函数极限与连续性 - 22 函数的极限(下)

1、第二章第二章 函数与极限函数与极限2.2函数的极限（下）二、二、夹逼准则、夹逼准则、两个重要极限两个重要极限 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系三、三、无穷小、无穷大无穷小、无穷大一、一、 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理1. (海涅定理海涅定理)0lim( )f xAxx:nx0,nxx有定义,0(),nxxn lim()nnf xA为确定起见 , 仅讨论的情形.0 xx有()nf xxnx定理定理1.0lim( )xxf xA :nx0,()nnxxf x有定义,0() ,nxxn 且设0lim( ),xxf xA即0,0,当00,xx时有(

2、).f xA:nx0,()nnxxf x有定义 , 且0() ,nxxn 对上述 ,nN时, 有00,nxx于是当nN时().nf xA故lim()nnf xA可用反证法证明. (略)lim().nnf xA有证：证：当 xyA,N“ ”“ ”0 xO定理定理1.0lim( )xxf xA :nx0,()nnxxf x有定义0() ,nxxn 且lim().nnf xA有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx0,nxx0() ,nxxn 且不存在 .lim()nnf x使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使lim()nnf xlim()nnf x()

3、x ()nx 例例1. 证明01lim sinxx不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列12nxn及122nxn 有1limsinnnx1limsinnnx由定理 1 知不存在 .(1, 2,)n limsin20nnlimsin(2)12nn01limsinxx二、二、 夹逼准则、两个重要极限夹逼准则、两个重要极限1. 函数极限存在的夹逼准则定理定理2.0(,),xU x当时00lim( )lim ( )xxxxg xh xA( )( ) ,g xh x( )f x0lim( )xxf xA(0)xX()x ()x ()x 且( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )2. 两个重要极限sinc

4、os1xxx圆扇形AOB的面积0sinlim1xxx证证: 当即1sin2x 12x1tan2x亦即sintan(0)2xxxx(0,)2x时，(0)2x0limcos1,xx0sinlim1xxx显然有AOB 的面积AOD的面积11sincosxxx故有OBAx1DC(1)例例2. 求0tanlim.xxx解解: 0tanlimxxx0sin1limcosxxxx0sinlimxxx01limcosxx1例例3. 求0arcsinlim.xxx解解: 令arcsin ,tx则sin ,xt因此原式0limsinttt01lim tsintt120sinlimx2x2x122sinlimcos

5、nnRnRn例例4. 求201coslim.xxx解解: 原式 =2202sin2limxxx211212例例5. 已知圆内接正 n 边形面积为证明: 2lim.nnAR证证: limnnA/ n2sincosnAnRnn2R说明说明: 计算中注意利用( )0sin ( )lim1( )xxx(2)1lim(1)xxex证证: 当0 x 时, 设1,nxn则1(1)xx11(1)nn1(1)1nn1lim(1)1nnn limn11(1)1nn111ne11lim(1)nnn11lim(1) 1nnnn（）e1lim(1)xxex(P10-11)当x (1),xt 则,t 从而有1lim (1

6、)xxx (1)1lim(1)1ttt(1)lim()1tttt11lim(1)ttt11lim(1) (1)tttte故1lim(1)xxex说明说明: 此极限也可写为10lim(1)zzze时, 令例例6. 求1lim(1) .xxx解解: 令,tx 则1lim(1)xxx1lim(1)ttt1lim t1(1)tt1e说明说明 ：若利用( )( )1lim (1),( )xxex则 原式111lim(1)xxex limx例例7. 求11lim(sincos ) .xxxx解解: 原式 =2211lim(sincos ) xxxx22lim(1sin)xxx2(1sin)xe2sin2x

7、x12sinx总结：两个重要极限0sin(1)lim11(2)lim(1)e或10lim(1)e注注: 代表相同的表达式思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 )sin1.lim_ ;xxx12.lim sin_ ;xxx013.limsin_ ;xxx14.lim(1)_;nnn0101e三、三、 无穷小、无穷大无穷小、无穷大1. 无穷小无穷小当定义定义1 . 若0 xx时, 函数( )0 ,f x 则称函数( )f x0 xx例如 :1lim(1)0,xx函数 1x 当1x 时为无穷小;1lim0,xx函数 1xx 时为无穷小;1lim0,1xx 函数 11x当x )x (为时的无穷小

