数学建模优化模型

1、Max min优化是人类认识世界和改善自身的重要内容认识世界： 我们身边的许多事物都是大自然优胜劣汰的长期演化的产物，在长期的生存竞争中形成了优化的结构和运动特征。如 鱼的体形 鸟和蜜蜂的巢穴 动物的肌肉、植物的叶片的形状 蝶的飞行线路、鱼的游动轨迹等，从能量消耗、结构稳定和强度、效率等不同指标分析显现优化特征。因此，优化是深入认识世界的重要手段。自然界本身也在某些方面显现优化特征。最重要的是任意物体在宏观运动中都遵循“作用量最小”的自然规律。因此，我们观察到的自然现象如 球的弹起轨迹 水滴的下落时的形状改变 . 等一切运动现象都是优化的结果。当前，“作用量最小”原则是我们描述自然界运动的基本

2、工具。优化是人类改善自身的重要手段节能：对能源使用的优化；规划：对管理效率的优化；最优控制：对运动系统效率、性能等的优化；设计、工艺、结构的优化.总之，人类的发展本身就是一个优化的过程。例如，工艺的改善的定量分析归结为工艺的优化；设计的改进的定量分析归结为设计的优化等。在中学和大学微积分中，我们学习过求函数的极值和条件极值问题。这是我们对简单问题优化的基本数学工具。下面讨论利用这些工具建模的几个例子1 1、存贮、存贮模型模型 在商业活动中，需要批量订购商品。订购费用为其中c0是批量订购的一次性费用，c1是商品单价。批量越大，单位商品的费用越低。 01Pcc x商品购进后，有一个消化过程(销售或

3、使用)。消化不掉的需要存放，因此形成存贮费用。批量越大，每天存贮费用越高。生产活动有类似的情况。批量生产费用为其中c0是批量生产的生产准备费用，c1是产品单位成本。批量越大，单位产品的费用越低。01Pccx上述问题称为存贮问题。建立数学模型以确定最佳订货周期和批量，是存贮问题所要解决的问题。两种问题的数量关系完全相同，下面只讨论商品的批量订货问题。产品生产后，有一个消化过程(销售或使用)。消化不掉的需要存放，因此形成存贮费用。批量越大，每天存贮费用越高。不允许缺货的存贮模型模型假设1. 商品每天的需求量为常数 r；2. 一次性购货费为 c0, 每件商品单价c1，每天每件商品贮存费为 c2；3.

4、 T天订购一次(周期), 每次购买Q件，当贮存量 为零时，Q件商品立即到来(不允许缺货)；4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。问题：r, c0,c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。模型建立0tqTQrA=QT/2一个周期的总费用是购货费用和存贮费用的和购货费用: P=c0+c1Q无缺货假设： Q=rT平均每天的费用： 0212ccPRCc rrTTT存贮费用 : R=c2A=c2QT/2模型求解0dTdC022cTrc022c rQrTc模型分析1、最佳周期长度与商品价格无关；2、0,cT QQTc,2QTr,允许缺货的存贮模型原模型假设：贮存量降到零时Q件立即

5、生产出来(或立即到货)。若贮存量降到零时仍有需求r,但 不能立即到货，则出现缺货而造成损失。如果允许缺货，模型应如何修改？补充假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足T1rTQ 0qQrT1tAB一周期贮存费AcdttqcT2021)(一周期缺货费BcdttqcTT331)(2110123()22QTr T TCccQ cc一周期总费用rTQrTcrTQcTcTCQTC2)(2),(232210,0QCTC332212cccrccT323212ccccrcQ为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T , Q记作Q每天的费用为2 . 生猪的出售时机生猪的出售时机饲养场每天投入4元资

6、金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响?模型分析投入资金使生猪体重随时间增加，出售单价随时间减少，寻找最佳最佳出售出售时机时机( (决策变量决策变量) )，使利润利润最大最大(目标)。建模及求解生猪体重 w=80+rt出售单价 p=8-gt销售收入 R=pw资金投入 C=4t设生猪重量w，单价p，每天增加体重r，每天单价降低g，t天后出售，则届时利润：trtgttQ4)80)(8()(求 t 使Q(t)最大得到rggrt2404敏感性分析求出的生猪最佳出售时

