高数考研指导方法下

1、1科学方法是打开科学殿堂大门的科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的是由必然王国通向自由王国的桥梁桥梁。数学方法是数学的数学方法是数学的灵魂灵魂高等数学方法高等数学方法（下）（下）2目目 录录第一讲第一讲 空间解析几何方法及 研究多元函数微分学概念的方法第二讲第二讲 多元函数微分法及其应用第三讲第三讲 二重及三重积分的计算法第四讲第四讲 线面积分的计算法第五讲第五讲 级数的收敛、求和及展开法第六讲第六讲 几类常微分方程的求解法第七讲第七讲 高等数学中的方法综述注意问题注意问题：认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律。3第一讲第一讲 空间解析几何方法及空间解析几何

2、方法及研究多元函数微分学概念的方法研究多元函数微分学概念的方法一元推推 广广多元 （以二元为主）基本方法基本方法：前后类比 , 区别异同 , 化繁为简一一. 方法指导方法指导空间形式数量关系相结合的方法坐标法; 向量法。 4-1 空间解析几何方法空间解析几何方法 ( P203 )41. 向量代数方法向量代数方法以向量为工具, 用代数方法研究几何问题优点优点: 与坐标系选择无关, 推理简捷方便 向量的概念向量的概念模 , 方向余弦, 单位向量 向量的运算向量的运算加法 ,数乘 , 点积 , 叉积 , 混合积 (P205) 向量间的关系向量间的关系 向量法的应用向量法的应用讨论几何方面的问题在多元

3、函数微积分学中的应用平行, 垂直, 夹角, 共线, 共面,投影投影 (P204 及及P206 )2. 空间平面与直线空间平面与直线基本方程 ( P207 )相互关系 ( P208 )53. 相关的几个问题相关的几个问题（P209P211）(1) 过直线00:22221111DzCyBxADzCyBxAL的平面束平面束方程(2)点nnMMd01的距离：DzCyBxA000 222CBA到平面 ：A x+B y+C z+D = 0),(0000zyxMd0M1Mn,为不全为 0 的任意实数)(1111DzCyBxA0)(2222DzCyBxA6例例. 点 到平面3450 xyz的距离是(2,1,0

4、)210年考研年考研7说明：说明：求两平行平面之间的距离，其中01: 1DzCyBxA解：解：在其中一平面上任取一点，则该点到另一平面的距离即为所求的距离。在1上取一点,0000zyxP:20为的距离到dP:21的距离为到平面02: 2DCzByAx2222000CBADzCyBxAd1000: 1DCzByAx22212CBADDd8 kji),(0000zyxM到直线的距离pzznyymxxL111:为(3) 点2221pnm010101 zzyyxxpnm dssMMd10),(pnms ),(1111zyxM),(0000zyxMLsin10MMd sin1010MMssMM如图所示9

5、4、向量的混合积向量的混合积(1) 定义定义已知三向量称数量混合积混合积 。记作几何意义几何意义 为棱作平行六面体,底面积高h故平行六面体体积为hAV coscba)(cba,cba的为cba,Abaccba,以则其cosbaccba)(cbabacba10zyxzyxbbbaaaxcyczckji(2) 混合积的坐标表示混合积的坐标表示设xayazaxbybzbzxzxbbaayxyxbbaacba)(ba, ),(zyxaaaa cbazyzybbaa, ),(zyxbbbb ),(zyxcccc ,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaaxcyczc11(3) 性质性质(1)

6、三个非零向量共面的充要条件是0(2) 轮换对称性 :(可用三阶行列式推出)cbacba,a b cab ca bcabc124. 空间曲面和曲线空间曲面和曲线 ( P211-P214 )旋转曲面; 柱面 ; 二次曲面(截痕法) ; 投影曲线 ;圆柱螺旋线。二二. 实例分析实例分析例例1. 设,2)(cba则)()()(accbba( 考研考研1995; P506题题51 )提示:()abcacb)(cba)(244() ()()abbcca)(cbacba() ()aba cbcca13例例2. 已知一四面体的顶点),(kkkkzyxA(1,2,3,4)k 求该四面体体积 。 1A2A3A4A

