第一章离散时间信号与系统1ppt课件

1、第一章第一章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统学习目的学习目的 掌握序列的概念及其几种典型序列的定义掌握序列的概念及其几种典型序列的定义, ,掌握序掌握序列的根本运算，并会判别序列的周期性。列的根本运算，并会判别序列的周期性。 掌握线性掌握线性/ /移不变移不变/ /因果因果/ /稳定的离散时间系统的概稳定的离散时间系统的概念并会判别，掌握线性移不变系统及其因果性念并会判别，掌握线性移不变系统及其因果性/ /稳稳定性判别的充要条件。定性判别的充要条件。 了解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位了解常系数线性差分方程及其用迭代法求解单位抽样呼应。抽样呼应。 了解对延续时间信号的时域抽样，掌

2、握奈奎斯特了解对延续时间信号的时域抽样，掌握奈奎斯特抽样定理，了解抽样的恢复过程。抽样定理，了解抽样的恢复过程。1.1 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列 信号是传送信息的函数。针对信号的自变量和函数值的信号是传送信息的函数。针对信号的自变量和函数值的取值，可分为三种信号：取值，可分为三种信号：1 1延续时间信号延续时间信号-自变量取延续值，而函数值可延续可离散。当函自变量取延续值，而函数值可延续可离散。当函数值是延续的，又常称模拟信号，如语音信号、电视信号等。数值是延续的，又常称模拟信号，如语音信号、电视信号等。2 2离散时间信号离散时间信号-自变量取离散值，而函数值延续。自变量取离散

3、值，而函数值延续。3 3数字信号数字信号-自变量和函数值均取离散值。它是信号幅度离散自变量和函数值均取离散值。它是信号幅度离散化了的离散时间信号。化了的离散时间信号。离散时间信号是对模拟信号离散时间信号是对模拟信号 xa(t) xa(t) 进展等间进展等间隔采样获得的，采样间隔为隔采样获得的，采样间隔为T T，得到：，得到：nnTxtxanTta ),()(一、离散时间信号一、离散时间信号序列的概念序列的概念0txa(t)0 xa(nT)tT2T这里这里 n n 取整数。对于不同的取整数。对于不同的 n n 值，值，xa(nT) xa(nT) 是是一个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信一

4、个有序的数字序列，该数字序列就是离散时间信号。留意，这里的号。留意，这里的n n取整数，非整数时无定义，另取整数，非整数时无定义，另外，在数值上它等于信号的采样值，即外，在数值上它等于信号的采样值，即nnTxnxa ),()(,.9 , 8 ,7 , 3 , 2, 1.)(nx 离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形离散时间信号的表示方法：公式表示法、图形表示法、集合符号表示法，如表示法、集合符号表示法，如二、常用序列二、常用序列1. 1. 单位抽样序列单位抽样序列(n)(n)0, 00, 1)(nnn0 0 1/1/ t t (t)(t)0 0(1)(1)t t (t)(t)1 1n n0

5、 0 (n)(n)2. 2. 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n)u(n)0, 00, 1)(nnnut0u(t)10nu(n) (n)(n)与与u(n)u(n)之间的关系之间的关系) 1()()(nunun0)()(kknnu令令n-k=m，有，有nmmnu)()(3. 3. 矩形序列矩形序列RN(n)RN(n)nNnnRN其它, 010, 1)(N为矩形序列的长度0nR4(n)123)()()(NnununRN10)()(NmNmnnR4. 4. 实指数序列实指数序列)()(nuanxn，a为实数为实数0n0a1a-1或或-1a0,序列的幅值摆动序列的幅值摆动0n-1a00na0 时，序列右移

6、时，序列右移延迟延迟当当 n00 时，序列左移时，序列左移超前超前x(n)n0n0 x(n-2)4. 序列的翻转序列的翻转n0 x(-n)v x(-n)是是x(n)的翻转序列。的翻转序列。x(-n)是以纵是以纵轴轴n=0为对称轴将序列为对称轴将序列x(n)加以翻转。加以翻转。x(n)n05. 尺度变换尺度变换x(n)n0n0 x(2n)(mnx)(nx是是序列每隔序列每隔m m点取一点构成的，相当于点取一点构成的，相当于时间轴时间轴n n紧缩了紧缩了m m倍。倍。抽取序列抽取序列mnx)(nx是是序列相邻抽样序列相邻抽样点间补点间补m m1)1)个零值点，表示零值插值。个零值点，表示零值插值。