7、间t与参数r和g有关。而这两个参数来源于我们的估计和预测。参数的变化对结果的影响的大小称为结果对参数的敏感性。敏感程度的定义：结果t对参数r的敏感度记为其意义是结果t的增加率和参数r增加率的比。 /( , )/t tS t rr r参数变化的敏感程度的大小反映出问题或模型的稳定性。由于在实际问题中，所采集的参数往往有误差,当敏感程度较大时，必须考虑参数的微小变化带来的影响。当参数变化较小时，可以利用微分作为增量的近似。这时，参数的敏感度计算的近似公式为/( , )/t tdt rS t rr rdr t生猪出售时机问题的解 rggrt2404当r=2，g=0.1时，( , )3dt rS t

8、rdr t即如果生猪每天体重增加1%，则出售时间延迟3%。例3：森林救火当森林失火时，接到报警的消防队需要派出消防队员前去救火。派多少人合适呢？模型分析以森林失火造成的损失大小作为目标来优化救火人数。损失包括两部分： 1、因扑火不及，烧掉林木而造成的损失； 2、因派出消防队员而产生的支出。目标：总费用最少。由于地形、风力等的不确定，需要简化问题由于地形、风力等的不确定，需要简化问题。模型假设：1、0tt1, 过火面积B(t)的导数dB/dt 与 t成正比，系数 (火势蔓延速度)2、t1tt2, 降为-x (为队员的平均灭火速度)3、过火损失与过火面积B(t2)成正比，系数c1 (烧毁单位面积损

9、失费) 4、每个队员的单位时间灭火费用c2, 一次性费用c3森林救火假设1的解释：假设1基于以下简化假设：火源向周围匀速蔓延，这样，到t时刻，森林过火区域为B(t)=(vt)2。面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.比例系数称为蔓延率。森林救火dtdBb0t1t假设1假设2t2xxbtt12,1tbxttt112220( )tdBB tdtdt)(222212212xttbtxcttxcxftBcxf31222211)()(),()(假设3、4模型建立森林救火目标函数总费用)()()(21xfxfxC222111121322()ctctct xc xxx模型求解求 x使 C(x)最

10、小0dxdC231221122ctctcxdtdBb0t1t2tx森林救火231221122ctctcx结果解释 / :火势不继续蔓延的最少救火人员数c1烧毁单位面积损失费, c2每个队员单位时间灭火费, c3每个队员一次性费用, t1开始救火时刻, 火势蔓延速度, 每个队员平均灭火速度. c2 x c1, t1, x c3 , x 为什么?森林救火例4： 冰山运输背景 波斯湾地区水资源贫乏，淡水主要靠海水淡化，淡化海水的成本为每立方米0.1英镑。 专家建议从9600千米远的南极用拖船运送冰山，取代淡化海水。 从经济角度研究冰山运输的可行性。建模数据准备1. 日租金和最大运量船 型小 中 大日

11、租金(英镑) 最大运量(米3)4.06.28.05 105106107 冰山运输2. 燃料消耗(英镑/千米)3. 融化速率(米/天)与南极距离 (千米)船速(千米/小时) 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6冰山体积(米3)船速(千米/小时) 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 冰山运输建模目的选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立米水的费用最低，并与淡化海水的费用比较。模型假设 航行过程中船速不变，总距离9600千米 冰山呈球形，球面各点融化速率相同到达目

12、的地后，每立方米冰可融化0.85立方米水 冰山运输建模分析目的地水体积运输过程融化规律总费用目的地冰体积初始冰山体积燃料消耗租金船型, 船速船型船型, 船速船型,船速决策变量：船速，船型目标：每立方水的费用如何从离散数据中挖掘出有用的信息？ 冰山运输4000),1 (40000),1 (21dbuadbudar4 . 0, 2 . 0,105 . 6251baa模型建立1. 冰山融化规律 船速u (千米/小时)与南极距离d(千米)融化速率r(米/天）r是 u 的线性函数；d4000时u与d无关.utd24航行航行 t 天天utuuttuurt61000),4 . 01 (2 . 0610000