8、无穷小 .时为无穷小.)x (说明说明: 除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 ! 因为0lim( )0 xxf x0,0,当00 xx时, ( )0f x显然 C 只能是 0 !CC0 xx时, 函数( )0 ,f x 则称函数( )f x为0 xx定义定义1. 若则 时的无穷小无穷小 .其中 为0 xx时的无穷小量 . 定理定理 2 . ( 无穷小与函数极限的关系) (P56 Th9 )0lim( )xxf xA( )f xA,证证:0lim( )xxf xA0,0,当00 xx时,有( )f xA( )f xA0lim0 xx对自变量的其他变化过程类似可证 .2. 无穷大无穷大( )f

9、 xM定义定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式的 x , 总有则称函数( )f x当时为无穷大, 使对0lim ( )xxf x若在定义中将 式改为( )f xM则记作0()lim( )xxxf x 0()( lim( )xxxf x ()xX()x (lim( ).xf x (正数正数 X ) ,记作( ( ),f xM 总存在00 xx00 |-|x x注意注意:1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如例如, 函数( )cos ,(,)f xxx x (2 )fn()n 当2n但()02fn,x 所以时( )f x

10、不是无穷大 !cosy xxOxy例例 8. 证明11lim1xx 证证: 任给正数 M , 要使1,1Mx即11,xM只要取1,M则对满足01x的一切 x , 有11Mx所以11lim.1xx 11yx若 0lim( ),xxf x 则直线0 xx为曲线( )yf x的铅直渐近线 .铅直渐近线说明说明:xyO13. 无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系若( )f x为无穷大,1( )f x为无穷小 ;若( )f x为无穷小, 且( )0,f x 则1( )f x为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理3. 在自变量的同一变化过程中,说明说明:4

11、. 无穷小的运算法则无穷小的运算法则时, 有12min,定理定理4. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和 . 设0,10,当010 xx时 , 有20,当020 xx时 , 有取则当00 xx22因此0lim()0.xx这说明当0 xx时,为无穷小量 .0lim0,xx0lim0,xx|/ 2|/ 2说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，222111lim2nnnnnn1类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理5. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设01(,),xU x uM又设0lim0,xx即0,当02(,

12、)xU x时, 有M取12min,则当0(,)xU x时 , 就有uuMM故0lim0,xxu即u是0 xx时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .20,例例9. 求sinlim.xxx解解: sin1x 1lim0 xx利用定理 5 可知sinlim0.xxx说明说明 : y = 0 是sin xyx的渐近线 .Oxysin xyx5. 无穷小比较无穷小比较0,x 时23 , sinx xx都是无穷小,引例引例 .20lim3xxx0,20sinlimxxx, 0sinlim3xxx1,3但 可见无穷小趋于 0 的速度是多

13、样的 . lim0,kC定义定义3.lim0,若则称 是比 高阶高阶的无穷小,( )olim, 若若若lim1,若lim0,C或, 设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作例如例如 , 当()o0 x 时3x26x;sin xx;tan xxarcsin xx201coslimxxx202sin2limxx又如又如 ，24( )2x12故0 x 时1cosx是关于 x 的二阶无穷小,1cosx212x且例例10. 证明: 当0 x 时,11nx1.xn证证:0 limx1

14、1nx1xn0limx11nnx1xn11nnx21nnx10,x当时11nx1xnnnab ()ab1(na2nab1)nb1x分子例例11. 证明: 1 .xex证证:1,xye令ln(1),xy0,0,xy01limxxxe0limln(1)yyy1/01limln(1)yyy1lne11xexln(1) xx因此 即有等价关系: 说明说明: 上述证明过程也给出了等价关系: 101limln(1)yyy0,x 当时sinxtanxarcsinx,x,x,x1cosx21,2x11nx1, xn常用等价无穷小（P59） :ln(1) x1xe , xx注: 可以改为0 x ( )0 x性质性质1.( )o性质性质2 . 设,且lim存在 , 则limlim等价无穷小的性质 （P58）设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , (2) 和差代替规则和差代替规则: , 且若与不等价,则例如,30sinlim3xxxx0lim3xxx31则limlim.且注意时此结论未必成立！例如,0tan2sinlim11xxxx02lim12xxxx2(见下页例子