7、插值序列插值序列6. 6. 累加等效积分累加等效积分nkkxny)()(7. 7. 差分运算差分运算 前向差分前向差分 后向差分后向差分) 1()()()() 1()(nxnxnxnxnxnx8. 8. 卷积和卷积和mmnhmxnhnxny)()()()()(等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。等效为翻褶、移位、相乘和相加四个步骤。1.2 线性移不变系统线性移不变系统离散时间系统Tx(n)y(n)()(nxTny在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统。在时域离散系统中，最重要、最常用的是线性时不变系统。系统可定义为将输入序列系统可定义为将输入序列x(n)映射成输出序列映射成输出序

8、列y(n)的的独一变换或运算，并用独一变换或运算，并用T表示，即表示，即1.2.1 线性系统线性系统假设系统满足可加性与比例性假设系统满足可加性与比例性, ,那么称此系那么称此系统为离散时间线性系统。统为离散时间线性系统。),()(11nxTny)()(22nxTny)()()()()()(212121nbynaynxbTnxaTnbxnaxT其中其中a a、b b为恣意常数。为恣意常数。设设例是线性系统。是线性系统。)792sin()()(nnxny证：证：)792sin()()(11nnxny)792sin()()(22nnxny)792sin()()()()(22112211nnxanx

9、anyanya)792sin()()()()(22112211nnxanxanxanxaT)()()()(22112211nyanyanxanxaT所以，此系统是线性系统。所以，此系统是线性系统。例4)(3)(nxny所代表的系统不是线性系统。所代表的系统不是线性系统。证：证：4)(3)()(111nxnxTny4)(3)()(222nxnxTny)( 4)(3)(3)()(2122112211aanxanxanyanya但是但是4)()( 3)()(22112211nxanxanxanxaT)()()()(22112211nyanyanxanxaT所以，此系统不是线性系统。所以，此系统不是线

10、性系统。增量线性系统增量线性系统对增量线性系统，恣意两个输入的差是两个输对增量线性系统，恣意两个输入的差是两个输入差的线性函数入差的线性函数1.2.2 时不变系统移不变系统时不变系统移不变系统时不变系统Tx(n)y(n)()(nxTny假假设设那那么么)()(00nnxTnnyn0n0为恣意整数。为恣意整数。输入挪动恣意位如输入挪动恣意位如n0n0位，其输出也挪动这么多位，其输出也挪动这么多位，而幅值却坚持不变。位，而幅值却坚持不变。例bnaxny)()(证：证：bnnaxnnxT)()(00bnnaxnny)()(00)()(00nnxTnny所以，此系统是时不变系统。所以，此系统是时不变系

11、统。例)()(nnxny证：证：)()(00nnnxnnxT)()()(000nnxnnnny)()(00nnxTnny所以，此系统不是时不变系统。所以，此系统不是时不变系统。同理，可证明同理，可证明 所代表的所代表的系统不是时不变系统。系统不是时不变系统。)4sin()()(0nnxny1.2.3 线性时不变系统输入与输出线性时不变系统输入与输出之间的关系之间的关系T(n)h(n)一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，一个既满足叠加原理，又满足时不变条件的系统，被 称 为 线 性 时 不 变 系 统被 称 为 线 性 时 不 变 系 统 ( l i n e a r s h i f t

12、( l i n e a r s h i f t invariant,LTI)invariant,LTI)。线性时不变系统可用它的单位抽样。线性时不变系统可用它的单位抽样呼应来表征。呼应来表征。 单位取样呼应，也称单位冲激呼应，是指输入为单位取样呼应，也称单位冲激呼应，是指输入为单位冲激序列时系统的输出，普通用单位冲激序列时系统的输出，普通用h(n)h(n)来表示：来表示：)()()(nhnTny根据线性系统的叠加性质根据线性系统的叠加性质 )()()(mmnTmxnymmnhmxny)()()(又根据时不变性质又根据时不变性质设系统的输入用设系统的输入用x(n)x(n)表示，而表示，而mmnm