13、,)4 . 01 (1056. 13第t天融化速率 0 1000 4000135 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6urd 冰山运输模型建立冰山体积变化规律 tkktrRR10冰山初始半径R0，航行t天时半径冰山初始体积30034RV334ttRVt天时体积总航行天数313004334),(tkkrVtVuV选定u,V0, 航行t天时冰山体积313004334),(TttrVVuV到达目的地时冰山体积uuT400249600 冰山运输1, 6, 3 . 0321ccc14334log)6(2 . 7),()log(24),(3130103010210tkkrVuuc

14、tVuVcucutVuq),)(log(310211cVcucq2. 燃料消耗 105 106 107135 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8Vuq1燃料消耗数据 q1(英镑/千米)q1对u线性, 对log10V线性选定u,V0, 航行第t天燃料消耗 q (英镑/天)燃料消耗总费用TttVuqVuQ100),(),(模型建立 冰山运输3. 运送每立方米水费用 冰山初始体积V0的日租金 f(V0)(英镑)uT400航行天数总燃料消耗费用拖船租金费用uVfVuR400)(),(00冰山运输总费用),(),(),(000VuQVuRVuS1433

15、4log)6(2 . 7),(31301010tkkTtrVuuVuQ模型建立 冰山运输模型求解选择船型和船速，使冰山到达目的地后每立方米水的费用最低求 u,V0使Y(u,V0)最小u=45( (千米千米/ /小时小时), ), V0= 10 107 7 ( (米米3 3) )， Y(u,V0)最小最小V0只能取离散值经验公式很粗糙33.544.551070.07230.06830.06490.06630.06580.22510.20130.18340.18420.179010678.90329.82206.21385.46474.5102V0u5 106取几组(V0,u)用枚举法计算0000

16、( ,)( ,)( ,)0.85 ( ,)R u VQ u VY u VV u V 冰山运输结果分析由于未考虑影响航行的种种不利因素，冰山到达目的地后实际体积会显著小于V(u,V0)。有关部门认为，只有当计算出的Y(u,V0)显著低于淡化海水的成本时，才考虑其可行性。大型拖船V0= 107 (米3)，船速 u=45(千米/小时), 冰山到达目的地后每立米水的费用 Y(u,V0)约0.065(英镑)虽然0.065英镑略低于淡化海水的成本0.1英镑，但是模型假设和构造非常简化与粗糙。 冰山运输有约束的优化问题的一般数学描述为 11min( ). .( )0.( )0( )0.( )0 xmlnfs

17、tgghhxRxxxxx当变量个数和约束条件的个数较多时，像处理简单优化模型那样随意建模很难把问题处理好。因此需要新的建模和求解思路。这种规模较大的优化问题称为规划问题。规划问题的建模特点分类研究规范化建模和计算分离优化模型的分类数学规划模型线性规划非线性规划整数规划和混合规划动态规划网络优化变分模型连续动态优化线性规划模型的数学结构线性规划模型的一般形式为11min. .Txc xstAxbAxbLxUmatlab中的线性规划函数只处理上述形式的模型，其他形式要先化为上述形式。求解线性规划问题的基本思路求解线性规划问题的基本方法是单纯形法。考虑一个简单的问题：127264Min zxx 50

18、21 xx48081221 xx10031x0,21xx满足约束条件的点集称为可行域，规划问题就是从可行域中寻找目标函数的最优解。约束条件5021 xx48081221 xx10031x0,21xxl1l2l3l4l5Z=0Z=-2400Z=-3600ABCD127264Min zxx 目标函数 z=c (常数) 等值线在B(20,30)点得到最优解目标函数和约束条件是线性函数 可行域为线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边形的某个顶点取得。 可行域奶制品厂用牛奶生产A1,A2两种奶制品。一桶牛奶可在甲类设备上用12小时加工成3公斤A1，或在乙类设备上用8小时加工成4公

