D映射与函数PPT学习教案

1、会计学1D映射与函数映射与函数 第一章 二、映射 三、函数 一、集合机动 目录 上页 下页 返回 结束 映射与函数第1页/共32页元素 a 属于集合 M , 记作元素 a 不属于集合 M , 记作1. 定义及表示法定义 1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集 ,记作 . Ma( 或Ma) .Ma注: M 为数集 *M表示 M 中排除 0 的集 ;M表示 M 中排除 0 与负数的集 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共32页(1) 列举法：按某种方式列出集合中的全体元素 .例:有限集合naaaA,21niia1自然数集,2,1,

2、0Nnn(2) 描述法： xM x 所具有的特征例: 整数集合 ZxNx或Nx有理数集qpQ,N,Zqp p 与 q 互质实数集合 Rx x 为有理数或无理数开区间 ),(xbabxa闭区间 ,xbabxa机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共32页)(aa ),(Uxa ),xbabxa ,(xbabxa无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx点的 邻域a ),(xaaxa xaxax0其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .去心 邻域左 邻域 :, ),(aa右 邻域 :. ),(aa机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共32页是 B 的子集 , 或称 B

3、 包含 A ,定义2 .则称 A.BA 若BA ,AB 且则称 A 与 B 相等,.BA 例如 ,ZNQZ RQ显然有下列关系 :;) 1 (AA ;AA BA )2(CB 且CA , ,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共32页AcABB并集 xBAAx交集 xBAAxBx且差集 xBAAxBx且定义下列运算:ABBA余集)(ABBABcA其中直积 ),(yxBA,AxBy特例:RR记2R为平面上的全体点集ABABBABA机动 目录 上页 下页 返回 结束 Bx或第6页/共32页1. 映射的概念 某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生

4、的集合某教室座位的集合按一定规则入座机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例1. 第7页/共32页xxysinRxRy引例3.oxy1QP1),(22yxyxC11), 0(yyY(点集)(点集)CP点向 y 轴投影YQ投影点xysinxy oxy1x2xxxysin机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共32页设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规则 f ,使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应 ,则称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作.:YXf元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作).(xfy 元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .集合 X 称为映射

5、 f 的定义域 ;Y 的子集)(XfXxxf)(称为 f 的 值域 .注意: 1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 . 2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 . XYfxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共32页对映射YXf:若YXf)(, 则称 f 为满射; XYf)(Xf若,2121xxXxx有 )()(21xfxf则称 f 为单射;若 f 既是满射又是单射,则称 f 为双射 或一一映射. XY)(Xff引例2, 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例2引例2第10页/共32页三角形)(三角形集合海伦公式bcaS面积),0(例2. 如

6、图所示,Sxyoxey x),0 x对应阴影部分的面积),0S则在数集),0自身之间定义了一种映射(满射)例3. 如图所示,xyo),(yxrcosrx sinry 2R),(yxf)2,0),0),(r:f则有(满射) (满射)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共32页X (数集 或点集 ) 在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)机动 目录 上页 下页 返回 结束 f f 称为X 上的泛函X ( ) X f f 称为X 上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射又称为算子. 名称. 例如, 第12页/共32页(1) 逆映射的定义 定义:若映射)(:DfD

7、f为单射,则存在一新映射,)(:1DDff使习惯上 ,Dxxfy, )(的逆映射记成)(,)(1Dfxxfy例如, 映射, 0,(,2xxy其逆映射为,xy),0 x)(DfDf1f,)(, )(1xyfDfy其中,)(yxf称此映射1f为 f 的逆映射 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共32页机动 目录 上页 下页 返回 结束 1Dfg手电筒DD2D2D引例. 复合映射 第14页/共32页Dxg)()(Dgxgu1Duf)(ufy 则当1)(DDg由上述映射链可定义由 D 到 Y 的复, )(xgfy .),(Dxxgf设有映射链记作)(1DfY 合映射 ,时,或)(1DfY

8、 )(ufy )(xgf1DDx)(xgu gfgf )(Dg机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意: 构成复合映射的条件 1)(DDg不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形.第15页/共32页定义域1. 函数的概念 定义4. 设数集,RD则称映射R:Df为定义在D 上的函数 ,记为Dxxfy, )( f ( D ) 称为值域 函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baD abxy)(DfD机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量第16页/共32页DxfDxxfyyDfy),()(对应规则)(值域)(定义域)例如, 反正弦主值xxfyarcsin)(, 1, 1

9、D,)(22Df 定义域 对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域xyoxy xxf)(又如, 绝对值函数0,xx0,xx定义域RD值 域),0)(Df机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共32页 1,110,2)(xxxxxfy求 )(21f及, )(1tf解:21212)(f2)(1tf10 t,11t1t,2t时0t函数无定义并写出定义域及值域 .定义域 ),0D值 域 ),0)(Df机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共32页设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1) 有界性,Dx,0M使,)(Mxf称 )(x

10、f,Ix,0M使,)(Mxf称 )(xf说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见上册 P11 )(2) 单调性为有界函数.在 I 上有界. ,Dx使若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf则称 f ( x ) 无界.称 为有上界称 为有下界,)(,Mxf),(,xfM 当,21Ixx21xx 时, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的, )()(21xfxf若称 )(xf为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .xy1x2x机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共32页xyoxx,Dx且有,Dx若, )()(xfxf则称 f (x) 为偶函数;若, )()(xfxf则称 f

11、 (x) 为奇函数. 说明: 若)(xf在 x = 0 有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数时,则当必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函数xyoxexexych双曲余弦 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共32页xyo2)(xxeexfy奇函数xexexyshxsh双曲正弦 记再如,xxychshxxxxeeee奇函数oyx11xth双曲正切 记xyth机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共32页,0,lDx且,Dlx)()(xflxf则称)(xf为周期函数 ,to)(tf22xo2y2若称 l 为周期( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为2注: 周期函数不

12、一定存在最小正周期 .例如, 常量函数Cxf)(狄里克雷函数)(xfx 为有理数x 为无理数, 1,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共32页(1) 反函数的概念及性质若函数)(:DfDf为单射,则存在逆映射DDff)(:1习惯上,Dxxfy, )(的反函数记成)(,)(1Dfxxfy称此映射1f为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增,)(1存在xfy且也单调递增 性质: 第23页/共32页2) 函数)(xfy 与其反函数)(1xfy的图形关于直线xy 对称 .例如 ,),(,xeyx对数函数),0(,lnxx

13、y互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线xy 对称 .)(xfy )(1xfyxy ),(abQ),(baPxyo机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数第24页/共32页1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则Dxxgfy, )(设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 1)(DDg不可少. 例如, 函数链 :,arcsinuy ,122xu函数,12arcsin2xyDx,1231,23但函数链22,arcsinxuuy不能构成复合函数 .可定义复合第25页/共32页机动

14、 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如, 0,uuy可定义复合函数:,2cotxy ,) 12( ,2(kkxZn02cot,22xkxk时),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv第26页/共32页(1) 基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,2xy y0,xx0,xx并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.又如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .( 自学, P17 P21 )机动 目录 上页 下

15、页 返回 结束 第27页/共32页符号函数xysgn当 x 0,1当 x = 0,0当 x 0,1xyo11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyo134212机动 目录 上页 下页 返回 结束 第28页/共32页1. 集合及映射的概念定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构 作业 P21 6 (5),(8) ,(10); 8; 10; 11; 15 ; 18; 19; 20 2. 函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共32页且0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证: 令,1xt 则,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf显然, 0)0(f又)(