13、xnx)()()(因此，系统输出为因此，系统输出为 )()()()(mmnmxTnxTny通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号符号“* *表示：表示：)()()()()(nhnxmnhmxnym线性时不变系统的一个重要特性是它的线性时不变系统的一个重要特性是它的输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：输入与输出序列之间存在着线性卷积关系：v用单位取样呼应用单位取样呼应h(n)h(n)来描画系统来描画系统h(n)x(n)y(n)()()()()(nhnxmnhmxnym线性卷积的计算线性卷积的计算计算它们的卷积的步骤如下：计算它们的卷积的

14、步骤如下： (1) (1)折叠：先在哑变量坐标轴折叠：先在哑变量坐标轴k k上画出上画出x(k)x(k)和和h(k)h(k)，将，将h(k)h(k)以纵坐标为对称轴折叠成以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k) h(-k)。 (2) (2)移位：将移位：将h(-k)h(-k)移位移位n n，得，得h(n-k)h(n-k)。当。当n n为为正数时，右移正数时，右移n n；当；当n n为负数时，左移为负数时，左移n n。 (3) (3)相乘：将相乘：将h(n-k)h(n-k)和和x(k)x(k)的对应取样值相乘。的对应取样值相乘。 (4) (4)相加：把一切的乘积累加起来，即得相加：把一切的乘积累加起来

15、，即得y(n)y(n)。 )()()()()(nhnxmnhmxnym例例 知知x(n)和和h(n)分别为：分别为：和和a为常数，且为常数，且1a，试求，试求x(n)和和h(n)的线性卷积。的线性卷积。其它, 060,)(nanhn其它, 040, 1)(nnx 计算线性卷积时，普通要分几个区间分别计算线性卷积时，普通要分几个区间分别加以思索，下面举例阐明。加以思索，下面举例阐明。 解解 参看图，分段思索如下：参看图，分段思索如下：(1)对于对于n4，且，且n-60，即，即46，且，且n-64，即，即64，即，即n10。0nx(n)40nh(n)6n-6mh(n-m) n图讲解明图讲解明0mx

16、(m)40mh(m)6-6mh(0-m)06(1) n0n-6mh(n-m)n 0(2) 0n4n-6mh(n-m)n04(3) 4n6n-6mh(n-m)n04 6n-6mh(n-m)n06(4) 610n-6mh(n-m)n04(2) 0n4n-6mh(n-m)n04图讲解明图讲解明0)(0mxm时，当0)(04mnhmnm时，当aaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnmmnnm11111)()()(11)1(000(2)在在0n4区间上区间上n-6mh(n-m)n040mx(m)4(3)在在4n6区间上区间上n-6mh(n-m)n04 60mx(m)4aaaaaaaaamnhmxn

17、ynnnmmnmmnm1111)()()(141)41(404040(4)在在6n10区间上区间上n-6mh(n-m)n06100mx(m)4aaaaaaaaaamnhmxnynnnnmmnnnmmnnnm111)()()(741)14()6(4666综合以上结果，综合以上结果，y(n)可归纳如下：可归纳如下：nnaaanaaanaannynnnn10, 0106,164,140,110, 0)(74141卷积结果卷积结果y(n)如下图如下图 6ny(n)1004例例设有一线性时不变系统，其单位取样呼应为设有一线性时不变系统，其单位取样呼应为000)()(nnnuanhn10 a)()()(N

18、nununxmmnhmxny)()()(解：解：分段思索如下：分段思索如下：(1)对于对于n0；(2)对于对于0n N1；(3)对于对于nN。0) 1 (n0)(ny0)(0mxm时，当0)(00mnhmnm时，当(2)在在0nN 区间上区间上aaaaamnhmxnynnmmnnmmnnm111)()()(1000(3)在在nN 区间上区间上aaaaaamnhmxnyNNnNmmnNmmnNm111)()()(1101010(1)(2)(3)y(n)例例设有一线性时不变系统，其设有一线性时不变系统，其5 , 1 , 2)(2 , 4 , 1 , 3)(nhnx3142x(m)m0 1 2 3

19、4215h(m)m102 3 4)()()(nhnxny求mmnhmxny)()()(解：解：m0-2-3-4-11h(-m)623)0()0()0(hxy52113) 1 () 1 ()0()0() 1 (hxhxy24241153)2()2() 1 () 1 ()0()0()2(hxhxhxy10,22,13,24, 5, 6)(ny-3-11 20mh(1-m)-23-11 20mh(2-m)-2ny(n)-11 20-23 4 5 665241322103142x(m)m0 1 2 3 402413051248262413010221324561020515对有限长序列相卷，可用竖乘法