19、斤A2。生产的A1,A2全部都能售出，且每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。加工厂每天能得到50桶牛奶，每天正式工人总的劳动时间为480小时，甲类设备每天至多加工100公斤A1，乙类设备的加工能力没有限制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大。例1：加工奶制品的生产计划1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶 480小时 至多加工100公斤A1 每天：制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可

20、聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？ 1桶牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利 243x1 获利 164 x2 原料供应 5021 xx劳动时间 48081221 xx加工能力 10031x决策变量 目标函数 216472xxzMax每天获利约束条件非负约束 0,21xx线性规划模型(LP)模型求解模型求解 软件实现软件实现 LINDOmax 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end OBJECT

21、IVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2DO RANGE (SENSITIVITY) ANALYSIS? 20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。 no结果解释结果解释 OBJECTIVE

22、FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2原料无剩余时间无剩余加工能力剩余40max 72x1+64x2st2）x1+x2503）12x1+8x24804）3x1100end三种资源“资源” 剩余为零的约束为紧约束

23、(有效约束) 结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 48.000000 3) 0.000000 2.000000 4) 40.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 2最优解下“资源”增加1单位时“效益”的增量 原料增加1单位, 利润增长48 时间增加1单位, 利润增长2 加工能力增长不影响利润

24、影子价格影子价格 35元可买到1桶牛奶，要买吗？35 48, 应该买！ 聘用临时工人付出的工资最多每小时几元？ 2元！RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

25、RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.000000 INFINITY 40.000000最优解不变时目标函数系数允许变化范围 DO RANGE(SENSITIVITY) ANALYSIS? x1系数范围(64,96) x2系数范围(48,72) A1获利增加到 30元/千克，应否改变生产计划 x1系数由由24 3=72增加为30 3=90，在允许范围内 不变！(约束条件不变)结果解释 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCH

26、ANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 72.000000 24.000000 8.000000 X2 64.000000 8.000000 16.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 50.000000 10.000000 6.666667 3 480.000000 53.333332 80.000000 4 100.

27、000000 INFINITY 40.000000影子价格有意义时约束右端的允许变化范围 原料最多增加10 时间最多增加53 35元可买到1桶牛奶，每天最多买多少？最多买10桶!(目标函数不变)例2 奶制品的生产销售计划 在例1条件下，为增加工厂的利润，开发奶制品深加工技术：用2小时和3元加工费，可将1公斤A1加工成0.8公斤高级奶制品B1,也可以将1公斤A2加工成0.75公斤高级奶制品B2。1公斤B1可获利44元， 1公斤B2可获利32元。试为该厂制定生产销售计划，使每天的净利润最大，并讨论以下问题：(1)若投资30元可增加供应1桶牛奶，投资3元可增加一小时工作时间，应否作这些投资？若每天投

28、资150元，可赚回多少？(2)每公斤高级奶制品的获利经常有10%的波动，这对制定的生产销售计划有没有影响？若每公斤B1的获利下降10%，计划应该变化吗？在例1基础上深加工1 桶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 制订生产计划，使每天净利润最大 30元可增加1桶牛奶，3元可增加1小时时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？50桶牛奶, 480小时 至多100

29、公斤A1 B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？1 桶牛奶 3千克千克A1 12小时小时 8小时小时 4公斤公斤A2 或或获利获利24元元/公斤公斤 获利获利16元元/公斤公斤 0.8千克千克B12小时小时,3元元1千克千克获利获利44元元/千克千克 0.75千克千克B22小时小时,3元元1千克千克获利获利32元元/千克千克 出售x1 千克 A1, x2 千克 A2， x3千克 B1, x4千克 B2原料原料供应供应 加工能力加工能力 决策变量 目标函数 利润利润约束条件非负约束非负约束 16,0 xx Lx5千克 A1加工B1， x6千克 A2加工B26543213332441

