向受力单向受力假设假设仍然成立。仍然成立。h1h2E1A1E2A2b1b26. .6 复合梁复合梁一、直接分析法一、直接分析法根据根据平截面假设平截面假设，纵向线应变为，纵向线应变为 根据单向受力假设，当根据单向受力假设，当 p时，由时，由胡克定律胡克定律有有 ( (i = 1, 2) )h1h2E1A1E2A2b1b2 y iiE yEii zyyy在两材料交界处的在两材料交界处的纵向应变连续纵向应变连续，而，而纵向应力不连续纵向应力不连续。 6. .6 复合梁复合梁由由静力学静力学方面，有方面，有h1h2E1A1E2A2b1b2 yEii zy0dd2121N AAAAF 0dd2121 AAAyEAyE为了确定为了确定 z 轴的位置轴的位置，取取参考坐标系参考坐标系y1z1，则有，则有 01yyy z1(y )10y代入上式，得到代入上式，得到 0dd22110121121 )(AEAEyAyEAyEAA22111211021ddAEAEAyEAyEyAA 22112211011AEAESESEyzz 中性轴位置中性轴位