7、解解: 已知四面体的体积等于以向量为棱的平行六面体体积的,61故 61V6112xx 12yy 12zz 13xx 13yy 13zz 14xx 14yy 14zz ,21AA,31AA41AA413121AAAAAA14例例3. 证明四点, )3,3,2(),6,5,4(, )1 , 1 , 1(CBA共面。解解: 因0)17,15,10(DABCD34512291416故 A , B , C , D 四点共面 .ADACAB15例例4. 设,4)( ,1b,ab试求xabxax0lim解解: xabxa)()()(abxaxaabxabxa42cosaxax ba)(abxax22xbxb

8、a2 原式 =aa24cos222b,a是非零向量 , 且)(22abxaxabxa16例例5. 证明平面1czbyax被三个坐标面所截得的三角形面积为.21222222accbbaS( P216 例例4 )zoyxCBA证证: 如图所示BCABS21 21cbbakji00 21bacacb,22222221bacacb17例例6. 设,0333222111cbacbacba则直线321321321ccczbbbyaaax与直线213213213ccczbbbyaaax(A) 相交于一点 ; (B) 重合 ;(C) 平行但不重合 ; (D) 异面。 ( 考研考研1998 )提示提示: 设三点

9、,)3,2, 1(),(icbaMiiii由已知条件1M2M3M 不共面 ,)3,2, 1(iOMi因此点A)3,2, 1( iMi构成三角形. 二直线分别过三角形的顶点,31MM且平行于对边 , 因此必交于一点 .18练 习(1) 给定直线031020123:zyxzyxL及平面,0224:zyx则直线 L (A) 平行于 ; (B) 在 上 ;(C) 垂直于 ; (D) 与 斜交。 (考研考研1995)提示：( 28,14, 7)7(4, 2,1)S C(4, 2,1)n 19练 习632( 1, 2,0)211ijkn (2) 设一平面经过原点及点 ( 6, 3, 2 ) , 且与平面2

10、4xyz垂直 , 则此平面方程为( 考研考研1996 )20 xy提示：所求平面20例例7: 求过点A(-1,0,4) 且平行于平面:3410 xyz又与直线113:112xyzL相交的直线方程。BA1LL解解: 设两直线的交点BtztytxB231:42, 3,tttABS0/nSnSL1, 4, 3 n042343tttnS16t28,19,16AB所求直线L:28419161zyx21例例8. 一直线过点 P(2,1,3) 且与直线12121zyx相交,0523zyx平行, 求此直线方程。( P218 例例6 )解解: 设所求直线与已知直线的交点为,),(000zyx则所求直线的方向向量

11、为,3, 1,2000zyxs从而交点坐标满足方程组:0)3()1(2)2(3000zyx12121000zyx解得,9290 x,9100y980z故所求直线为35311112zyx又与平面22nnnn22例例9. 试求22:1zyx与82:2zyx的角平分平面方程。解解. 利用平面束方程 :)22(:zyx其法向量为n82,21,10)82(zyx21,的法向量分别为, 2, 1, 11n1 ,2, 12n的夹角相等与21,nnnn11由此解得, 1故所求二角平分面方程为)22(zyx0)82(zyx即,102zyx2 zy23例例10. 求过直线L:40 xz0405zxzyx48120

12、 xyz且与平面:4夹成角的平面方程。提示提示: 过直线 L 的平面束方程04)1 (5)1 (zyx其法向量为已知平面的法向量为选择使43. 012720zyx从而得所求平面方程n1n4114cosnnnn.1,5,11nL8,4, 1n可以证明平面与平面的夹角也为.424例例11. 设一平面平行于直线0502zyxzx且垂直于平面,0347zyx求该平面的方向余弦。( P220 例例7 )解解: 已知直线的方向向量为1s2, 1, 1kji已知平面的法向量为,4, 1,7 1n取所求平面法向量11snnkji8,10,64,5,32故所求平面方向余弦为254cos,21cos,253cos

13、10211121141725例例12. 在平面1zyx与三坐标平面所构成的四面体内求一点 ,并求内切于四面体的球面方程 。 ( P221例例 8 )解解: 设所求球心为31zyxzyx因为,1zyx所以,331xx 故633331zyx从而得内切球面方程 :2633x且有2633 y2633 z2633使其与四面体各侧面间的距离相等,它位于第一卦限 , ),(zyxPxyzo0M26例例1313.在球面2222Rzyx上求一条曲线，使其上2361xyz030 .的每一点的法线与平面的夹角为2222Rzyx, ,sx y z2361xyz2,3,6 .n ,解解：因为在球面上的曲线任意点的而平面