30、624xxxxxxzMax50436251xxxx48022)(2)(4656251xxxxxx10051 xx附加约束附加约束 5380 x.x64750 x.x 劳动劳动时间时间 运输问题生产、生活物资从若干供应点运送到一些需求点，怎样安排输送方案使运费最小，或利润最大？各种类型的货物装箱，由于受体积、重量等限制，如何搭配装载，使获利最高，或装箱数量最少？例1 自来水输送某城市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A,B,C三个水库供应。四个区每天必须得到的基本生活用水量分别为30，70，10，10千吨，此外 ，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨。由于水源紧

31、张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水付出的引水管理费不同（见表），其他管理费都是450元/千吨。各区用户按统一标准900元/千吨收费。如何分配用水量能获利最多？ 引水管理费引水管理费甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/其他费用:450元/千吨 应如何分配水库供水量，公司才能获利最多？ 若水库供水量都提高一倍，公司利润可增加到多少？ 元元/千吨千吨甲甲乙乙丙丙丁丁A160130220170B140130190150C190200230/引水管理费收入：900元/千吨 支出A：5

32、0B：60C：50甲：30；50乙：70；70丙：10；20丁：10；40水库供水量(千吨)小区基本用水量(千吨)小区额外用水量(千吨)(以天计)总供水量：160确定送水方案使利润最大问题分析A：50B：60C：50甲：甲：30；50乙：乙：70；70丙：丙：10；20丁：丁：10；40 总需求量(300)每个水库最大供水量都提高一倍每个水库最大供水量都提高一倍利润 = 收入(900) 其它费用(450) 引水管理费利润利润(元元/千吨千吨)甲甲乙乙丙丙丁丁A290320230280B310320260300C260250220/33323124232221141312112202502603

33、00260320310280230320290 xxxxxxxxxxxZMax供应限制B, C 类似处理50:A14131211xxxx10014131211xxxx问题2 确定送水方案使利润最大需求约束可以不变例2 货机装运某架飞机有三个货舱：前舱、中舱和后舱。三个货舱所能装载货物的最大重量和最大体积都有限制(如表1)。并且为了保持飞机的平衡，三个货舱中实际装载货物的重量必须与其最大容许重量成比例。现有四类货物供该货机本次飞行装运，有关信息见表2.应如何安排装机使本次飞行获利最大？前舱前舱 中舱中舱 后舱后舱重量限制10 16 8体积限制6800 8700 5300 重量重量(T) 空间空间

34、(m3/T) 利润利润(元元/T)货物1 18 480 3100货物2 15 650 3800货物3 23 580 3500货物4 12 390 2850表 1表 2如何装运，使本次飞行获利最大？ 三个货舱最大载重(吨),最大容积(米3) 重量(吨)空间( 米3/吨) 利润(元/吨)货物1184803100货物2156503800货物3235803500货物4123902850三个货舱中实际载重必须与其最大载重成比例 前仓：前仓：10；6800中仓：中仓：16；8700后仓：后仓：8；5300飞机平衡决策变量 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量(吨)i=1,2,3,4, j=1,2,3

35、 (分别代表前、中、后仓)模型假设 每种货物可以分割到任意小；每种货物可以在一个或多个货舱中任意分布；多种货物可以混装，并保证不留空隙； 模型建立 货舱容积 目标函数(利润)约束条件 )(2850)(3500)(3800)(3100434241333231232221131211xxxxxxxxxxxxZMax680039058065048041312111xxxx870039058065048042322212xxxx530039058065048043332313xxxx货机装运模型建立 货物重量 1041312111xxxx1642322212xxxx843332313xxxx10；68

36、0016；87008；5300 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量决策变量约束条件平衡要求 81610433323134232221241312111xxxxxxxxxxxx货物供应 18131211xxx15232221xxx23333231xxx12434241xxx模型建立 10；680016；87008；5300 xij-第i 种货物装入第j 个货舱的重量 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 121515.8 VARIABLE VALUE REDUCED COST X11 0.000000 400.000000 X12 0.000000 57.894737