20、对有限长序列相卷，可用竖乘法注：注：1. 1. 各点要分别乘、分别加且不跨点进位；各点要分别乘、分别加且不跨点进位； 2. 2. 卷和结果的起始序号等于两序列的其实序卷和结果的起始序号等于两序列的其实序号之和。号之和。由上面几个例子的讨论可见，由上面几个例子的讨论可见，)()()()()(nhnxmnhmxnymh(n)x(n)y(n)设设x(n)和和h(n)两序列的长度分别是两序列的长度分别是N 和和M ，线性卷积后的序列长度为线性卷积后的序列长度为(N + M -1)。线性卷积满足以下运算规律：线性卷积满足以下运算规律：交换律交换律)()()()(nxnhnhnxh(n)x(n)y(n)x

21、(n)h(n)y(n)结合律结合律分配律分配律)()()()()()(2121nhnhnxnhnhnxh1(n)x(n)y(n)h2(n)h1(n) h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h2(n)+h1(n)+ h2(n)x(n)y(n)()()()()()()(2121nhnxnhnxnhnhnx)()()()()(nnxmnmxnxm)()()()()(000nnxmnnmxnnnxmv序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身：序列本身：v假设序列与一个移位的单位取样序列假设序列与一个移位的单位取样序列(n-(n-n0)n0)进展线性

22、卷积，就相当于将序列本身移位进展线性卷积，就相当于将序列本身移位n0n0：例h1(n)x(n)y(n)h2(n)()(nunx)4()()(1nnnh)()(2nuanhn1a求系统的输出求系统的输出y(n)y(n)。m(n)解：设级联的第一个系统输出解：设级联的第一个系统输出 m(n) m(n)()4()()4()()()()()(4nRnununnnunhnxnm) 3()2() 1()() 3()2() 1()()()()()()()(32142nuanuanuanuannnnnuanuanRnhnmnynnnnnn1.2.4 系统的因果性和稳定性系统的因果性和稳定性在系统中，假设输出在

23、系统中，假设输出y(n)y(n)只取决于只取决于n n时辰，以及时辰，以及n n时时辰以前的输入，即辰以前的输入，即),2(),1(),()(nxnxnxny称该系统是因果系统。称该系统是因果系统。对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是对于线性时不变系统，具有因果性的充要条件是系统的单位取样呼应满足：系统的单位取样呼应满足：0, 0)(nnh如如0, 00,)()(nnanuanhnn因果系统是指输出的变化不领因果系统是指输出的变化不领先于输入的变化的系统。先于输入的变化的系统。稳定系统稳定系统对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要对一个线性时不变系统来说，系统稳定的充要条件是单位取样呼

24、应绝对可和，即条件是单位取样呼应绝对可和，即nnh)(稳定系统是指对于每个有界输入稳定系统是指对于每个有界输入x(n)x(n)，都产生有，都产生有界输出界输出y(n)y(n)的系统。即假设的系统。即假设|x(n)|M(M|x(n)|M(M为正常数为正常数) )，有有|y(n)|+|y(n)|+，那么该系统被称为稳定系统。，那么该系统被称为稳定系统。 例例 设某线性时不变系统，其单位取样呼应为设某线性时不变系统，其单位取样呼应为)()(nuanhn式中式中a a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解：解：1,1,1111limlim)(100aaaaaaan

25、hNnNNnnNnn由于由于n0n0时，时，h(n)=0h(n)=0，故此系统是因果系统。，故此系统是因果系统。所以所以 时，此系统是稳定系统。时，此系统是稳定系统。1a 例例 设某线性时不变系统，其单位取样呼应为设某线性时不变系统，其单位取样呼应为) 1()(nuanhn式中式中a a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。是实常数，试分析该系统的因果稳定性。 解：解：(1)(1)讨论因果性讨论因果性由于由于n0n0时，时，h(n)h(n)0 0，故此系统是非因果系统。，故此系统是非因果系统。1,1,111111)(111aaaaaaaanhnnnnnnn (2) (2)讨论稳定性讨论稳定性所以