14、的法向量 设法线与平面的夹角为则法向量为222236236sincos( , )77xyzxyzs nRxyz 030 ,21sin72362Rxyz222272362xyzRRxyz已知，故于是所求曲线为。L274-2 研究多元微分学概念的方法研究多元微分学概念的方法一一. 方法指导方法指导 1. 二元函数定义的两个要素二元函数定义的两个要素 定义域 使表达式及实际问题有意义的自变量的变化范围 对应规律 图形:DyxyxfzzyxM),(, ),(),( 一般为曲面 )等值线（ P225 ）282. 求极限的基本问题和方法求极限的基本问题和方法(1) 研究极限的存在性 存在性 利用定义验证;

15、 利用存在准则判别; 按运算法则边演算边判别 不存在 找一种变化方式极限不存在; 找两种或两种以上的变化方式极限不相等(2) 求二元函数极限的常用方法 ( P227 )(3) 二重极限与二次极限 ( P237-P238 ), ),(lim00yxfyyxx, ),(limlim00yxfxxyy),(limlim00yxfyyxx三者不同 , 一般情况下无必然联系 .),(00yx),(yx),(0yx),(0yx任意方式293.几个基本概念之间的关系几个基本概念之间的关系(P228-P229) 连续性 偏导数存在 方向导数存在可微性偏导数连续4. 梯度的意义及计算梯度的意义及计算二元函数:

16、),(yxfz 三元函数: ),(zyxfu ),(, ),(, ),(radgzyxfzyxfzyxffzyx模模: 函数方向导数最大值. 方向方向: 函数增大最快的方向.),(, ),(radgyxfyxffyx30oyx1xy11二二. 实例分析实例分析例例1. 求函数 )(lnlnyxyz的定义域 . 解解: 0)(ln yxy0 yx0 x01yx10 x1 yx0y或因此定义域为10yx0y10 xy1x及)1, 10),(xxyyx即)10,01),(xyxyxDDD31例例2. 求下列极限) 1 ( P232 例例4 )解解: (1)22) 1ln(yxx01limyx)2(a

17、yx0lim)0()()(sinayxxyx22) 1ln(yxx01limyx2201) 11 (ln2ln)2(ayx0lim )()(sinyxxyxayx0lim()xyx xy1利用连续性利用连续性利用等价关系利用等价关系32) 3(00limyxyxyxyx1sin1sin22222211sinsin,xyyxyxy 原极限 = 0)4(00limyx22)(yxxxy22(),xyxyxxy 原极限 = 00limcos (sincos )0或33例例3讨论二重极限00lim.xyxyxy解解xxxx210lim原式2xxy取不存在1202yxyxyx00lim)(lim20 x

18、xx20lim xx34例例4 证明: 若),(yxf在全平面连续, 且Ayxfyx),(lim22存在 , 则),(yxf有界.证证:,),(lim22Ayxfyx, 1 对,0R当Ryx22时, 1),( Ayxf从而1),( Ayxf在闭圆Ryx22上连续,又),(yxf因此存在 M 0Myxf),(因而在全平面上, 1max),(MAyxfRxyo35例例5 二元函数),(yxf(A) 连续 , 偏导数存在; (B) 连续 , 偏导数不存在;(C) 不连续 , 偏导数存在; (D) 不连续 , 偏导数不存在. )0,0(),(,22yxyxyx)0,0(),(,0yx在点( 0, 0

19、) 处 ( )( P486(1); 考研考研1997 )提示提示: 令 y = k x , 则),(lim00yxfyx2220)1 (limxkxkx21kk极限不存在, 故不连续 ;而0)0,0()0,0(yxffC思考思考: P503 题 21故, 0),0()0,(yfxf36例例6 6 函数( , )zf x y2201( , )22lim0(1)xyf x yxyxy(0,1)dz2dxdy22( , )22(1) )f x yxyoxy(0,1)(0,1)2,1zzxy (0,1)dz2dxdy满足则 ；解解 由题意可知分子应为分母的高价无穷小，即所以 则2012考研考研37例例

20、7. 研究函数),(yxfz0,1sin)(222222yxyxyxyx0 ,022 yx(1) 在点( 0, 0 ) 处是否连续 ?( P234 例例6 )解解 (1),(yxf0),(lim00yxfyx(2) 在点( 0, 0 ) 处偏导数是否存在和连续 ?(3) 在点( 0, 0 ) 处沿任意方向的方向导数是否存在 ?(4) 在点( 0, 0 ) 处是否可微 ?利用夹逼准则可知即 f ( x, y ) 在点 ( 0, 0 ) 连续 .022xyxy)0 , 0(f38(2) 在点( 0, 0 ) 处偏导数是否存在和连续 ?221sin21),(yxxyxfx22221cos2yxyxx