37、X13 0.000000 400.000000 X21 10.000000 0.000000 X22 0.000000 239.473679 X23 5.000000 0.000000 X31 0.000000 0.000000 X32 12.947369 0.000000 X33 3.000000 0.000000 X41 0.000000 650.000000 X42 3.052632 0.000000 X43 0.000000 650.000000 货物2：前仓10,后仓5； 货物3: 中仓13, 后仓3；货物4: 中仓3。模型求解 最大利润约121516元货物供应点货舱需求点平衡要求运

38、输问题运输问题的扩展 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。 小型 中型 大型 现有量钢材(吨) 1.5 3 5 600劳动时间(小时) 280 250 400 60000利润(万元) 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大。汽车生产与原油采购决策变量：每月生产小、中、大型汽车的数量分别为x1, x2, x3321432xxxzMax600535.1.321xxxts60000400250280321xxx0,321xxx汽车厂生产计划 模型建立 小型小型 中型中

39、型 大型大型 现有量现有量钢材钢材 1.5 3 5 600时间时间 280 250 400 60000利润利润 2 3 4 线性线性规划规划模型模型(LP)模型求解 3、 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2 ) 0 . 0 0 0 0 0 0 0

40、.731183 3 ) 0 . 0 0 0 0 0 0 0.003226结果为小数，怎结果为小数，怎么办？么办？1、舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与LP最优值632.2581相差不大。2、试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数值z，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？LINDO程序程序整数规划(Integer Programming,简记IP)“gin 3”表示表示“前前3个变量为个变量为整数整数”，等价于：，等价于：gin x1gin x2gin x3 IP 的最优解x1=64，x2=168，

41、x3=0，最优值z=632 max 2x1+3x2+4x3st1.5x1+3x2+5x3600280 x1+250 x2+400 x360000endgin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxx为非负整数321,xxx模型求解 IP 结果输出其中3个子模型应去掉

42、，然后逐一求解，比较目标函数值，再加上整数约束，得最优解：80, 0, 0321xxx0,80, 0321xxx80,80, 0321xxx0, 0,80321xxx0,80,80321xxx80, 0,80321xxx80,80,80321xxx0,321xxx方法1：分解为8个LP子模型 汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。321432xxxzMax600535 . 1.321xxxts60000400250280321xxxx1, ,x2, x3=0 或或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610LINDO中对中对0-1变量的限定：变量的限定

43、：int y1int y2int y3 方法2：引入0-1变量，化为整数规划 M为大的正数，可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 8

44、01 , 0,80,11111yyxMyx1 , 0,80,22222yyxMyx1 , 0,80,33333yyxMyx最优解同前 NLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法3：化为非线性规划 非线性规划(Non- Linear Programming，简记NLP) 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出的最优解时，才能得到正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 800)80(11xx0)80(22xx0)80(33xx例2 原油采购与加工 某公司用两种

45、原油(A和B)混合加工两种汽油(甲和乙)。甲、乙两种汽油含原油A的最低比例分别为50%和60%，每吨售价分别为4800元和5600元。该公司现有原油A和B的库存量分别为500吨和1000吨，还可以从市场上买到不超过1500吨的原油A。原油A的市场价为：购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨；购买量超过500吨但不超过1000吨时，超过500吨部分8000元/吨；购买量超过1000吨时，超过1000吨部分6000元/吨。该公司应该如何安排原油的采购和加工？应如何安排原油的采购和加工 ？ 市场上可买到不超过1500吨的原油A： 购买量不超过500吨时的单价为10000元/吨； 购买量超过5

46、00吨但不超过1000吨时，超过500吨的 部分8000元/吨； 购买量超过1000吨时，超过1000吨的部分6000元/吨。 售价4800元/吨 售价5600元/吨库存500吨 库存1000吨 汽油甲(A 50%) 原油A 原油B 汽油乙 (A 60%) 决策变量 目标函数问题分析 利润：销售汽油的收入 - 购买原油A的支出 难点：原油A的购价与购买量的关系较复杂)()(6 . 5)( 8 . 422122111xcxxxxzMax甲(A 50%) A B 乙(A 60%) 购买购买xx11x12x21x224.8千元/吨 5.6千元/吨原油A的购买量,原油A, B生产汽油甲,乙的数量c(x

