复变函数1英文

1、第一节 复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算三、小结与思考一、复数的概念1. 虚数单位虚数单位:.,称为虚数单位称为虚数单位引入一个新数引入一个新数为了解方程的需要为了解方程的需要i.1 :2在实数集中无解在实数集中无解方程方程实例实例 x对虚数单位的规定对虚数单位的规定: :; 1)1(2 i.)2(四则运算四则运算样的法则进行样的法则进行可以与实数在一起按同可以与实数在一起按同i虚数单位的特性虚数单位的特性:;1ii ; 12 i;23iiii ; 1224 iii;145iiii ; 1246 iii;347iiii ; 1448 iii则则是是正正整整数数一一般般地地，如如

2、果果,n, 14 ni,14iin , 124 ni.34iin 2.复数复数:. , 为复数为复数或或我们称我们称对于任意两实数对于任意两实数iyxzyixzyx , , 的实部和虚部的实部和虚部分别称为分别称为其中其中zyx).Im(),Re( zyzx 记作记作 ; , 0 , 0 称为纯虚数称为纯虚数时时当当iyzyx . ,0 , 0 xixzy我们把它看作实数我们把它看作实数时时当当 例例1 1复复数数取取何何值值时时实实数数,m )43(2mm.)2(;)1(纯虚数纯虚数实数实数是是imm)65(2 解解令令, 432 mmx, 652 mmy, 0,)1( y则则如如果果复复数

3、数是是实实数数. 160652 mmmm或或知知由由, 00,)2( yx且且则则如果复数是纯虚数如果复数是纯虚数. 140432 mmmm或或知知由由.10应舍去应舍去知知但由但由 my. 4 m即只有即只有 两复数相等两复数相等当且仅当当且仅当它们的实部和虚它们的实部和虚部分别相等部分别相等. 复数复数 z 等于等于0当且仅当当且仅当它的实部和虚部它的实部和虚部同时等于同时等于0.说明说明 两个数如果都是实数两个数如果都是实数,可以比较它们的可以比较它们的大小大小, 如果不全是实数如果不全是实数, 就不能比较大小就不能比较大小, 也就也就是说是说, 复数不能比较大小复数不能比较大小.二、复

4、数的代数运算, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数1. 两复数的和两复数的和:).()(212121yyixxzz 2. 两复数的积两复数的积:).()(2112212121yxyxiyyxxzz 3. 两复数的商两复数的商:.222221122222212121yxyxyxiyxyyxxzz 4. 共轭复数共轭复数: 实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数个复数称为共轭复数. . , zz 共轭的复数记为共轭的复数记为与与. , iyxziyxz 则则若若例例2 2.的积的积与与计算共轭复数计算共轭复数yixyix 解解)(yi

5、xyix 22)(yix .22yx .,的积是一个实数的积是一个实数两个共轭复数两个共轭复数zz结论：5. 共轭复数的性质共轭复数的性质:;)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式证明略以上各式证明略.例例3 3 . 的形式的形式将下列复数表示为将下列复数表示为iyx .11)2(;11)1(7iiiiii 解解ii 11)1()1)(1()1(2iii 2)1(2i , i 77)(11iii . i iiii 11)2(iiii)1()1(22 ii 1212

6、)1)(21(ii .2123i 例例4 4解解.112 iiii计算计算iiiiiiiii )1)(1()1)(2(112iiiii 12222ii 231)2)(2()2)(31(iiii 222)2(362iiii .1i 例例5 解解,43,55 21iziz 设设. 2121 zzzz与与求求iizz435521 )43)(43()43)(55(iiii 25)2015()2015(i .5157i 21 zz.5157i 例例6 解解,131 iiiz 设设.)Im(),Re(zzzz 与与求求iiiz 131 )1)(1()1(3 iiiiiii ,2123i ,21)Im(,2

7、3)Re( zz 22)Im()Re(zzzz 222123 .25 例例7 证证, 222111iyxziyxz 设两复数设两复数).Re(2 212121zzzzzz 证明证明 2121zzzz)()( )( 22112211iyxiyxiyxiyx )()(21122121yxyxiyyxx )()(21122121yxyxiyyxx )(22121yyxx ).Re(221zz ).Re(2 2121212121zzzzzzzzzz 或或例例8 解解.)2(;125)1( iii 化简化简 ,125)1(iyxi ,2)(12522xyiyxi 122, 522xyyx, 2, 3 yx ).23(125ii ,)2(yixi ,2121 ii,2121 ii. 2 ii 12, 022xyyx,21 yx三、小结与思考 本课学习了复数的有关概念、性质及其运本课学习了复数的有关概念、性质及其运算算. 重点掌握复数的运算重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点它是本节课的重点.思考题思考题复数为什么不能比较大小？复数为什么不能比较大小？思考题答案思考题答案 0, 和和观察复数观察复数 i , 0 i由复数的定义可知由复数的定义可知 , 0 )1( i若若 ,