21、2210sin(0,0)limxxxxxfx1因),(lim00yxfxyx不存在 ,在点 ( 0, 0 ) 不连续 ;利用对称性 ,1)0,0(yf在点( 0, 0 )不连续 .),(yxfz0,1sin)(222222yxyxyxyx0 ,022 yx当)0,0(),(yx时,当)0,0(),(yx时, 利用偏导数定义 ,有),(yxfy),(yxfx故39),(yxfz0,1sin)(222222yxyxyxyx0 ,022 yx(3) 在点( 0, 0 ) 处沿任意方向的方向导数是否存在 ?设 与 x 轴夹角为 , l,sin,cosyx则由方向导数定义可知0limfflsincos这

22、说明),(yxfoyxl),(yx在点( 0, 0 ) 处沿任意方向的方向导数都存在 , 其值与方向有关 .2210cossinsinlim40),(yxfz0,1sin)(222222yxyxyxyx0 ,022 yx(4) 在点( 0, 0 ) 处是否可微 ?(0,0)(0,0)xyffxfy,0)0 , 0(f(0,0)(0,0)1xyff( ,)()f x yxy22221()sinxyxy221sin)(故),(yxf在点( 0, 0 )处可微 .41(1) 在点( 0, 0 ) 处是否连续 ?(2) 在点( 0, 0 ) 处偏导数是否存在和连续 ?(3) 在点( 0, 0 ) 处沿

23、任意方向的方向导数是否存在 ?(4) 在点( 0, 0 ) 处是否可微 ?连续连续存在但不连续存在但不连续可微可微存在存在),(yxfz0,sin)(2212222yxyxyxyx0 ,022 yx42练习练习讨论函数0(0,0)f11sinsin,0( , )0,0 xyx yyxf x yx y(0,0)000011lim( , )lim( sinsin)xxyyf x yxyyxf x y( , )(0,0)0( ,0)(0,0)(0,0)limxxf xffx(0,0)0yff x y( , )(0,0)在点处的连续性，可导性和可微性。故在点连续。同理故在点偏导数存在.解：解：000l

24、im0 xx43练习练习讨论函数11sinsin,0( , )0,0 xyx yyxf x yx y(0,0)(0,0)0,xf(0,0)0yf0, 0yx22 ( , )(0,0)(0,0)(0,0)xyf x yffxfyxyyx令2211sinsinxyyxxy12 sin2 |xxxf x y( , )0 , 0(在点处的连续性，可导性和可微性。令 不趋向于0，故函数在不可微。解：解：44例例8 8 如果( , )f x y00( , )limxyf x yxy( , )f x yB2200( , )limxyf x yxy( , )f x y( , )f x y00( , )limx

25、yf x yxy( , )f x y2200( , )limxyf x yxy在（0,0）处连续，则下列命题若存在，则在（0,0）处可微；若存在，则在（0,0）处可微；若在（0,0）处可微，则存在；若在（0,0）处可微，则存在。正确的是（ ）；A、B、C、D、2012考研考研45解解 因为( , )f x y2200( , )limxyf x yxy00lim( , )0(0,0)xyf x yf2200( , )limxyf x yxy2200( , )(0,0)limxyf x yfxy( , )(0,0)zf x yf ( , )f x y在（0,0）处连续，则存在，且可写成即在（0,0

26、）处则在（0,0）处可微。2200()xyoxy46例例9 9 设( , )f x y, x y( , )( , )0,0f x yf x yxy1122(,)(,)f x yf xyA1212,xxyy1212,xxyy1212,xxyy1212,xxyy( , )0,f x yx1121(,)(,)f x yf xy12;xx( , )0,f x yy2122(,)(,)f xyf xy12;yy1121(,)(,)f x yf xy22(,)f xy1212,xxyy.A是可微函数，且对任意的都有，则使不等式成立的一个充分条件是（ ）；解解 因为 若则若则所以时，有，故选择A、B、C、D、2012考研考研47例例1010)0 , 0(, 0),0 , 0(),( ,),(2233）（yxyxyx