47、) 购买原油A的支出利润(千元)c(x)如何表述？原油供应 约束条件xxx500121110002221 xx1500 x500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc x 500吨单价为10千元/吨； 500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨；1000吨 x 1500吨，超过1000吨的6千元/吨。 目标函数购买x x11x12x21x22A B 库存500吨 库存1000吨 目标函数中c(x)不是线性函数，是非线性规划； 对于用分段函数定义的c(x)，一般的非线性规划软件也难以输入和求解； 想办法将模型化简，用现成的软件求解

48、。 汽油含原油A的比例限制 5 . 0211111 xxx6 . 0221212 xxx2111xx 221232xx 约束条件甲甲(A 50%) A B 乙乙(A 60%) x11x12x21x22x1 , x2 , x3 以价格10, 8, 6(千元/吨)采购A的吨数目标函数 只有当以10千元/吨的价格购买x1=500(吨)时，才能以8千元/吨的价格购买x2方法1 )6810()( 6 . 5)( 8 . 432122122111xxxxxxxzMax0)500(32xx500,0321xxx非线性规划模型，可以用LINGO求解模型求解 500吨 x 1000吨，超过500吨的8千元/吨增

49、加约束增加约束x= x1+x2+x3, c(x) = 10 x1+8x2+6x3 方法1：LINGO求解Model:Max= 4.8*x11 + 4.8*x21 + 5.6*x12 + 5.6*x22 - 10*x1 - 8*x2 - 6*x3;x11+x12 x + 500;x21+x22 0; 2*x12 - 3*x22 0;x=x1+x2+x3; (x1 - 500) * x2=0; (x2 - 500) * x3=0; x1 500;x2 500;x3 0;x11 0;x12 0;x21 0;x22 0;x1 0;x2 0;x3 0;end Objective value: 4800.

50、000Variable Value Reduced CostX 1 1 5 0 0 . 0 0 0 0 0.0000000E+00X 2 1 5 0 0 . 0 0 0 0 0.0000000E+00X 1 2 0 . 0 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 0.0000000E+00X 2 2 0 . 0 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 0.0000000E+00 X1 0.1021405E-13 10.00000 X2 0.0000000E+00 8.000000 X3 0.0000000E+00 6.000000 X 0 . 0 0 0 0 0 0 0 E + 0 0 0.0

51、000000E+00 LINGO得到的是局部最优解，还能得到更好的解吗？ 用库存的500吨原油A、500吨原油B生产汽油甲，不购买新的原油A，利润为4,800千元。 y1, y2 , y3=1 以价格10, 8, 6(千元/吨)采购A增增加加约约束束方法2 0-1线性规划模型，可用LINDO求解112500500yxy223500500yxy33500yx y1,y2,y3 =0或1 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 5000.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 2200.000

52、000 Y3 1.000000 1200.000000 X11 0.000000 0.800000 X21 0.000000 0.800000 X12 1500.000000 0.000000 X22 1000.000000 0.000000 X1 500.000000 0.000000 X2 500.000000 0.000000 X3 0.000000 0.400000 X 1000.000000 0.000000 购买1000吨原油A，与库存的500吨原油A和1000吨原油B一起，生产汽油乙，利润为5,000千元 。x1 , x2 , x3 以价格10, 8, 6(千元/吨)采购A的吨数

53、y=0 x=0 x0 y=1优于方法1的结果方法方法3 b1 x b2，x= z1b1+z2b2，z1+z2=1，z1, z2 0, c(x)= z1c(b1)+z2c(b2).c(x)x1200090005000050010001500b2 x b3，x= z2b2+z3b3， z2+z3=1，z2, z3 0, c(x)= z2c(b2)+z3c(b3). b3 x b4，x= z3b3+z4b4，z3+z4=1，z3, z4 0, c(x)= z3c(b3)+z4c(b4). 500)1(1000 300061000)(500 1000 8500)(0 10)(xxxxxxxc 直接处理