26、所以 时，此系统是稳定系统。时，此系统是稳定系统。1a1.3 线性常系数差分方程线性常系数差分方程一个一个N 阶线性常系数差分方程用下式表示：阶线性常系数差分方程用下式表示：延续时间线性时不变系统延续时间线性时不变系统 线性常系数微分方程线性常系数微分方程离散时间线性时不变系统离散时间线性时不变系统 线性常系数差分方程线性常系数差分方程NkkMmmknyamnxbny10)()()(求解差分方程的根本方法有三种：求解差分方程的根本方法有三种：经典法经典法求齐次解、特解、全解求齐次解、特解、全解递推法递推法求解时需用初始条件启动计算求解时需用初始条件启动计算变换域法变换域法将差分方程变换到将差分

27、方程变换到Z Z域进展求解域进展求解 例例 设差分方程为设差分方程为) 1() 1()()(110nybnxanxany求输出序列求输出序列设系统参数设系统参数21, 0, 5 . 1110baa) 1(21)(5 . 1)(nynxny设输入为设输入为)()(nnx初始条件为0, 0)(nny解：解：, 0n5 . 1) 1(21)0(5 . 1)0(yxy, 1n215 . 1)0(21) 1 (5 . 1) 1 (yxy, 2n依次类推依次类推2)21(5 . 1) 1 (21)2(5 . 1)2(yxy)(215 . 1)(nunyn初始条件为初始条件为0, 0)(nny) 1(215

28、 . 1)(nunyn延时延时a0 x(n)x(n)a1x(n-1)-b1y(n-1)a0 x(n-1)a1-b1y(n) 1() 1()()(110nybnxanxany差分方程表示法的另一优点是可以直接得到系统的构造差分方程表示法的另一优点是可以直接得到系统的构造1.4 延续时间信号的抽样延续时间信号的抽样延续时间延续时间信号信号离散时间离散时间信号信号采样采样内插内插信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例信号经过采样以后，将发生一些什么变化？例如，信号频谱将发生怎样变化；如，信号频谱将发生怎样变化；经过采样后信号内容会不会有丧失；经过采样后信号内容会不会有丧失；假设信号没有被丧失，其反

29、变换应该怎样进展，假设信号没有被丧失，其反变换应该怎样进展，即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。即由数字信号恢复成模拟信号应该具备那些条件等。 1.4.1 采样采样S)(txa)( txa)()()(tPtxtxaaT0tT2T)(txa0tP(t)T0txa(t)最高频率为最高频率为fc fc 0理想采样理想采样)()()(tPtxtxaannTttP)()(naanTtnTxtx)()()()(txa)( txa)(),(tPtP一、理想采样一、理想采样xa(t)P(t)0txa(t)0t0tT1T定义定义单位冲击函数单位冲击函数1)( dtt0, 0)(ttt0 (t)(1)单

30、位冲击函数有一个重要的性质：单位冲击函数有一个重要的性质：采样性采样性假设假设f(t)f(t)为延续函数，那为延续函数，那么有么有)0()()(fdtttf将上式推行，可得将上式推行，可得)()()(00tfdttttft0 (t-t0)二、频谱的周期延拓二、频谱的周期延拓即即即即)()()()(tPtxtxjXaaa)()()(,tPtxtxaa)()(jXtxaa)()(jXtxaa)()(21)(jPjXjXaadejXjXtxdtetxtxjXtjaaatjaaa)(21)()()()()(-1)()(tPjP)(tP由于由于 是周期函数是周期函数nnTttP)()(可用傅立叶级数表示

31、，即可用傅立叶级数表示，即ktjkkSeatP)(TS2采样角频率采样角频率 2222)(1)(1TTtjknTTtjkkdtenTtTdtetPTaSS系数系数22)(1TTtjkkdtetTaSktjkktjkkSSeTeatP1)(T1)()(tPjPktjkSeT1tjkSe 1kSkTjP)(2)()(21对称性对称性)(21StjkkeS移频特性移频特性kSSk)(1)(t根据根据0(S)S 2S-S-2SS)( jP)()(21)(jPjXjXaakaSjXkT)()(221kSadkjXT)()(221采样信号的傅氏变换为采样信号的傅氏变换为 kSadkjXT)()(1kSajkjXT)(1kaTjkjXT)2(1即即kSaajkjXTjX)(1)(采样信号的频谱是原模拟信号频谱采样信号的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，其延拓周期为的周期延拓，其延拓周期为 s s 。CS2CS2讨论：讨论： S/2 C)(jXa S2 S3 S 0- - S S(c)- C C S/2 0(a)( j