54、处理分段线性函数直接处理处理分段线性函数c(x) IP模型，模型，LINDO求求解，得到的结果与解，得到的结果与方法方法2相同相同. .处理分段线性函数，方法3更具一般性44332211bzbzbzbzx)()()()()(44332211bczbczbczbczxcbkxbk+1yk=1,否则,yk=03432321211,yzyyzyyzyz)4 , 3 , 2 , 1(0, 14321kzzzzzk10, 1321321或yyyyyy方法3 bkxbk+1 ,x= zkbk+z k+1 bk+1zk+zk+1 =1，zk, zk+1 0, c(x)= zkc(bk)+zk+1 c(bk+

55、1 ).c(x)x1200090005000050010001500b1 b2 b3 b4对于对于k=1,2,3分派问题接力队选拔和选课策略若干项任务分给一些候选人来完成，每人的专长不同，完成每项任务取得的效益或需要的资源就不同，如何分派任务使获得的总效益最大，或付出的总资源最少。若干种策略供选择，不同的策略得到的收益或付出的成本不同，各个策略之间有相互制约关系，如何在满足一定条件下作出决择，使得收益最大或成本最小。丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？如何选拔队员组成4100米混合泳接力队? 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2

56、118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”45名候选人的百米成绩穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。ciji=1i=2i=3i=4i=5j=166.857.2787067.4j=275.66667.874.271j=38766.484.669.683.8j=458.65359.457.262.4目标函数队员i参加泳姿j ，则记xij=1, 否则记xij=0 cij(秒)队员i 第j 种泳姿的百米成绩约束条件每人最多入选泳姿之一 4151jiij

57、ijxcZMin每种泳姿有且只有1人 411,1,5ijjxiL511,1,4ijixjL决策变量决策变量模型求解 MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 + +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 =1 x41+x42+x43+x44 =1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 x14+x24+x34+x44+x54 =1END INT 20 最优解：最优解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它变量为其它变量为0;成绩为成绩为253.2( (秒秒) )=413

58、”2 输入LINDO求解 甲甲乙乙丙丙丁丁戊戊蝶泳蝶泳106”857”2118”110”107”4仰泳仰泳115”6106”107”8114”2111”蛙泳蛙泳127”106”4124”6109”6123”8自由泳自由泳58”653”59”457”2102”4甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、丙蝶泳、丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. .丁蛙泳丁蛙泳c43 = =69.675.2，戊自由泳，戊自由泳c54= =62.4 57.5, , 方案是否调整？方案是否调整？ 乙乙 蝶泳、丙蝶泳、丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳、戊蛙泳、戊 自由泳自由泳IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO输出的敏感

59、性分析结果通常是没有意义的。最优解：最优解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成绩为成绩为417”7 c43, c54 的新数据重新输入模型，用的新数据重新输入模型，用LINDO求解求解 指派指派( (Assignment) )问题问题：每项任务有且只有一人承担，每人只能每项任务有且只有一人承担，每人只能承担一项承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大，效益不同，怎样分派使总效益最大. 讨论讨论甲甲 自由泳、乙自由泳、乙 蝶泳、丙蝶泳、丙 仰泳、丁仰泳、丁 蛙泳蛙泳. .原原方方案案为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 课号课号课名课名学分学分所属类别所属类别先修课要求

60、先修课要求1微积分微积分5数学数学2线性代数线性代数4数学数学3最优化最优化4数学；运筹学数学；运筹学微积分；微积分；线代线代4数据结构数据结构3数学；计算机数学；计算机计算机编程计算机编程5应用统计应用统计4数学；运筹学数学；运筹学微积分；微积分；线代线代6计算机模拟计算机模拟3计算机；计算机；运筹运筹计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程2计算机计算机8预测理论预测理论2运筹学运筹学应用统计应用统计9数学实验数学实验3运筹；运筹；计算机计算机微积分；微积分；线代线代选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？ 0-1规划模型 决策变量 目标函数 xi=1 选修课号i 的课程（xi=0